第8章-数学物理方程.doc

第三篇 数学物理方程
物理学中物理量所遵循的方程，一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是微分方程。如波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程。对于俩个自变数、的二阶偏微分方程一般形式为：

按A、B、C所满足的条件划分为三类：①椭圆方程；②抛物型方程；③双曲线方程。
§30.定解问题
由于数理方程就是系统运动方程，故数理方程的一个确定的解就代表着系统的一个具体的状态，要完全确定系统的具体运动状态。首先得求出该问题所服从的数理方程，其次要正确的写出该问题的定解条件，最后求出数理方程满足定解条件的解。所谓定解条件，即系统所处的环境，以及研究对象的特定历史，分别称为边界条件和初始条件。定解问题的适定性：①有解；②唯一；③稳定。
§31.数理方程的导出
数理方程的导出，实际上是将物理问题翻译成数学问题的过程。因此：①首先要确定要研究那一个物理量；②在系统中取小一微元作为代表；③找出该微元和临近部分的能反映主要矛盾方面的相互作用关系；④整理化简。
§31.1波动方程
① 弦的微小横振动方程
如图拉紧的均匀弦在外力作用下做微小的横振动。

是单位长度弦上的横向外力

质量： （线密度）
加速度：
合力：
由 得到：
注意到，，
则有
因

当 则有
令

② 均匀杆的纵振动

为力密度
质量： （为体密度）
加速度：
合力：
则
当时有

③ 均匀薄膜的微小横振动

考虑均匀薄膜张紧的平面（x，y平面）在单位面积上的横向外力的作用下横向位移
质量： （为质量的面密度）
加速度：
在方向的合力：

考虑到

则有：则当时，有

④ 电报方程 理想传输时，导线电阻R和电漏G可省略，而仅考虑线间电容和电感的效应。

⑤ 流体力学和声学方程

⑥ 电磁波方程

⑦ 杆的微小横振动
单位长度杆上对横向
§31.2输运方程
① 扩散方程
扩散流强度：单位时间里通过单位横截面积得原子或分子数。
物质浓度：由扩散定律 为扩散系数。

② 热传导方程
热流强度q：单位时间里通过单位横截面积的热量，温度梯度。
由热传导定律 则有

即
§31.3稳定场方程
①稳定浓度分布
②稳定温度分布
③ 静电场在没有电荷的区域：
又因静电场无旋，存在电势，则有
④无旋稳恒电流势
⑤流体内无旋稳恒流动速度势。
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§32 定解条件
数理方程还不足以完全确定方程的解，因为具体的运动状态与系统的初始运动状态以及系统边界所受的外界作用有关，所以将初值条件，边界条件称为定解条件。
§32.1 初始条件
初始条件是指整个系统的初始状态。一般的说，初始条件的个数应等于数理方程中所含有的对时间最高偏导数的阶数，如振动问题，应提供初始时刻系统的“位移”“速度”表达式，而输运问题则要求知道物理量的初始分布。
无初始条件的情形：①稳定场问题②初始时刻的作用经一段时间后逐渐衰减为零。
§32.2边界条件
① 第一类边界条件：给出在边界处的值。
② 第二类边界条件：给出在边界处的值。
③ 第三类边界条件：给出和在边界处的线性组合。
此外还有另外两类边界条件：a.周期性边界条件。b自然边界条件。
注意：边界条件和泛定方程中的外力和外源的区别：边界条件是边界上的状态（整个考虑过程），而外力或外源则是作用于整个系统的。
无边界条件的问题：当所考虑的问题和边界上的状态相关甚微时。
§32.3衔接条件

若在考虑的区域出现了跃变点，因而需分区域分别考虑，但区域间又通过跃变点联系在一起：该关系贯彻整个过程。

例1. 用手将长为两端固定的弦的中点向上拨开距离，然后松手任其振动，写出弦横振动的初值条件。

例2 考虑长为两端固定的弦的横振动的边界条件。

例3 设杆的横截面积为，它的一端是固定的，另一端受一沿方向的已知外力作用，作用在处单位面积上的力为，写出边界条件。

例4 细杆的热传导①流入的热流强度为；②端绝热

① 由传导定律：

则有
②
例5细杆的热传导端面与外界（温度）通过辐射等交换热量而自由冷却
根据能量守恒定律

例6 如图，杆的纵振动

例7 如图纵振动，Ⅰ、Ⅱ为两种不同的介质

例8 如图纵振动

例9 半径为R而表面熏黑的金属长圆柱体，受到阳光照射，阳光垂直于柱轴，热流为M，写出边界条件。
解：
设环境温度为，由于表面熏黑则吸收系数为1.
吸收热流为
散热热流
即
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§33二阶线性偏微分方程的分类
将所有自变数（时空坐标）依次记为，二阶偏微分方程可表为：

其中、、、只是的函数，该方程称为线性方程。若则称方程为齐次的，否则称为非齐次的。
如果泛定方程和定解条件都是线性的，则叠加原理是适用的。
§33.1两个自变数的方程的分类

作代换 要求代换的雅可比行列式
这样，采用新的自变数后的方程为：

其中

注意 a 变换后的方程仍是线性的。
b 若取一阶偏微分方程 两个特解分别作为和则和均为零，方程得以化简。由为常数，则，于是有。
该方程的一个解常数，取为，另一个解常数，取为。称为原方程的特征方程，而常数，常数则成为特征线。
特征方程可分为两个方程

1. 根据根号下的符号 划分偏微分方程的类型。
2.由于、、可以是的函数，所以一个方程在自变数的某个区域上属于某一类型，但在另一区域上可能属于另一类型。
3.即变换后方程的类型不变。
对于双曲线型绘出两组实的特征线 常数，常数，取变换 ，则变换后方程为
对于抛物型，由于，特征线方程为，即只有一簇实得特征线，取
作为新的自变数，有及，则自变数代换后的方程为。
对于椭圆型方程，特征方程给出了两族复数的特征线常数，常数而且，取， ，则有。

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