高等数学AII复习资料.doc

《高等数学(AII)》期末内容8至12章
第八章
1.设,求
(1) ;(3,)
(2) ;(-18)
(3) 的夹角余弦.()
2.求平行于向量的单位向量.()
3.证明向量与向量垂直.
4.已知且,则=_________.(5)
5.设,,求的夹角.()
6.将面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.()
7.求通过轴和点的平面方程.()
8.求过点(1,1,1),且垂直于平面和的平面方程.
()
9.用对称式方程与参数式方程表示直线.
()
10.求与两平面和的交线平行且过点的直线方程.
()
11. 判断直线与平面的关系？
(直线在平面内)
12.设,求.
13.求在(0,0)的一阶偏导数.(0,0)
14.求函数的定义域.
(
15.求.(1)
16.求下列函数的偏导数或全微分:
(1) ,求; ( )
(2) ,求;
(,
(3) ,求.(1)
(4) ,求.()
17. 在“充分”和“必要”二者中选则一个正确的填入下列空格内:
(1) 在点可微分是在该点连续的__________条件. 在点连续是在点可微分的_________条件.
(2) 在点的偏导数存在是在该点可微分的_____条件. 在点可微分是函数在该点的偏导数存在的______条件.
(3) 在点的偏导数存在且连续是在点可微分的_________条件.
(4) 的两个二阶混合偏导数在区域内连续是这两个二阶混合偏导数在内相等的___________条件.
18. 设,而.求.
()
19. 设,求.
()
20. 设,求.
()
21. 设,求.
()
22. 设,求.
()
23.设,其中为可微函数,求.()
24.设,其中为方程

所确定的隐函数,试求.(0)
25.求曲线在对应于的点处的切线及法平面方程.
()
26.求曲线在点的切线及法平面方程.
()
27.求球面在点处的切平面及法线方程.
()
28.若平面与椭球面相切,求.()
29. 求过点且与直线垂直的平面方程。
()
30.求函数在曲线上点处,沿曲线在该点的切线正方向(对应于增大的方向)的方向导数.()
31. 求函数在球面上点处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数.()
32. 函数在点处变化最快的方向，及最大方向导数。
(, 3)
33. 求函数的极值.
(极大值极小值)
34. 求表面积为而体积为最大的长方体的体积.( )
35. 计算,其中是由直线所围成的闭区域.()
36. 计算,其中是由抛物线及直线所围成的闭区域. (9)
37. 计算,其中.( )
38. 计算,其中.()
39. 求球体被圆柱面所截得的立体的体积.
(
40. 改换下列二次积分的积分次序
。()
41. 计算,其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.(1/48)
42. 计算,其中是由曲面及平面所围成的闭区域.( )
43. 计算,其中是由球面及抛物面3所围成的闭区域.( )
44. 求两个直交圆柱面及所围立体的表面积.( )
45. 求半径为的均匀半圆薄片(密度为)对其直径边的转动惯量.( )
46. 设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,它的面密度,求该薄片的质量.(4/3)
47. 计算,其中为螺旋线上相应于从0到的一段弧.( )
48. 计算,其中为圆.()
49. 计算下列曲线积分:
(1),其中为正向星形线
.(0)
(2) ,其中为在抛物线上由点(0,0)到的一段弧.( )
（3），式中Ｌ是圆周的逆时针方向。 ()
（4），其中Ｌ是正向圆周。()
50. 证明积分与路径无关,并计算积分值.(5)
51. 验证在面内是某个函数的全微分,并求这样一个函数.()
52. 计算,其中是球面被平面截出的顶部.
()
53. 计算,其中是球面外侧在的部分.(2/15)
54. 计算下列曲面积分:
(1) ,其中是柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.( )
(2) ,其中为平面的整个表面的外侧.( )
55. 判断下列级数的敛散性:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) 条件收敛还是绝对收敛?((1)发;(2)发;(3)发;(4)发;(5)收;(60条件收敛)
56. 判断级数是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(绝对收敛)
57. 求幂级数的收敛域及和函数.( )
58. 将函数展开成的幂级数.( )
59. 填空;
(1)设是周期为的函数,当,，
在内的傅里叶级数的和函数是,则=___________.
当时, 的傅里叶级数收敛于________.(-1,-1/2)
(2) 是级数收敛的__________条件,不是级数收敛的_____条件，_________条件.（必要，充分，充要）
(3)部分和数列有界是正项级数收敛的_________条件.( 充要)
(4)若级数绝对收敛,则级数必定__________;若级数条件收敛,则级数必定__________.（收敛，发散）
(5) 若级数收敛，则级数_________;（收敛）