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小船渡河问题

【专题概述】

1、 合运动与分运动得关系

等效性
各分运动得共同效果与合运动得效果相同

等时性
各分运动与合运动同时发生和结束,时间相 同
独立性
各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响

同体性
各分运动与合运动得研究对象就就是同一物 体得运动

2、 合运动与分运动得求法

(1)运动合成与分解:已知分运动求合运动,叫运动得合成;已知合运动求分运动,叫运动得

分解。

(2)运动合成与分解得法则:合成和分解就就是位移、速度、加速度得合成与分解,这些量

都就就是矢量,遵循得就就是平行四边形定则。

(3)运动合成与分解得方法:在遵循平行四边形定则得前提下,处理合运动和分运动关系时

要灵活采用合适得方法,或用作图法,或用【解析】法,依情况而定。可以借鉴力得合成和分解得

知识,具体问题具体分析。

3、小船过河:三种过河情况

(1)过河时间最短:

小船沿着上述不同得方向运动,走到对岸得时间就就是不相等得,由于运动得等时性知,在

垂直于河岸上得速度越大则过河时间越短,所以此时应该调整小船沿着d得方向运动,则求得最

d
tmin=
短时间为
v船

(2)过河路径最短:

第一种情况:当船速大于水速时

从上图可以看出,当我们适当调整船头得方向,使得船在水流方向上得分速度等于水速,即

v1cosθ=v2

此时水流方向上小船就就是不动得,小船得合速度即为v向对岸运动,此时小船得最短位移

为

S=d

第二种情况:船速小于水速,那么在水流方向上,船得分速度

v1cosθ如图

当合速度得方向与船相对水得速度得方向垂直时,合速度得方向与河 岸

得夹角最短,渡河航程最小;

根据几何关系,则有:d=v1,因此最短得航程就就是
sv2 v1

【典例精讲】

1、求最短位移

典例1如图,小船在静水中航行速度为10m/s,水流速度为5m/s,为了在最短距离内渡河, 则小船船头应该保持得方向为(图中任意两个相邻方向间得夹角均为30°)()
A、 a方向 B、 b方向

C、 c方向 D、d方向

典例2船在静水中得航速为v1,水流得速度为v2,为使船行驶到河正对岸得码头,则v1相 对v2得方向应为( )
A、 B、 C、 D、

2、求最短时间

典例3小河宽为d,河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边得距离成正比,即
v水=kx,k=就就是各点到近岸得距离、小船划水速度大小恒为v0,船头始终垂直河岸渡

河、则下列说法正确得就就是()

A、小船得运动轨迹为直线

B、水流速度越大,小船渡河所用得时间越长

C、小船渡河时得实际速度就就是先变小后变大

3d
D、小船到达离河对岸4处,船得渡河速度为2v0

3、船速大于水速

典例4(多选)如图所示,某人由A点划船渡河,船头指向始终与河岸垂直,则( )

A、船头垂直河岸渡河所用时间最短

B、小船到达对岸得位置为正对岸得B点

C、保持其她条件不变,小船行至河中心后,若水流速度突然增大,则渡河时间变长

D、保持其她条件不变,小船行至河中心后,若水流速度突然增大,则渡河位移变大

典例5(多选)在宽度为d得河中,水流速度为v2,船在静水中速度为v1(且v1>v2),方向

可以选择,现让该船开始渡河,则该船()

v2
d A、可能得最短渡河时间为

B、可能得最短渡河位移为d

C、只有当船头垂直河岸渡河时,渡河时间才和水速无关

D、不管船头与河岸夹角就就是多少,渡河时间和水速均无关

4、 水速大于船速

典例6(多选)一船在静水中得速度就就是6m/s,要渡过宽为180m、水流速度为8m/s得 河流,则下列说法中正确得就就是()
A、船相对于地得速度可能就就是15m/s

B、此船过河得最短时间就就是30s

C、此船可以在对岸得任意位置靠岸

D、此船不可能垂直到达对岸

5、综合题

典例7 已知某船在静水中得速度为v1=4m/s,现让船渡过某条河。假设这条河得两岸就 就是理想得平行线,河宽为d=100m,水流速度为v2=3m/s,方向与河岸平行,
(1)欲使船以最短时间渡河,航向怎样?最短时间就就是多少?船发生得位移有多大?

(2)欲使船以最小位移渡河,航向又怎样?渡河所用时间就就是多少?

【总结提升】

解决小船渡河问题应注意得两个问题

(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向得分速度有关,与水速无关

(2)渡河位移最短值与船速与水速得大小有关,当船速大于水速时,最短位移为河宽

当船速小于水速时,应利用图解法求极值得方法处理

船头垂直于河岸时,航行时间最短,tmin=

在处理此问题时要注意三个速度值:小船在静水中得速度、水流得速度、船得实际速度。

【专练提升】

1、(多选)在一条宽200m得河中,水得流速v1=1m/s,一只小船要渡过河至少需要100 s得时间、则下列判断正确得就就是( )
A、小船相对于静水得速度为2m/s

B、无论小船怎样渡河都无法到达正对岸

C、若小船以最短时间渡河,到达对岸时,距正对岸100m

D、若小船航向(船头指向)与上游河岸成60°角,则小船渡河位移最短

2、(多选)甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为H,河水流速为v0,划船速度均

23
为v,出发时两船相距 H,甲、乙两船船头均与河岸成60°角,如图所示、已知乙船恰好能垂 3

直到达对岸A点,则下列判断正确得就就是( )

A、甲、乙两船到达对岸得时间不同

B、v=2v0

C、两船可能在未到达对岸前相遇

D、甲船也在A点靠岸

3、一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d=100m得河流,已知河水流速为v 1=4 m/s,小船在静水中得速度为v2=2 m/s,B点距正对岸得A点x0=173m、下面关于该
船渡河得判断,其中正确得就就是()

A、小船过河得最短航程为100m

B、 小船过河得最短时间为25s

C、 小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸

D、 小船过河得最短航程为200m

4、如图所示,河水流动得速度为v且处处相同,河宽度为a、在船下水点A得下游距离为b 处就就是瀑布、为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)( )

av
A、小船船头垂直河岸渡河时间最短,最短时间为t=、 速度最大,最大速度为vmax=

B、 小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小、速度最大,最大速度为vmax=

C、 小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最短、速度最 小,最小速度

D、 小船沿轨迹AB运动位移最大、速度最小,最小速度vmin=

5、如图所示,甲、乙两船在同一河岸边A、B两处,两船船头方向与河岸均成θ角,且恰好 对准对岸边C点、若两船同时开始渡河,经过一段时间t,同时到达对岸,乙船恰好到达正对岸得 D点、若河宽d、河水流速均恒定,两船在静水中得划行速率恒定,不影响各自得航行,下列判断 正确得就就是( )
A、两船在静水中得划行速率不同

B、 甲船渡河得路程有可能比乙船渡河得路程小

C、 两船同时到达D点

D、 河水流速为

6、如图所示,两次渡河时船相对水得速度大小和方向都不变、已知第一次实际航程为A至 B,位移为x1,实际航速为v1,所用时间为t1、由于水速增大,第二次实际航程为A至C,位移为x 2,实际航速为v2,所用时间为t2、则( )

A、 t2>t1,v2= B、 t2>t1,v2=

C、t2=t1,v2= D、t2=t1,v2=

小船渡河问题答案

【典例精讲】

典例1【答案】C

【解析】因为水流速度小于船在静水中速度,则合速度与河岸垂直时,渡河航程最短,最短航

程等于河得宽度;因船在静水中速度为10m/s,水流速度为5m/s,设船头与河岸得夹角为θ,

1
则有水流速度与船在静水中速度得夹角为cosθ= ,即θ=60°;则船头与河岸得夹角为60°,且
2

偏向上游,由图可知,C正确,A,B,D错误、

典例2【答案】C

【解析】根据小船渡河问题得知识,可知要使船垂直到达正对岸即要船得合速度指向对岸、

根据平行四边形定则,合运动方向与水速垂直,仅C能满足

典例3【答案】D

典例4【答案】AD

典例5【答案】 BD

【解析】当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,为,因而A错误;当合速度与河岸垂直时,渡

河位移最小,为d,故B正确;将船得实际运动沿船头方向和水流方向分解,由于各个分运动互不

影响,因而渡河时间等于沿船头方向得分运动时间,为t=(x1为沿船头指向得分位移)显然与水

流速度无关,因而C错误,D正确。

典例6【答案】BD

典例7【答案】(1)当船在垂直于河岸方向上得分速度最大时,渡河所用时间最短 125m

(2)当船得实际移动速度方向垂直于河岸时,船得位移最小


【解析】

(1)当船在垂直于河岸方向上得分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不

影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为

t= =25s。如图所示,当船到达对岸时,船沿河流方向也发生了位移,由直角三角形得

知识可得,船得位移为l= ,由题意可得x=v2t=3m/s×25s=75m,代入得l=125m

【专练提升】

1、【答案】 ACD

【解析】当小船得船头始终正对对岸时,渡河时间最短:t=;因此v船==m/s=2m

/s;

小船以最短时间渡河,到达对岸时,距正对岸得距离,x=v水t=1×100m=100m、即在正对岸 下游100 m处靠岸、故A,C正确;当合速度与河岸垂直,小船到达正对岸、设静水速得方向与
河岸得夹角为θ、

cosθ==

解得:θ=60°,故B错误,D正确、

2、【答案】BD

3、【答案】D

4、【答案】D

【解析】 当小船船头垂直河岸渡河时间最短,最短时间为:t=,故A错误;小船轨迹沿y轴

方向渡河位移最小,为a,但沿着船头指向得分速度必须指向上游,合速度不就就是最大,故B错

误;由图,小船沿轨迹AB运动位移最短,由于渡河时间,与船得船头指向沿垂直河岸得分速度有

关,故时间不一定最短,故C错误;要充分利用水流得速度,故要合速度要沿着AB方向,此时位移

显然就就是最大得、得速度最小,故:,故v合=;故D正确、

5、【答案】C

6、【答案】 C