2026届北京市丰台区重点中学数学高三上期末监测模拟试题.doc

2026届北京市丰台区重点中学数学高三上期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
3．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )
A． B． C． D．1
4．如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出（ ）

A．2 B．10 C．34 D．98
5．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．324 B．522 C．535 D．578
10．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
11．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A． B．
C． D．
12．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则关于的不等式的解集为_______．
14．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.
15．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．

16．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.

（1）证明：平面；
（2）求几何体的体积.
19．（12分）设函数，
（1）当，，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为1，求证：.
20．（12分）已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
21．（12分）已知函数（为常数）
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若为增函数，求实数的取值范围.
22．（10分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.
【详解】
由于为上的减函数，则有，可得，
所以当最小时，，
函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，
等价于函数与的图像有两个交点．
画出函数的简图如下，而函数恒过定点，

数形结合可得的取值范围为．
故选：A.
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.
2．A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
3．C
【解析】
试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则
，可得：
，当且仅当时取等号，故选C．
考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．
4．C
【解析】
由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.
【详解】
由题意运行程序可得：
，，，；
，，，；
，，，；
不成立，此时输出.
故选：C.
本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.
5．D
【解析】
由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.
【详解】
因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.
本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.
6．B
【解析】
取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.
【详解】
取的中点，连接、，

由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得.
设球心为，和的中心分别为、.
由球的性质可知：平面，平面，
又，由勾股定理得.
所以外接球半径为.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．C
【解析】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.
【详解】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，
在中，，故，即.
故选：.

本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8．D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：

因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
9．D
【解析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.
【详解】
从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D.
本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.
10．A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：

设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
11．C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．
12．A
【解析】
分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.
【详解】
由题意,若,显然不是恒大于零,故.
,则在上恒成立;
当时,等价于,
因为,所以.
设,由,显然在上单调递增,
因为,所以等价于,即,则.
设,则.
令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,
从而，故.
故选:A.
本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集．
【详解】
令，易知函数为奇函数，在R上单调递增，
，
即，
∴
∴，即x＞
故答案为：
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14．
【解析】
先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.
【详解】
解：

所以三角形周长
故答案为：
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.
15．13
【解析】
根据题意得到：a=0,b=1,i=2
A=1,b=2,i=4,
A=3,b=5,i=6,
A=8,b=13,i=8
不满足条件，故得到此时输出的b值为13.
故答案为13.
16．
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），；（2）.
【解析】
（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
也适合上式，所以，.
设数列的公比为，则，由，
两式相除得，，解得，，；
（2）设数列的前项和为，则，
.
本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；
（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.
【详解】
解：（1）∵，分别为，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）取，的中点，，连接，，，，则，
由于为三棱柱，为四棱锥，
∵平面平面，∴平面，
由已知可求得，
∴到平面的距离为，
因为四边形是矩形，，，
，
设几何体的体积为，
则，
∴，
即：.

本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.
19．（1）或；（2）证明见解析
【解析】
（1）将化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
所以或或
解得或，
因此不等式的解集的或
（2）
根据

，当且仅当时，等式成立.
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】
（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
21．（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）对函数进行求导，由题意知,为增函数等价于在区间恒成立，利用分离参数法和基本不等式求最值即可求出实数的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为，
当时，，
令，得，或，
所以，随的变化情况如下表：

递增

递减

递增
的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（Ⅱ）由题意得在区间恒成立，
即在区间恒成立.
，当且仅当，即时等号成立.
所以，所以的取值范围是.
本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.