2025-2026学年河南周口市中英文学校数学高三第一学期期末学业水平测试试题.doc

2025-2026学年河南周口市中英文学校数学高三第一学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.
A．408 B．120 C．156 D．240
2．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A． B．
C． D．
3．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( )
A． B． C． D．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）

A． B．6 C． D．
6．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）
A．斤 B． 斤 C．斤 D．斤
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
8．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
9．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知为锐角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．240 B．264 C．274 D．282
12．函数在上为增函数，则的值可以是( )
A．0 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.
14．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
15．已知四棱锥，底面四边形为正方形，，四棱锥的体积为，在该四棱锥内放置一球，则球体积的最大值为_________．
16．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，且．
（1）当时，求函数的减区间；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．
18．（12分）已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
19．（12分）在中，角所对的边分别为，，的面积.
（1）求角C；
（2）求周长的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，已知圆，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长.
（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；
（2）过原点作两条互相垂直的直线，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值.
21．（12分）已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
22．（10分）已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），
当“乐”排在第一节有（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），
故选：．
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．
2．C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
3．C
【解析】
求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，，，，
因此，.
故选：C.
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
4．D
【解析】
做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数的图象如图所示，由图可知

方程在上有3个不同的实数根，
则在上有4个不同的实数根，
当直线经过时，；
当直线经过时，，
可知当时，直线与的图象在上有4个交点，
即方程，在上有4个不同的实数根.
故选:D.
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
5．D
【解析】
用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.
【详解】
执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.
故选D．
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.
6．B
【解析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．
【详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.
故选B
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．C
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.
【详解】
由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，
侧棱长为，如图：

由底面边长可知，底面三角形的顶角为，
由正弦定理可得，解得，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，
所以，
该几何体外接球的表面积为：.
故选：C
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
8．B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若，则可得，必要性成立.
故选：B
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
9．C
【解析】
由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论.
【详解】
由题意，，则函数的周期是，
所以，，
又函数为上的奇函数，且当时，，
所以，.
故选：C.
本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.
10．C
【解析】
由可得，再利用计算即可.
【详解】
因为，，所以，
所以.
故选：C.
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
11．B
【解析】
将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.
【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，
延长交于点，
其中，，，
所以表面积.
故选B项.
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题
12．D
【解析】
依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.
【详解】
当时，在上不单调，故A不正确；
当时，在上单调递减，故B不正确；
当时，在上不单调，故C不正确；
当时，在上单调递增，故D正确.
故选：D
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①③④
【解析】
先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵，∴曲线在点处的切线方程为，
则.
∵，∴，
则是首项为1，公比为的等比数列，
从而，，.
故所有正确结论的编号是①③④.
故答案为：①③④
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
14．
【解析】
取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.
【详解】
在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，
连接.由，得，，
由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,
又由已知可得平面平面，平面，，
，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，
三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：

本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.
15．
【解析】
由题知，该四棱锥为正四棱锥，作出该正四棱锥的高和斜高，连接，则球心O必在的边上，设，由球与四棱锥的内切关系可知，设，用和表示四棱锥的体积，解得和的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值.
【详解】
设，，
由球O内切于四棱锥可知，，，
则，球O的半径，
，
，，

当且仅当时，等号成立，
此时.
故答案为：.

本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.
16．
【解析】
把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．
【详解】
解：由，得，
，
即，
，
又，
，解得：．
为正的常数，．
故答案为：．
本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）详见解析（3）
【解析】
试题分析：（1）当时，，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以
试题解析：（1）当时，，由得减区间；
（2）法1：，

，，
所以，方程有两个不相等的实数根；
法2：，
，
是开口向上的二次函数，
所以，方程有两个不相等的实数根；
（3）因为，
，
又在和增，在减，
所以．
考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）求出函数的定义域，即可求出结论；
（2）化简集合，根据确定集合的端点位置，建立的不等量关系，即可求解.
【详解】
（1）由，即得或，
所以集合或.
（2）集合，
由得或，解得或，
所以实数的取值范围为.
本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题.
19．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由可得到，代入，结合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并结合正弦定理可得到，利用，，可得到，进而可求出周长的范围．
【详解】
解：（Ⅰ）由可知，
∴.由正弦定理得.
由余弦定理得，∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.
的周长为

.
∵，∴，∴,
∴的周长的取值范围为.
本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
20．（1）， （2）
【解析】
先求出，再求圆的半径和极坐标方程；（2）设 求出,,再求出
得解.
【详解】
（1）将化成直角坐标方程，得
则，故，
则圆 ，即，
所以圆M的半径为.
将圆M的方程化成极坐标方程，得.
即圆M的极坐标方程为.
（2）设，
则,
用代替.可得,

本题主要考查直角坐标和极坐标的互化，考查极径的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，
，
由可得，
又由,知
在上单调递减，

令，记，则
在上单调递增；
，在上单调递增；
，

（2），，
在上不单调，
在上有正有负，在上有解，
，，
恒成立，
记，则，
记，，
在上单调增，在上单调减.

于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，
，
，.
（ii）当时，
，故不满足题意.
综上所述，
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
22．（1） （2）
【解析】
（1）当时，，
由可得，（
所以，解得，
所以不等式的解集为．
（2）由题可得，
因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，
所以，解得，
当时，，函数的图象与轴没有交点，不符合题意；
当时，，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意．
综上，可得．