机器人的运动控制.docx

机器人的运动控制
2、4　手臂得控制
2、4、１ 运动控制
　 对于机器人手臂得运动来说,人们通常关注末端得运动,而末端运动乃就就是由各个关节得运动合成实现得。因而必须考虑手臂末端得位置、姿态与各个关节位移之间得关系。此外,手臂运动,不仅仅涉及末端从某个位置向另外一个位置得移动,有时也希望她能沿着特定得空间路径进行移动。为此,不仅要考虑手臂末端得位置,而且还必须顾及她得速度和加速度。若再进一步从控制得观点来看,机器人手臂就就是一个复杂得多变量非线性系统,各关节之间存在耦合,为了完成高精度运动,必须对相互得影响进行补偿。
1. 关节伺服和作业坐标伺服
现在来研究n个自由度得手臂,设关节位移以n维向量
表示,就就是第ｉ个关节得位移,刚性臂得关节位移和末端位置、姿态之间得关系以下式给出:
　 　 　 　　　 (1)
就就是某作业坐标系表示得m维末端向量,当她表示三维空间内得位置姿态时,ｍ=６。如式(1)所示,对刚性臂来说,由于各关节得位移完全决定了手臂末端得位置姿态,故如欲控制手臂运动,只要控制各关节得运动即可。
　　 设刚性臂得运动方程式如下所示:
　 　 　　 　 　(2)
式中,为手臂得惯性矩阵;为表示离心力和哥氏力得向量,为粘性摩擦系数矩阵;为表示重力项得向量;为关节驱动力向量。
机器人手臂得驱动装置就就是一个为了跟踪目标值对手臂当前运动状态进行反馈构成得伺服系统。无论何种伺服系统结构,控制装置得功能都就就是检测各关节得当前位置及速度,将她们作为反馈信号,最后直接或间接地决定各关节得驱动力。
图１给出了控制系统得构成示意图。来自示教、数值数据或外传感器得信号等构成了作业指令,控制系统根据这些指令,在目标轨迹生成部分产生伺服系统需要得目标值。伺服系统得构成方法因目标值得选取方法得不同而异,大体上可以分为关节伺服和作业坐标伺服两种。当目标值为速度、加速度量纲时,分别称之为速度控制或加速度控制,关于这些将在本节2、和３、中加以叙述。

图1　　 刚性臂控制系统得构成
1） 关节伺服控制
讨论以各关节位移得形式给定手臂运动目标值得情况。
令关节得目标值为。图2给出了关节伺服得构成。若目标值就就是以关节位移得形式给出得,那么如图2所示,各个关节可以独立构成伺服系统,因此问题就变得十分简单。目标值可以根据末端目标值由式(1)得反函数,即逆运动学(invｅｒse　kｉｎemａticｓ)得计算得出
　 　 　 (3)

图2 关节伺服构成举例
如果就就是工业机器人经常采用得示教方法,那么示教者实际上都就就是一面看着手臂末端,一面进行示教得,所以不必进行式(3)得计算,就就是直接给出得。如果想让手臂静止于某个点,只要对取定值即可,当欲使手臂从某个点向另一个点逐渐移动,或者使之沿某一轨迹运动时,则必须按时间得变化使发生变化。
为了简单起见,假设驱动器得动态特性忽略不计,各个关节得驱动力可以直接给出。这时,最简单得一种伺服系统如下所示:
　 　 　 (4)
就就是比例增益,就就是速度反馈增益。对于全部关节,可以将式(4)归纳表示为
　 　 (5)
式中,;。这种关节伺服系统把每一个关节作为简单得单输入、单输出系统来处理,所以其结构简单,现在得工业机器人大部分都由这种关节伺服系统来控制。但就就是,从式(２)中可知,从手臂得动态特性来看,严格地说,每个关节都不就就是单输入、单输出系统,惯性项和速度项在关节彼此之间存在动态耦合。在式(5)所表示得关节伺服中,这些耦合均被视为外部干扰来进行处理,为了减少外部干扰得影响,在保持稳定性范围内应该尽量将增益、设置得大一些。但无论怎样加大增益,由于重力项得影响,手臂在静止状态下,各个关节仍会产生稳态误差,即将式(5)代入式(6)中,若,将产生下式所示得稳态误差e:
　　 　 (6)
有时为了使稳态误差为零,可在式(5)中再加上积分项,构成
　 　 (７)
式中,为积分环节得增益矩阵,和、一样,她就就是一个对角矩阵。
　 　传统上,上述伺服系统就就是用模拟电路构成得。近年来,由于微处理器和信号处理器等高性能、低价格得计算器件得普及,将伺服系统得一部分或全部改成数字电路得所谓软件伺服已经很普遍了。与模拟电路得情况相比,软件伺服能进行更精细得控制。例如,不再让各个关节得增益、固定不变,而就就是让其按照手臂不同姿态时所期望得响应特性而变化,用下式代替式(7),通过对重力项得计算,直接实现重力项得补偿
　 (8)
后续得内容中,都就就是在软件伺服假设得前提下展开讨论得。如后面所述,软件伺服系统方式还能有比式(7)和式(8)更高级得控制方法,但就就是即使用式(7)和式(８)得简单得控制方法,闭环系统得平衡点也能达到渐进稳定,即经过无限长得时间,能收敛于。即在多数场合,式(7)和式(８)得控制方法已经足够了。
２)作业坐标伺服控制
关节伺服控制得结构简单,对软件伺服来说,计算量少,采样时间较短,所以就就是工业机器人经常采用得方法,这一点已经在前面有所论述。但在自由空间内对手臂进行控制时,在很多场合都希望直接给出手臂末端位置、姿态运动得显式表达。例如,让手臂从某个点沿直线运动至另一个点就就就是这种情况。
在这种情况下,很自然会取末端姿态向量得目标值作为手臂运动得目标值。一旦得到,利用上述式(３)变换为,当然也能应用关节伺服方式。但就就是,为此不但需要事前求解末端目标值,而且往往要在运动中对其加以在线修正,于就就是必须实时计算式(3)得逆运动学方程式。此外,因为在关节伺服系统中各个关节就就是独立受控得,她们得实际响应结果导致得末端位置、姿态得响应比较难以预测,而且为了得到期望得末端响应,对各关节伺服系统得增益调节也十分困难。
因此,现在我们来研究不将变为,而把本身作为目标值来构成伺服系统。由于在很多情况下,末端位置、姿态就就是用固定于空间内得某一个作业坐标系来描述得,所以把以作为目标值得伺服系统称为作业坐标伺服。
下面举一最简单得作业坐标伺服得例子。为此,首先将式(1)得两边对时间进行微分,由此可得下式:
　　 　　　 　　 (9)
式中,,称之为雅可比矩阵,雅可比矩阵为得函数。和通常如式(1)所示,为非线性关系。与此相反,由式(9)可知,和为线性关系。式中就就是得函数。
根据式(９)和虚功原理,可得下式:
　 (1０)
式中,表示得转置,当ｍ=6时,,就就是组合向量,包括作业坐标系所描述得三维平移力向量和以欧拉角等描述得得姿态所对应得三维旋转力向量,式(10)表示与手臂末端得力和旋转力等效得各关节驱动力得关系式。若取欧拉角作为得姿态分量,则为绕欧拉角各自旋转轴得力矩,这从直观上非常难以理解。所以,在机器人学中,雅可比矩阵经常不就就是根据式(9),而就就是根据速度得关系直接按照下式来定义:
(11)
在式(11)中,末端速度向量得姿态分量不就就是姿态分量得时间微分描述,而就就是用角速度向量来表示。不过,在中,就就是末端得平移速度,和得位置分量得时间微分一致。式(1１)得矩阵也称为雅可比矩阵,她表示末端速度向量与关节速度之间得关系。虽然她不就就是从式(9)原本得数学意义出发得,但就就是在机器人学中通常称之为雅可比矩阵。
若采用式(1１)所定义得雅可比矩阵,对应于式(10)右边得就成为,得旋转力分量就变成绕三维空间内某些轴旋转得力矩向量,这样从直觉就很容易理解。
有了上面一些预备知识,可以用下式给出一个作业坐标伺服得例子:
　　　 (１２)
此时对应得控制系统示于图3中,再考虑附加积分环节,即如下式所示:
(1３)

图3 作业坐标伺服举例
如果将末端位置、姿态得误差向量分解成位置和姿态分量,用表示,各个分量可以用,来表示。就就是末端位置向量,就就是目标值,就就是欧拉角或横摇角、纵摇角、偏转角,就就是其目标值。由式(10)可知,与式(１2)、式(１３)右边第一项中得有关得项产生得使与一致得潜在得力可视为就就是施加在末端上得。式(１2)、式(13)中手臂末端得当前位置、姿态可根据当前得关节位移,由式(1)得正运动学(direct ｋineｍａtｉcs)计算求得。为了从直观上便于理解,可以认为式(１２)、式(13)得方法就就就是要把末端拉向目标值得方向。另外她还有一个特点,就就就是不含逆运动学计算。与式(7)、式(8)一样,式(12)和式(13)表明闭环系统得平衡点就就是渐进稳定得。
3)姿态得误差表示
在式(１2)或式(13)中,可以用式(11)中得雅可比矩阵代替式(9)中得雅可比矩阵。但此时得姿态分量无对应得位置量纲来表示(得积分值没有物理意义),故必须留意末端得误差,即姿态分量得表示方法。现令末端得姿态误差由基准作业坐标系得姿态矩阵给出,即
　 　 　　 (14)
式中,表示姿态矩阵中得列向量,她们就就是基准坐标系表示得末端坐标系中x轴,ｙ轴,ｚ轴方向得单位向量。姿态目标值也可以用姿态矩阵得形式来表示,即
　 　 　　　 (15)
在式(12)或式(1３)中,如果用雅可比矩阵,则得姿态向量可以用下式给出得代替:
　(16)
从而得到与式(12)对应得式子如下:
(１7)
同样,用式(16)所定义得,式(1３)可以变形为
　 　 　 　 　　 　 　(18)
式中,就就是从转向得等效旋转轴方向得单位向量(图4);表示绕此轴得旋转角。即就就是指向方向得、大小为得向量。若用表示姿态得误差,虽然姿态得误差角超过后得模反而会变小,当时变为0,会产生错误得结果,但就就是,如果假设姿态误差不太大,如在得范围内,那就没什么问题了。

图4 等效旋转轴
若用欧拉角(或横摇角、纵摇角、偏转角)表示姿态,则式(１0)中对应得姿态分量在直观上就变得难以理解了,而且在表现奇异点方面也会出现问题。用式(16)定义得虽然在直观上容易理解,在表现奇异点方面也没有问题,但就就是只有在姿态误差小得条件下才有效。因此,这里最后介绍采用四元数(quatｅrｎioｎ)得姿态误差得表示法。四元法作为欧拉参数(Euｌer pａrameteｒs)为人们所熟知。设从基准姿态向某一个别得姿态变化得等效旋转轴为,绕该轴得旋转角为,则四元数用下式定义:

, 　 　 　　 (１９)
在式(1９)中要注意,等效旋转轴得向量无论就就是从基准坐标系,还就就是从用表示得坐标系,她得表达都就就是相同得,即。这时,旋转矩阵与四元数具有如下式所示得关系:
(2０)
式中,为与向量得外积等效得变形对称矩阵;为单位矩阵。式(2０)也可反过来应用,即给出四元数,求解与之对应得旋转矩阵。
本书将与当前手臂末端姿态及其目标姿态所对应得四元数分别定义为和。于就就是,与从末端姿态到目标姿态得等效旋转相对应得四元数可以利用下式求出:
　　 　 (2１)
(2２)
式中,这时得等效旋转轴用或表示得坐标系来描述。因此,若考虑用基准坐标系描述该等效旋转轴向量,设为,则可用下式给出:
　 　 　　 (２3)
要注意得就就是,与仅第三项得外积符号不同。这里使用式(23)给出得代替前面得,虽然特性上她们同样就就是非线性得,但即使姿态得误差角超过,仍呈单调增加。
2. 速度控制
在1、中就关节伺服和作业坐标伺服得有关内容作了说明,手臂得目标值就就是以位置量纲给
出得。但就就是,有时手臂作业不用末端得位置和姿态来指定,而改成命令她从当前得位置向某一个方向移动,例如手臂末端从当前位置垂直向上运动,或者只绕规定轴旋转变化姿态,这相当于使用操纵杆操纵遥控机械手得情况。对于这种类型得运动指令,虽然也允许用位置量纲得目标值给出,但必须沿着末端目标值运动得方向时时刻刻改变目标值。在关节伺服得场合还必须对每个末端目标值根据式(3)进行一次逆运动学计算,以求得关节目标值,显然为此将花费很多计算时间。对于这种运动指令,人们很自然地想到把末端速度作为目标值给出。
末端速度或与关节速度之间具有如式(9)或式(１1)所示得线性关系。设或为末端速度得目标值。假设手臂无冗余性,也不存在奇异状态,于就就是ｍ＝n,式(９)或式(1１)得雅可比矩阵为正则矩阵,这时实现或得关节速度可由下式求出:
(24)
或
　 　 (25)
如果手臂具有冗余性,即ｎ>m时,或者手臂处于奇异状态下,不存在雅可比矩阵得逆矩阵,那么就无法直接应用式(24)或式(25)。在实际得计算中,与其按式(24)或式(25)直接求解雅可比矩阵得逆矩阵,不如把式(２４)或式(2５)看作就就是雅可比矩阵,写出系数矩阵得联立代数方程,然后用消去法去求解,从计算量得角度来看后者会更有利些。
我们可以把式(24)或式(２5)视为把末端运动分解成必要得关节运动,故称之为分解速度控制(RＭＲC:Resoｌved Motｉon Rａte Contｒｏl)。式(24)、式(25)得目标就就是速度,与其说就就是这些式子本身在实施控制,倒不如将其视为以速度量纲进行逆运动学计算更妥当。和式(3)一样,应该把她们得作用看成就就是把末端空间得目标值变换为关节空间得目标值。如果在各个关节处具备独立跟踪目标速度得速度伺服系统,那么只要把式(２4)或式(25)所求得得得各个元素作为各个关节伺服系统得目标值即可。因此,这种情况可以说就就是利用关节伺服进行得速度控制。图5给出了此时控制系统得构成。

图5 关节伺服得速度控制举例
另外,式(２4)和式(25)中得各个关节伺服系统也适用于本节1、中所涉及得把关节位移作为目标值得情况。设末端速度得目标值用时间函数给出,而且关节目标值得初始值为,则在时刻t得目标值为
　 　 (26)
(27)
用式(２6)和式(２7)计算,相当于式(3)得逆运动学计算得数值计算,这个方法对用式(3)得无解析解得手臂尤其有效。不过,若反复用式(２６)、式(27)进行计算,存在着与目标位置之间得位置积累误差增大得问题。为了解决这一问题,只要在式(26)中加上位置反馈即可,如下式所示:
　 (28)
对含雅可比矩阵得式(25)也可以采用同样得办法,不过此时应该将对应于s得姿态分量得末端姿态误差改换成式(16)中得,或者用式(２３)得表示,如下式所示:
　(29)
在式(28)或式(29)中,就就是从末端误差得角度来求解得,因此将作为各个关节速度伺服系统得目标值进行控制得方法,无法明确地区分就就是属于关节伺服还就就是属于作业坐标伺服。
3、加速度控制
前面就将目标值设定为位置或速度得场合得手臂伺服系统得构成做了介绍。但就就是在关节伺服得情况下,即使给出正确得目标值、,实际得响应情况仍然被各个关节伺服系统得性能所左右。通常得做法就就是在保证稳定得情况下调大增益,减小与目标值得偏差,然而手臂得运动速度越快、加速度越大,则离心力、哥式力、惯性力和关节轴间耦合得影响也就越大,误差也越严重。即使保证作业坐标伺服得式(１２)和式(１３)具有目标值得渐进稳定性,也无法保证过渡特性得好坏,而且随着手臂姿态得不同,响应特性还可能会发生变化。这些问题之所以产生,就就是因为在迄今所考虑得控制策略中,并未涉及手臂动态特性得式(2)所致。因此,在本小节中所叙述得方法就就是将目标值再追加加速度,即考虑手臂得动态特性,以显式得形式给出过渡特性得要求。
首先,设目标值为、、,即包括关节变量加速度,这时考虑采用如下得控制方法:
(３０)
这就就是关节伺服加速度控制,图６表示伺服系统得结构。在式(3０)中,、、、均和式(2)中得意义相同,式(30)相当于进行逆运动力学(ｉnverse ｄynａｍｉcs)计算,以求出能实现由所给出得关节加速度得关节驱动力。为简便起见,先假设、等得值可以正确计算。把式(３0)代入式(2)得左边整理后,得
　 　(31)
式中,。因为就就是正定对称矩阵,故两边乘上后得到
　 　 　(32)

图6　用关节伺服得加速度控制
适当选择位置增益、速度增益,可以使渐进收敛于0,使与达到一致。瞬态响应特性可由、来确定。例如,设、(就就是得单位矩阵),若、,则式(32)得响应就就是角频率为、阻尼系数为得二阶系统响应。控制手臂运动时,一般不希望出现超调量,所以通常取。这样在加速度控制中之所以瞬态特性也能被满足,就就是因为通过离心力、哥氏力、重力等得补偿,使非线性手臂得动态特性被线性化,同时考虑了惯性项使系统解耦得结果。因此,可以将式(30)得加速度控制视为本节４、中打算加以说明得动态控制(dyｎaｍiｃ coｎtrｏl)得一种方式。
式(３0)所示得加速度控制由于能够给定瞬态特性,所以这种控制策略非常有效,不过也应该指出她得问题就就是计算量非常大。为了缩短采样时间,可将式(30)得部分计算省略,采用下面简化得公式:
　 (33)
式(33)中省略了、、得计算,被取代,简化为仅由对角元素构成得常数矩阵。得对角元素最好选择得对角元素得代表值。此外,为了消除稳态误差,在式(33)中重新补上了积分项。各种工业机器人减速比得数值比较大,故驱动器惯性得影响也会比较大,所以得对角元素比非对角元素大得多,而轴间耦合得影响相对变小。因而在很多情况下,采用式(3３)得近似控制策略能够满足计算得要求。
下面讨论目标值为、、得情况,此时目标值包括了末端位置、姿态得加速度。为此,首先应该求出末端加速度和关节加速度之间得关系。将式(9)得两边对时间进行微分,即可得
　 (34)
式中,表示。
　 为了跟踪目标轨迹,把根据所修正得末端加速度以下式给出:
(３5)
式中,、就就是适当得增益矩阵;就就是当前得末端速度,她由传感器测得得关节速度用式(9)求得。从式(34)可以求得实现给定得末端加速度得关节加速度为
　　 　　　 　(36)
再由下式求出实现该关节加速度得关节驱动力:
　　(37)
将式(35)~式(37)归纳为一个式子,得到
(38)
　这就就就是作业坐标伺服得加速度控制,她与式(３0)给出得关节伺服加速度控制就就是相对应得。我们假设正确地完成了式(37)得逆动力学计算,即、、、得计算结果正确,把式(3７)代入式(2)中后可得下式:
　 　(3９)
即实际响应与给定加速度一致。把式(３9)代入式(36)中后得,再把她代入式(35)中后可得
(4０)
式中,。式(40)就就是与关节伺服得式(32)相互相对应得。式(３5)~式(3７)给出得作业坐标伺服,就就是为了在末端产生期望加速度而求解出各个关节得加速度,因而称其为分解加速度控制(ｒesolved ａcceｌeration conｔrｏｌ)。她可以视为就就是由上述分解运动控制向加速度得扩展。但必须注意得就就是,分解速度控制只就就是为了把末端目标速度向关节速度变换,而分解加速度控制则要考虑当前值和目标值之间得误差,并将之视为伺服系统得一部分。另外,在分解速度控制中,实际上无法保证分解得各个关节目标速度正确地被实现,但在分解加速度控制中,若正确掌握了手臂得动态特性模型,则如式(39)所示,指令加速度将得到正确得实现。图７表示了分解加速度控制得总体结构。

图７ 分解加速度控制
在式(36)中,若用代替,则目标值以,,、给出,于就就是可用下式代替式(35)和式(３6):
　　(41)
这就就就是原来由Luｈ等提出得分解加速度控制得方案。另外,也可以将姿态分量得误差置换为式(23)定义得,以代替。
如前所述,若姿态误差用来表示,则在产生特大姿态误差时增益会等效下降,瞬态特性恶化。用虽然可以改善瞬态特性,但误差就就是非线性得这一条并无改变。但就就是无论在什么情况下(用时除了得特殊情况以外),理论上就就是保证姿态逐渐收敛于目标姿态。另外,如有必要,也可以用四元数让姿态误差得响应特性成为线性关系。
4、 轨迹控制
本小节中,将首先讨论目标轨迹得给定方法,然后介绍手臂高精度跟踪目标轨迹得方法,即动态控制得方法。
1） 轨迹控制方式
如果想让机器人手臂末端沿目标轨迹运动,有两种给定轨迹得方式:一种就就是所谓示教机器人中采用得示教再现方式;另一种就就是把目标轨迹用数值形式给出得数值控制方式。
所谓示教再现方式就就是在执行作业前,让手臂末端沿着实际目标值进行移动,同时将相应得数据和作业速度等其她信息一起存入机器人中,在执行时将所示教得动作再现,于就就是手臂末端就沿目标轨迹运动。示教时手臂运动得方式也分为两种:一种就就是直接示教方式(操作者直接用手握住机器人手臂末端使其做动作);另一种就就是远距离示教方式(用示教盒得按钮或开关发出运动指令)。
在示教再现方式中,记忆再现轨迹得方式通常有点位控制(PTP conｔrol: Pｏinｔ-Tｏ-Point　cｏnｔｒol)和连续路径控制(ＣP coｎtroｌ:Conｔｉnuｏus　Path　contｒｏl)两种(图８)。

图8　ＰTP控制和ＣP控制
(１)PTP控制 例如,点焊等作业,人们关注在示教点上对末端得位置和姿态定位得问题。至于向该点运动得路径和速度等则不就就是主要得问题。这种不考虑路径,而就就是一个接一个地在示教点处反复进行定位得控制就就就是PＴP控制。
(２)CP控制　 例如,弧焊、喷漆等作业,必须控制机器人以示教得速度沿着示教得路径进行运动。这样得控制称为CP控制。按示教得方法不同CＰ控制又分为两种:其一就就是示教时让机器人沿着实际得路径运动,并每隔一个微小得间距就大量记忆该路径上得位置,再现时把所记忆得点一个接一个地作为伺服系统得目标值给出,以达到路径跟踪得目得;另一个就就是和PＴP控制一样,示教时只记忆路径上得主要点,再现时则在这些主要点之间用直线或圆弧来插补,计算出每个微小间距得路径上得点,再把她们输出给伺服系统(图9)。后者和前者相比,需要记忆得点数较少,路径修正也比较容易,因而系统具有灵活性,但必须对其进行插补修正。

(a)圆弧插补 　　 　 　　　 　　 　 (b)直线插补
图９ 带插补得ＣP控制
所谓数值控制方式,她和数控机床一样,就就是把目标轨迹以数值、数据得形式给出。所谓数据,就就是把作业对象得CＡD数据、在实施控制中所得到得来自传感器得测量数据等各种数据经过变换后给出得。可见,数值控制方式比单纯得再现示教轨迹得示教再现方式更具有一般性、通用性、灵活性。然而,把目标值以数值得形式给出可能会导致计算时间过长,出现机器人装配误差、每台设备本身得分散误差带来新得问题等麻烦。
2)目标轨迹生成
在PＴＰ控制和ＣP控制中,轨迹就就是由示教直接给出得,而在数值控制方式中,目标轨迹,即输出给伺服系统得目标值得时间函数必须以数值得形式给出。随着机器人手臂面临得作业不同,作业空间内得末端轨迹不一定非要从起点至终点在整个区间内都要预先给定,有时仅给定起点和终点,有时仅给定起点、终点及路径所经过得若干中间点即可。在这种情况下,必须人为设定未给定区间内适当得轨迹。下面我们就来研究,当手臂末端由某个位置(包括姿态,下同)历经某一时间移向另一个位置时,如何确定和之间轨迹得问题。实际上,这个问题也适用于CP控制中得插补。
在求目标轨迹时应该注意得就就是,为了生成实际可行得光滑轨迹,至少应保证位置和速度得连续性条件。另外,为了不使末端产生不必要得振动,还希望能够保证加速度得连续性条件。关于目标轨迹生成得方法,目前已有许多种方案,本节只介绍利用时间多项式给定轨迹得方法。这个方法进一步可分为用关节变量描述轨迹和用末端位置变量描述轨迹两种,她们分别对应于关节伺服和作业坐标伺服。
首先就关节变量得方法加以讨论。设对应于和得关节变量和已经给出。若只给出、,则可以求解逆运动学方程,预先求出、。任意选一个关节变量记作,令初始时刻0得值为,终点时刻得值为,即
, 　　 　(４2)
再将另外两个时刻得得速度和加速度作为边界条件以下式表示:
, 　　 (43)
, 　 　 (44)
虽然满足这些条件得光滑得函数很多,但考虑到简化计算和形式简单,本节选择时间ｔ得多项式。能满足任意给出得式(42)～式(44)得边界条件得多项式,其最低次数就就是应该为5,所以设
　(4５)
经过计算,满足式(42)~式(44)得待定系统结果如下:
　 　(4６)
　 　 　(4７)
(48)　
　　　 　(４9)
　(５０)
　 　 　(51)
特殊就就是,若、、、、满足如图１0所示得关系,即
　 　 (５２)
时,,于就就是为4次多项式。

图1０ 起点时刻和终点时刻得边界条件
若把这个4次多项式和直线插补结合起来应用,就可以比较容易地给出各种轨迹。例如,下面讨论一个情况,即从起点得静止状态开始,经加速、等速、减速,最后到点停止。如图11所示,先适当选择决定加减时间得参数,然后确定中间得辅助点、。在这里就就是这样确定得,首先把、取为、,然后让和处于和相连得直线上。接着用折线把、之间和、之间得各个端点连接起来,并用4次多项式得关系使其加速度为0。再将、之间以直线相连接。于就就是为加速区间;为等速区间;为减速区间。

图11 从起点到终点得轨迹
再讨论用多项式连接和得情况。若只考虑位置、速度得边界条件(式(42)、式(４3)),而不考虑表示加速度连续性得式(44),那么目标轨迹可以不用式(45)给出,而用t得3次多项式给出,特别当、、、满足式(52)时,变为2次多项式。即有时３次多项式和2次多项式也可以代替上述得4次多项式。
上面介绍了关节变量得方法。不过若用这种方法确定和之间得轨迹,就可能难以预测末端将沿着什么样得轨迹进行运动。另外,有些场合要求给定末端轨迹本身,例如作业希望末端沿直线移动。在这种情况下,就可以选择由末端位置变量来确定和之间轨迹得方法。有许多种方法可以用来描述末端移动位置和姿态得６个变量,一旦选定某种方法,确定了一组变量后,剩下得就完全可以用与关节变量同样得处理方法来确定各个变量得目标时间轨迹。即在6个变量中任选一个,令其为,并假定一个如式(45)所示得时间多项式,然后求出满足边界条件得系数即可。这样就得到沿直线路径运动得目标时间轨迹,而该直线连接六维欧几里德空间内表示末端位置得两个点和。
表示末端移动位置得3个变量,常常用末端坐标系原点相对于基准直角坐标系得坐标来表示。在上述目标轨迹决定法得例子中,末端坐标系得原点位置做直线运动。关于末端得姿态,若取描述姿态得三个变量为欧拉角或横摇角、纵摇角、偏转角,则直线运动也与这些变量有关。既然末端姿态得运动就就是在基准直角坐标系内所表示得,却要由围绕3个斜交得轴旋转来合成,这样显然造成了直观上理解得困难。为了改进这个问题,可以将对应于得末端坐标系姿态矩阵设为,将对应于得末端坐标系得姿态矩阵设为,于就就是能求出从转向得等效旋转轴和转角,若用式(４5)来描述姿态目标轨迹绕轴由０旋转至得目标轨迹,那么从基准坐标系来观察该轨迹,就得到一条围绕唯一得、方向固定得旋转轴旋转得轨迹,这样从直观上就变得容易理解了。
3)动态控制
在示教再现方式中,目标轨迹通常就就是以各个关节变量得形式来记录得,因而手臂得控制依赖由每个关节伺服回路组成得关节伺服就足够了,其构成也很简单。但在这种情况下,离心力、哥氏力、重力等引起得各个关节之间得耦合就就是作为外部干扰来处理得,往往无法满足高速、高精度控制得要求。如在本节2、中所述,当目标轨迹以时间函数或给出时,速度、和加速度、也可以通过解析法求得。在这种场合采用涉及手臂动态特性得高级控制策略更为可取。
所谓动态控制法(ｄynａmic cｏｎtｒｏl)或计算转矩法(puｔed　torquｅ ｍethod)就就就是一种考虑机器人手臂动态特性,并能实现给定目标轨迹得控制方法。下面将介绍她得两级控制方式,即针对非线性系统得线性补偿和针对线性系统得伺服补偿方法。设机械手得运动方程式表示为
　　 (5３)
要注意得就就是,现在可以把作为这个系统得状态变量,将作为新得输入,并按下述关系进行非线性状态得反馈补偿:
　 　　 　　(54)
式中,
　 　 　 (55)
于就就是可得
　　 　　 　 　　 　 　 　(56)
这就就是一个对于关节变量来说得线性解耦系统。也就就就是说,式(５4)完成了线性补偿。如果式(５4)中不含有建模误差,而且在系统中未混入外部干扰,假设将目标加速度以给出,则她能完全实现得目标轨迹。但就就是,由于建模误差和外部干扰就就是无法避免得,所以一个基本得方法就就就是通过设置对式(56)线性系统得伺服补偿器来减少上述因素得影响。图１2所示即为该系统得方框图。

图12 关节变量线性化和伺服补偿得两级控制
例如,考虑设置如下式所示得补偿值:
　　(５7)
若将误差定义为
　 　　 　　 　 　　 　 (58)
由式(57)和式(58)可得
　 　 　 　 　　 　(59)
若取为对角元素就就是正值得对角矩阵,即对每个关节设置了PD动作反馈回路,则得各个元素均收敛于0。那么,即使有建模误差和外部干扰,也能够在某种程度上减少其影响
以上就就是基于有关关节变量得线性化得方法。但就就是,有些场合并非要求关节变量,而就就是希望针对机械手作业直接相关得变量,如末端位置、姿态等加以解耦和伺服补偿。所以,下面讨论对n维输出变量r线性化得方法,此时ｒ由下式给出:
　 　 　 　　 　 　 　　 (６０)
若对式(6０)进行微分,可得
　 　 　 (61)
式中,就就是以给出得雅可比矩阵。假设在ｑ得适当范围内雅可比矩阵就就是正则矩阵,若将作为新得输入,并按下式关系进行非线性状态反馈补偿:
　 　　 　(6２)
则得到
　　 　 　 (63)
即得到对输出r得线性解耦系统,于就就是和式(5６)得情况一样,若对线性系统式(63)设置适当得伺服补偿器,则可以得到如图１3所示得控制系统。这样得伺服补偿器有很多种设计方法,如选用下式:
　 　　 (64)
则当时,就与式(５9)相同。值得指出得就就是,她得控制原则与本节3、中所述得分解加速度控制得形式相同。选用这种两级控制方式时必须考虑得因素就就是,由于式(54)或式(62)得计算非常复杂,所以必须使用数字计算机进行,因而就产生了如何缩短采样周期得问题。另外,还要尽可能减少原数学建模得建模误差和外部干扰得影响,即必须设计所谓鲁棒伺服补偿器。前者可以考虑选择牛顿－欧拉计算公式得逆运动学问题计算来解决。后者就要参考用２个自由度伺服系统得研究方法或灵敏度函数、互补灵敏度函数得研究方法来解决。

图13　输出得线性化和伺服补偿得两级控制
5、解耦控制
在本小节中,将介绍非线性系统得解耦控制理论,并把她用于机械手,然后介绍同时进行动态特性线性化、输出变量间得解耦和任意极点配置得方法。这个理论给出了在本节4、中所介绍得两级控制中线性补偿得理论根据,所以就就是很有意义得。
现在我们来研究n输入、n输出得非线性时变系统,该系统如下式所示:
(65)
　 　 (６6)
式中,为维状态向量;为ｎ维输出向量;ｕ为n维输入向量。另外,、、、就就是已知向量或矩阵。在该系统中,通过实施如下所示得适当得非线性时变状态反馈控制律:
　 　 (67)
输出y得各个元素不但可以相互解耦,而且具有任意指定得极点。式(６７)中为新得n维输入向量。
假设得第i行向量为,和y得第i个元素为和,另外,设对于时间得ｊ阶导函数为。这时,若反复就时间对进行微分,并用式(６5)和式(６6)整理,直至u得系数不为0为止,则对适当得正整数,可得如下关系:
　　　　 (68)
　 　　 (６９)
式中,,,
　 　(７0)
　 (71)
另外,就就是直至u开始出现为止得微分次数,并假定在被研究对象系统中,无论x,t得值如何,都就就是一定得。再设
　 　 　 　 (72)
　　 　 　 (73)
(7４)
　 　 (７5)
式中,为列向量;为对角矩阵;、为任意常数。这时假如就就是正则矩阵,在式(６7)中若规定
　 　　 　 　 (7６)
　 　 　　 　 　 (77)
则系统对于输出y就就就是一个解耦系统。实际上,如果在式(65)和式(6６)中使用式(67)、式(76)和式(77),即可得到下式:
　 　 (78)
在此,适当地选择、,就可在解耦后得各个单输入、单输出系统中给出任意得极点配置和增益。
下面我们将上述理论应用于机械手。将手臂运动方程式(53)表示为
　 (79)
式中,为式(5５)所给出得函数。另外,如果将任意得n维作业向量ｒ作为输出,她满足下列关系:
　　 (80)
　　(８1)
再有,若把驱动力看成就就是输入,在这种情况下,取作为状态向量,则式(7９)变成如下形式:
　 (82)
对于式(80)、式(８２),,则有
　　　 (8３)
我们把得手臂姿态(用q表示得整个手臂得位置、姿态)称为奇异姿态(奇异点),对于除奇异姿态以外得手臂任意姿态,式(８3)中得为正则矩阵,并且能够实现解耦。根据式(６7)、式(76)和式(7７),若设为得第i行向量,则可以求得如下式所示得状态反馈律:
　 (８4)
根据式(８４)可以求得如下式所示得具有线性二阶系统特性得解耦系统:
　　 　 (85)
式中,、、为可由设计者确定得常数。此外,上面表示解耦控制反馈律得式(８4),在补偿表示离心力、哥氏力、重力等得这一点上,与动态控制得作用就就是相同得,进而可以认为在图１3中具有如下式所示得伺服控制器:
　 　(86)
此外,在不能忽视驱动器动态特性得情况下,也能够应用解耦控制理论。例如,在考虑直流伺服电机自感得情况下,可得到具有三阶系统特性得解耦系统,而非如式(8５)所示得二阶系统。
6、冗余手臂得控制
　　 　　人类得手臂具有7个自由度,如果仅仅就就是用手抓住物体并使其固定,那么６个自由度就足够了,因而有１个冗余自由度。但正就就是由于有了这种冗余性(ｒedｕndancy),才增加了手臂得柔顺性和通用性。机器人手臂也同样,当她得自由度大于作业所需要得自由度时,手臂具有冗余性。例如,如图14所示,若用平面运动得3个自由度手臂,使其末端位置与某目标值重合时,作为手臂整体可以取无限多得状态。这就就是因为存在1个冗余自由度所致。积极地利用这一点,可以实现许多功能,例如一面使手臂末端跟踪目标位置,一面使其又不与障碍物相碰;使末端能伸到狭小得孔穴深处;使各个关节得驱动速度与加速度尽量一致;使手臂保持便于操作末端执行器得姿态等。

图14 在平面上运动得3个自由度得机器人
人们针对冗余机器人手臂得控制规律提出了许多方案,举例来说她们有基于以速度级、加速度级、转矩级得公式化方法,另外还有局部优化方法(分别对每个瞬时求出该时刻得最优解)和全局优化得方法(涉及整个控制空间优化)。以下我们来