安徽省定远县三中2025-2026学年高三数学第一学期期末考试模拟试题.doc

安徽省定远县三中2025-2026学年高三数学第一学期期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1 B．2 C． D．4
3．设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．2 B．24 C．16 D．14
4．已知等差数列中，则（　）
A．10 B．16 C．20 D．24
5．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）

A．100 B．1000 C．90 D．90
8．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数（）的最小值为0，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知是虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C． D．10
11．已知集合，，则中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，，若，则数列的前n项和______．
14．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
15．设，则“”是“”的__________条件.
16．不等式的解集为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8

型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10

型号C
0
45
15
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
18．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.

（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

男
女
总计
合格

不合格

总计

（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

19．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；
（2）设曲线与曲线交于，两点，求.
20．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件．
（1）求角；
（2）若边上的高为，求的长．
21．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
22．（10分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.
【详解】
由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,
由,可知若,则必有,
故选:C
本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.
2．B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
3．D
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.
【详解】
做出满足的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，即，
所以的最小值为.
故选：D.

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
4．C
【解析】
根据等差数列性质得到，再计算得到答案.
【详解】
已知等差数列中，

故答案选C
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.
5．A
【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.
【详解】
函数的定义域为，且，
则；
任取，且，则，
故，
令，，则，
即，
故函数在上单调递增，
故，
令，，
故，
故函数在上的最大值为4.
故选：A.
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
6．A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
7．A
【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解
【详解】
由题意，支出在（单位：元）的同学有34人
由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为
．
故选：A
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
8．C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
9．C
【解析】
设，计算可得，再结合图像即可求出答案.
【详解】
设，则，
则，
由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，

结合图像，，得，
所以.
故选：C
本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.
10．C
【解析】
根据复数模的性质计算即可.
【详解】
因为，
所以，
，
故选：C
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
11．C
【解析】
集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.
【详解】
由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，
联立与，
可得，整理得，
即，
当时，，不满足题意；
故方程组有唯一的解.
故.
故选：C.
本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.
12．A
【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
【详解】
解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
,求得的通项，进而求得,得通项公式，利用等比数列求和即可.
【详解】
由题为等差数列，∴,∴,∴,∴,故答案为
本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.
14．
【解析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.
故答案为：.
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
15．充分必要
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.
【详解】
当时，有，故“”是“”的充分条件.
当时，有，故“”是“”的必要条件.
故“”是“”的充分必要条件，
故答案为：充分必要.
本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.
16．
【解析】
通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。
【详解】
由得，解得，
所以解集是。
本题主要考查无理不等式的解法。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）应该购买21件易耗品
【解析】
（1）由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.
【详解】
（1）由题中的表格可知
A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；
B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；
C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；
设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则
,,,
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,
则
而
,
,
故,
即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.
（2）以题意知,X所有可能的取值为
；
；
；
由（1）知,,
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
；
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
18．（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：

男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，

0
1
2

.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
19．（1）；（2）
【解析】
（1）利用互化公式，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，即可求出面积；
（2）联立方程组，分别求出和的坐标，即可求出.
【详解】
解：（1）由于的极坐标方程为，
根据互化公式得，曲线的直角坐标方程为：
当时，，
当时，，
则曲线与极轴所在直线围成的图形，
是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，
∴围成图形的面积.

（2）由得，其直角坐标为，
化直角坐标方程为，
化直角坐标方程为，
∴，
∴.
本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.
20．（1）．（2）
【解析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.
（2）已知，由知，在中，解出即可.
【详解】
（1）由正弦定理知

由己知，而

∴，
（2）已知，
则由知

先求

∴
∴
∴

本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.
21．（1）当 时，直线l方程为x＝－1；当 时，直线l方程为
y＝(x＋1)tanα； x2＋y2＝2x （2）或.
【解析】
（1）对直线l的倾斜角分类讨论，消去参数即可求出其普通方程；由，即可求出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件Δ＝0，即可求解.
【详解】
(1)当时，直线l的普通方程为x＝－1；
当时，消去参数得
直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.
由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，
整理得t2－4tcos α＋3＝0.
由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，
所以cos α＝或cos α＝，
故直线l的倾斜角α为或.
本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.
22．特征值为1，特征向量为．
【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.
【详解】
设矩阵M＝，则AM＝，
所以，解得，所以M＝，
则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，
设特征值的特征向量为，则，
即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．
本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.