2025-2026学年北京市顺义一中数学高三上期末检测模拟试题.doc

2025-2026学年北京市顺义一中数学高三上期末检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B． 且
C． 且 D．内的任何直线都与平行
2．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
3．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米 B．480米
C．520米 D．600米
4．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
5．设全集为R，集合，，则
A． B． C． D．
6．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为
A． B． C． D．
10．已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
11．已知函数的图象的一条对称轴为，将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是__________．
14．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
15．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.
16． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
18．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.

（1）证明：平面平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，求菱形的边长.
19．（12分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
20．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.
21．（12分）已知函数．
（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；
（2）为的导函数，当，时，求证：．
22．（10分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；
B. 且，故，当，不能得到 且，满足；
C. 且，，则相交或，排除；
D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.
故选：.
本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.
2．D
【解析】
由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】
将平方得，

（当且仅当时等号成立），
，
的最小值为，
故选：D．
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
3．B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：

由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
4．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．B
【解析】
分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．A
【解析】
先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率
【详解】
解：抛物线经过点
，，
，，
故选：A
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
7．B
【解析】
由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程．
【详解】
由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x．
故选B．
本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．
8．A
【解析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.
【详解】
因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.
9．C
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数的图象的一条对称轴是，所以，即，所以，又，所以的最小值为．故选C．
10．B
【解析】
直线的倾斜角为，易得．设双曲线C的右焦点为E，可得中，，则，所以双曲线C的离心率为.故选B．
11．C
【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合为函数的一条对称轴可求得，代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数的解析式.
【详解】
函数，
由辅助角公式化简可得，
因为为函数图象的一条对称轴，
代入可得，
即，化简可解得，
即，
所以

将函数的图象向右平行移动个单位长度可得，
则，
故选：C.
本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.
12．B
【解析】
由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.
【详解】
由偶函数满足，
可得的图像关于直线对称且关于轴对称，
函数（）的图像也关于对称，

函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，
则与的图像所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.
14．2
【解析】
根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.
【详解】
为焦点
在双曲线上，则
又

本题正确结果：
本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.
15．
【解析】
设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，
由抛物线定义知，，解得，
不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，
又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，
点F到双曲线的渐近线的距离.
故答案为：
本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
16．充分不必要
【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.
【详解】
由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
18．（1）证明见解析；（2）1
【解析】
（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设，分别求得，和的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）四边形为菱形，
，
平面，
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）设，在菱形中，由，
可得，，，
，
在中，可得，
由面，知，为直角三角形，可得，
三棱锥的体积，
，菱形的边长为1．

本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
19．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.
【详解】
（1）令，，
当时，；
当时，，则，故；
（2），

.
本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
20．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可
【详解】
（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以.
（2）的可能取值为0,1,2,3，
，
，
，
，
的分布列为

0
1
2
3

.
本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题
21．（1）极大值，极小值；（2）详见解析.
【解析】
首先确定函数的定义域和；
（1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；
（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论.
【详解】
由题意得：定义域为，，
（1）当时，，
当和时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为.
（2）要证：，
即证：，
即证：，
化简可得：．
，，即证：，
设，令，则，
在上单调递增，，则由，
从而有：.
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.
22．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）取的中点，连接、，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值.
【详解】
（1）取中点，连接、、，
且，四边形为平行四边形，且，
、分别为、中点，且，
则四边形为平行四边形，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，

，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，则，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，则，，，
，，
因此，二面角的正弦值为.
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.