空间几何体表面积和体积周ppt1市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,*,*,云在漫步,*,云在漫步,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,1.3,简朴几何体表面积和体积,第1页,第1页,1.3.1 柱体、锥体、台体,1、表面积：几何体表面面积,2、体积：几何体所占空间大小。,第2页,第2页,表面积、全面积和侧面积,表面积,：,立体图形所能触摸到面积之和叫做它表面积。,（每个面面积相加）,全面积,全面积是立体几何里概念，相对于截面积（“截面积”即切面面积）来说，就是表面积总和,侧面积,指,立体图形,各个侧面面积之和（除去底面）,第3页,第3页,棱柱、棱锥、棱台侧面积,侧面积所指对象分别下列：,棱柱-,直,棱柱。,棱锥-,正,棱锥。,棱台-,正,棱台,第4页,第4页,2.几何体表面积,（1）棱柱、棱锥、棱台表面积就是,.,（2）圆柱、圆锥、圆台侧面展开图分别是,、,、,；它们表面积等于,.,各面面积,之和,矩,形,扇形,扇环形,侧面积,与底面面积之和,第5页,第5页,回想复习相关概念,1,、直棱柱：,2,、正棱柱：,3,、正棱锥：,4,、正棱台：,侧棱和底面,垂直,棱柱叫直棱柱,底面是正多边形,直,棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，,顶点在底面射影是底面中心,棱锥,正棱锥,被平行于底面平面所截，,截面和底面之间部分叫正棱台,第6页,第6页,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出,斜高,C,O,B,A,P,D,斜高概念,第7页,第7页,2,、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴,分别通过旋转轴作一个平面，观测得到轴截面是,什么形状图形,.,A,B,C,D,A,B,C,A,B,C,D,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,第8页,第8页,直棱柱：设棱柱高为,h,，底面多边形周长为,c,，则,S,直棱柱侧,.,（类比矩形面积）,圆柱：假如圆柱底面半径为,r,，母线长为,l,，那么,S,圆柱侧,.,（类比矩形面积）,ch,2,rl,知识点一：柱、锥、台、球表面积与侧面积,(1),柱体侧面积,第9页,第9页,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,第10页,第10页,棱柱侧面展开图是什么？如何计算它表面积？,h,正棱柱侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,第11页,第11页,思考：把圆柱、圆锥、圆台侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开图形与原图,有什么关系？,宽,长方形,第12页,第12页,圆柱侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,O,第13页,第13页,正棱锥：设正棱锥底面正多边形周长为,c,，斜高为,h,，则,S,正棱锥侧,.,（类比三角形面积）,圆锥：假如圆锥底面半径为,r,，母线长为,l,，那么,S,圆锥侧,.,（类比三角形面积）,12ch,rl,(2),锥体侧面积,第14页,第14页,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,第15页,第15页,棱锥侧面展开图是什么？如何计算它表面积？,正三棱锥侧面展开图,棱锥的展开图,第16页,第16页,侧面展开,正五棱锥侧面展开图,棱锥的展开图,第17页,第17页,思考：把圆柱、圆锥、圆台侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开图形与原图,有什么关系？,扇形,第18页,第18页,圆锥侧面展开图是扇形,O,圆锥,第19页,第19页,正棱台：设正,n,棱台上底面、下底面周长分别为,c,、,c,，斜高为,h,，则正,n,棱台侧面积公式：,S,正棱台侧,.,圆台：假如圆台上、下底面半径分别为,r,、,r,，母线长为,l,，则,S,圆台侧,12(,c,c,),h,l,(,r,r,),(3),台体侧面积,注,：表面积侧面积底面积,第20页,第20页,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,（类比梯形面积）,第21页,第21页,侧面展开,h,h,正四棱台侧面展开图,棱台侧面展开图是什么？如何计算它表面积？,棱台的展开图,第22页,第22页,参考圆柱和圆锥侧面展开图，试想象圆台侧面展开图是什么,O,O,圆台侧面展开图是,扇环,圆台,第23页,第23页,思考：把圆柱、圆锥、圆台侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开图形与原图,有什么关系？,扇环,第24页,第24页,O,O,侧,圆台侧面积公式的推导,第25页,第25页,O,O,圆柱、圆锥、圆台三者表面积公式之间有什么关系？,O,r,r,上底扩大,O,r,0,上底缩小,第26页,第26页,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成几何体，,h,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们侧面展开图还是平面图形，,计算它们,表面积就是计算它各个侧面面积和底面面积,之和,第27页,第27页,例,1,：一个正三棱台上、下底面边长分别是,3cm,和,6cm,，高是,3/2cm,，求三棱台侧面积,.,分析：关键是求出斜高，注意图中直角梯形,A,B,C,C,1,A,1,B,1,O,1,O,D,D,1,E,第28页,第28页,例,3,：圆台上、下底面半径分别为,2,和,4,，高为 ，求其侧面展开图扇环所正确圆心角,分析：抓住相同三角形中相同比是解题关键,小结：,1,、抓住侧面展开图形状，用好相应计算公式，注意逆向用公式；,2,、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中处理圆台问题，注意相同比,.,答：,180,0,第29页,第29页,例：圆台上、下底半径分别是,10cm,和,20cm,，它侧面展开图扇环圆心角是,180,0,，那么圆台侧面积是多少？（结果中保留,）,第30页,第30页,小结：,1,、弄清楚柱、锥、台侧面展开图形状是关键；,2,、相应面积公式,C=0,C=C,S,圆柱侧,=2rl,S,圆锥侧,=rl,S,圆台侧,=,（,r,1,+r,2,)l,r,1,=0,r,1,=r,2,第31页,第31页,例,1,：一个正三棱柱底面是边长为,5,正三角形，侧棱长为,4,，则其侧面积为,_;,答：,60,例,2,：正四棱锥底面边长为,6,高是,4,，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台侧面积,第32页,第32页,例,3,已知棱长为,a,，各面均为等边三角形四周体,S,-,ABC,，求它表面积,D,B,C,A,S,分析：四周体展开图是由四个全等正三角形构成,由于,BC,=,a,，,因此：,因此，四周体,S,-,ABC,表面积,交,BC,于点,D,解：先求 面积，过点,S,作,，,第33页,第33页,例4(广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1底面边长是2，D，E是CC1，BC中点，AEDE.,(1)求此正三棱柱侧棱长；,(2)正三棱柱ABCA1B1C1表面积,【,思绪点拨,】,(1),证实,AED,为直角三角形，然后求侧棱长；,(2),分别求出侧面积与底面积,第34页,第34页,第35页,第35页,【,点评,】,求表面积应分别求各部分面面积，因此应弄清图形形状，利用相应公式求面积，规则图形可直接求，不规则图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求,第36页,第36页,思考：如何求斜棱柱侧面积？,1,）侧面展开图是,平行四边形,2,）,S,斜棱柱侧,=,直截面周长,侧棱长,3,）,S,侧,=,所有侧面面积之和,第37页,第37页,1,高考中对几何体表面积考察普通在客观题中，借以考察空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体结构，准确应用面积公式，就能够顺利处理,几何体表面积问题小结,2,多面体表面积是各个面面积之和圆柱、圆锥、圆台侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆面积之和,3,几何体表面积应注意重叠部分处理,第38页,第38页,几何体占有空间部分大小叫做它体积,一、体积概念与公理:,第39页,第39页,公理1、长方体体积等于它长、宽、高积。,V,长方体,=,abc,推论1、长方体体积等于它底面积,s,和高,h,积。,V,长方体,=,sh,推论2、正方体体积等于它棱长,a,立方。,V,正方体,=,a,3,第40页,第40页,公理2、夹在两个平行平面间两个几何体，被平行于这两个平面任意平面所截，假如截得两个截面面积总相等，那么这两个几何体体积相等。,P,Q,幂势既同，则积不容异,祖暅原理,第41页,第41页,定理1：柱体（棱柱、圆柱）体积等于它底面积,s,和高,h,积。,V,柱体,=,sh,二：柱体体积,推论：底面半径为,r,，,高为,h,圆柱体积是,V,圆柱,=,r,2,h,第42页,第42页,三:锥体体积,例2：,如图：三棱柱AD,1,C,1,-BDC,底面积为,S,高为,h,.,A,B,D,C,D,1,C,1,C,D,A,B,C,D,1,A,D,C,C,1,D,1,A,答:可分成,棱锥A-D,1,DC,棱锥A-D,1,C,1,C,棱锥A-BCD,.,问：（1）从,A,点出发棱柱能,分割,成几种三棱锥？,第43页,第43页,3.,1,锥体（棱锥、圆锥）体积,（底面积,S，,高,h,）,注意,：三棱锥顶点和底面能够依据需要变换，四周体每一个面都能够作为底面，能够用来求点到面距离,问题:锥体,(棱锥、圆锥）,体积,第44页,第44页,定理假如一个锥体（棱锥、圆锥）底面,积是，高是，那么它体积是：,推论：假如圆锥底面半径是,，高是,，,那么它体积是：,h,S,S,锥体,圆锥,S,h,第45页,第45页,s,s,/,s,s,/,h,x,四.台体体积,V,台体,=,上下底面积分别是s,/,s,高是h，则,第46页,第46页,推论：假如圆台上,下底面半径是r,1,.r,2,高是,，那么它体积是：,圆台,h,第47页,第47页,五.柱体、锥体、台体体积公式之间有什么关系？,S,为底面面积，,h,为柱体高,S,分别为上、下,底面面积，,h,为台体高,S,为底面面积，,h,为锥体高,上底扩大,上底缩小,第48页,第48页,(1),长方体体积,V,长方体,abc,.,(,其中,a,、,b,、,c,为长、宽、高，,S,为底面积，,h,为高,),(2),柱体,(,圆柱和棱柱,),体积,V,柱体,Sh,.,其中，,V,圆柱,r,2,h,(,其中,r,为底面半径,),Sh,知识点二柱、锥、台、球体积,第49页,第49页,(3),锥体,(,圆锥和棱锥,),体积,V,锥体,Sh,.,其中,V,圆锥,，,r,为底面半径,13,r,2,h,第50页,第50页,(4),台体体积公式,V,台,h,(,S,S,),注：,h,为台体高，,S,和,S,分别为上下两个底面面积,其中,V,圆台,注：,h,为台体高，,r,、,r,分别为上、下两底半径,(5),球体积,V,球,.,13,h,(,r,2,rr,r,2,),13,R,3,第51页,第51页,例从一个正方体中，如图那样截去,4,个三棱锥后，得到一个正三棱锥,A,BCD,，求它体积是正方体体积几分之几？,第52页,第52页,1,求空间几何体体积除利用公式法外，还惯用分割法、补体法、转化法等，它们是处理一些不规则几何体体积计算问题惯用办法,几何体体积小结,2,计算柱体、锥体、台体体积关键是依据条件找出相应底面面积和高，要充足利用多面体截面及旋转体轴截面，将空间问题转化为平面问题,第53页,第53页,R,R,球体积,：,一个半径和高都等于R圆柱，挖去一个,以上底面为底面，下底面圆心为顶点圆锥,后，所得几何体体积与一个半径为R,半球体积相等。,探究,第54页,第54页,R,R,第55页,第55页,第一步：分割,O,球面被分割成,n,个网格，,表面积分别为：,则球表面积：,则球体积为：,设,“,小锥体,”,体积为：,O,知识点三、球表面积和体积,（,第56页,第56页,O,第二步：求近似和,O,由第一步得：,第57页,第57页,第三步：转化为球表面积,假如网格分越细,则,:,由,得,:,球体积,:,值就趋向于球半径,R,O,“,小锥体,”,就越靠近小棱锥。,第58页,第58页,设球半径为,R,，则球体积公式为,V,球,.,43,R,3,例1(高考上海卷)若球O1、O2表面积之比4，则它们半径之比_.,第59页,第59页,(1),若球表面积变为本来,2,倍,则半径变为本来,倍。,(2),若球半径变为本来,2,倍，则表面积变为本来,倍。,(3),若两球表面积之比为,1:2,，则其体积之比是,。,(4),若两球体积之比是,1:2,，则其表面积之比是,。,例,2,：,第60页,第60页,例,3.,如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为,a,它各个顶点都在球,O,球面上，问球,O,表面积。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重叠，则正方体对角线与球直径相等。,略解：,变题,1.,假如球,O,和这个正方体六个面都相切，则有,S=,。,变题,2.,假如球,O,和这个正方体各条棱都相切，则有,S=,。,关键,：,找正方体棱长,a,与球半径,R,之间关系,第61页,第61页,O,A,B,C,例,4,已知过球面上三点,A,、,B,、,C,截面到球心,O,距离等于球半径二分之一，且,AB=BC=CA=,cm,，求球体积，表面积,解：如图，设球,O,半径为,R,，,截面,O,半径为,r,，,第62页,第62页,例,5,、有三个球,一球切于正方体各面,一球切于正方体各侧棱,一球过正方体各顶点,求这三个球体积之比,.,作轴截面,第63页,第63页,规律办法总结,1,直棱柱侧面展开图是一些矩形，正棱锥侧面展开图是一些全等等腰三角形，正棱台侧面展开图是一些全等等腰梯形,2,斜棱柱侧面积等于它直截面,(,垂直于侧棱并与每条侧棱都相交截面,),周长与侧棱长乘积,3,假如直棱柱底面周长是,c,，高是,h,，那么它侧面积是,S,直棱柱侧,ch,.,4,应注意各个公式推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中矩形、锥体中直角三角形、台体中直角梯形等特性图形在公式推导中作用,第64页,第64页,规律办法总结,5,假如不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面面积分别求解后再相加,6,求球体积和表面积关键是求出球半径反之，若已知球表面积或体积，那么就能够得出其半径大小,7,计算组合体体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和处理问题,8,计算圆柱、圆锥、圆台体积时，关键是依据条件找出相应底面面积和高，应注意充足利用多面体截面和旋转体轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,第65页,第65页,题型一 几何体展开与折叠,有一根长为3 cm，底面半径为1 cm,圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并,使铁丝两个端点落在圆柱同一母线两端,则铁丝最短长度为多少？,把圆柱沿这条母线展开，将问题转,化为平面上两点间最短距离.,题型分类 深度剖析,第66页,第66页,解,把圆柱侧面及缠绕其上,铁丝展开，在平面上得到,矩形,ABCD,（如图所表示），,由题意知,BC,=3 cm，,AB,=4 cm，点,A,与点,C,分别是铁丝起、止位,置，故线段,AC,长度即为铁丝最短长度.,故铁丝最短长度为5 cm.,第67页,第67页,求立体图形表面上两点最短距离,问题，是立体几何中一个主要题型.这类题目的,特点是：立体图形性质和数量关系分散在立体,图形几种平面上或旋转体侧面上.为了便于发,现它们图形间性质与数量上互相关系，必须将,图中一些平面旋转到同一平面上，或者将曲面,展开为平面，使问题得到处理.其基本环节是：展,开（有时所有展开，有时部分展开）为平面图形，,找出表示最短距离线段，再计算此线段长.,第68页,第68页,题型二 旋转体表面积及其体积,如图所表示,半径为,R,半圆内,阴影部分以直径,AB,所在直线为轴,旋,转一周得到一几何体,求该几何体,表面积(其中,BAC,=30)及其体积.,先分析阴影部分旋转后形成几何体,形状,再求表面积.,第69页,第69页,解,如图所表示,过,C,作,CO,1,AB,于,O,1,在半圆中可得,BCA,=90,BAC,=30,AB,=2,R,AC,=,BC,=,R,S,球,=4,R,2,第70页,第70页,处理这类题关键是弄清楚旋转后所,形成图形形状，再将图形进行合理分割，,然后利用相关公式进行计算.,第71页,第71页,知能迁移2,已知球半径为,R,，在球内作一个内,接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它,侧面积最大？侧面积最大值是多少？,解,如图为轴截面.,设圆柱高为,h,，底面半径为,r,，,侧面积为,S,，则,第72页,第72页,知能迁移2,已知球半径为,R,，在球内作一个内,接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它,侧面积最大？侧面积最大值是多少？,解,如图为轴截面.,设圆柱高为,h,，底面半径为,r,，,侧面积为,S,，则,第73页,第73页,题型三 多面体表面积及其体积,一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长,为 ，求这个三棱锥体积.,本题为求棱锥体积问题.已知底面,边长和侧棱长，可先求出三棱锥底面面积,和高，再依据体积公式求出其体积.,解,如图所表示，,正三棱锥,S,ABC,.,设,H,为正,ABC,中心，,连接,SH,，,则,SH,长即为该正三棱锥高.,第74页,第74页,连接,AH,并延长交,BC,于,E,，,则,E,为,BC,中点，且,AH,BC,.,ABC,是边长为6正三角形，,第75页,第75页,求锥体体积，要选择适当底面和,高，然后应用公式 进行计算即可.惯用方,法：割补法和等积变换法.,（1）割补法：求一个几何体体积能够将这个几,何体分割成几种柱体、锥体，分别求出锥体和柱,体体积，从而得出几何体体积.,（2）等积变换法：利用三棱锥任一个面可作为,三棱锥底面.求体积时，可选择容易计算方,式来计算；利用“等积性”可求“点到面,距离”.,第76页,第76页,题型四 组合体表面积及其体积,(12分)如图所表示,在等腰梯形,ABCD,中,AB,=2,DC,=2，,DAB,=60，,E,为,AB,中点，,将,ADE,与,BEC,分别沿,ED,、,EC,向上折起，,使,A,、,B,重叠,求形成三棱锥外接球体积.,易知折叠成几何体是棱长为1正,四周体，要求外接球体积只要求出外接球,半径即可.,解,由已知条件知，平面图形中,AE,=,EB,=,BC,=,CD,=,DA,=,DE,=,EC,=1.,折叠后得到一个正四周体.2分,第77页,第77页,办法一,作,AF,平面,DEC,，垂足为,F,，,F,即为,DEC,中心.,取,EC,中点,G,，连接,DG,、,AG,，,过球心,O,作,OH,平面,AEC,.,则垂足,H,为,AEC,中心.4分,外接球半径可利用,OHA,GFA,求得.,在,AFG,和,AHO,中，依据三角形相同可知，,6分,10分,12分,第78页,第78页,办法二,如图所表示，把正四周体放在正,方体中.显然，正四周体外接球就,是正方体外接球.3分,正四周体棱长为1，,正方体棱长为 ，6分,9分,12分,第79页,第79页,办法与技巧,1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱,锥、棱台与球表面积问题，要结合它们,结构特点与平面几何知识来处理.,2.要注意将空间问题转化为平面问题.,3.当给出几何体比较复杂，相关计算公式无,法利用，或者即使几何体并不复杂，但条件中,已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、,“补”技巧，化复杂几何体为简朴几何体,（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供,便利.,思想办法 感悟提升,第80页,第80页,（1）几何体“分割”,几何体分割即将已知几何体按照结论要,求,分割成若干个易求体积几何体,进而求之.,(2)几何体“补形”,与分割同样，有时为了计算以便，可将几何体补,成易求体积几何体，如长方体、正方体等.另外,补台成锥是常见处理台体侧面积与体积办法,由台体定义，我们在有些情况下，能够将台体,补成锥体研究体积.,（3）相关柱、锥、台、球面积和体积计算，,应以公式为基础，充足利用几何体中直角三角,形、直角梯形求相关几何元素.,第81页,第81页,失误与防备,1.将几何体展开为平面图形时,要注旨在何处剪,开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一,条母线剪开.,2.与球相关组合体问题，一个是内切，一个是,外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点,位置，拟定相关元素间数量关系，并作出,适当截面图，如球内切于正方体，切点为正,方体各个面中心,正方体棱长等于球直,径；球外接于正方体，正方体顶点均在球面,上，正方体体对角线长等于球直径.球与,旋转体组合，通常作它们轴截面进行解题,球与多面体组合，通过多面体一条侧棱和,球心，或“切点”、“接点”作出截面图.,第82页,第82页,