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相似三角形经典例题详解
相似三角形在期末考试综合题部分经常出现，相似三角形的判定，相似三角形的分类讨论都是中考的考察重点.

经典例题：

一、相似三角形的判定
　　1．如图，△ABC中，点D在AC上，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连结AE. 已给的图形中存在哪几对相似三角形？请选择一对进行证明.

　　解：图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对
　　证明：(1)△ADE∽△AEC
　　　　　　 CE⊥BD于E

　　　　　　 ∠BDC=60°，

　　　　　　 CD=2AD，

　　　　　　 ∠BDC=60°，

　　　　　　 △ADE∽△AEC
　　证明：(2)∽
　　提示：在证明△BCD∽△ACB时
　　　　　证出①
　　　　　　　②
　　　　　　　③
　　　　　　　④△BCD∽△ACB
　　【点评】判定相似三角形的时候，计算角度是一个常用方法.两个三角形中两个角对应相等，则这两个三角形相似.本题每个角度都能计算自然相似的判定并不麻烦.

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标是(a，0)，点F坐标是(0，b)．
　　(1)请你写出圆心O的坐标(____，____)；
　　　 (用含a，b的代数式表示)
　　(2)求线段BD的长.
　　解：(1)()
　　　　(2)，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ∽，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 点坐标是(，0)，
　　　　　 设的长为

　　　　　 ∽

　　　　　 即

　　　　　 解之得：
　　　　　 的长为.
　　【点评】本题看到比例式和圆中同弧所对的圆周角相等，可以判定相似三角形.
二、相似三角形中的分类讨论
　　3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另外一个含 30°角的△EDF的30°角的顶点D 放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB 边上移动时，DE始终与AB垂直.

　　(1)设AD=x ，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
　　(2)如果△CEF与△DEF相似，求AD的长.
　　解：(1)∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，
　　　　　 ∴∠FDB=∠B=60°.∴△BDF是等边三角形.
　　　　　 ∵BC=1， ∴AB=2.
　　　　　 ∴2-x=1-y.
　　　　　 ∴y=x-1.
　　　　　 自变量的取值范围是：.
　　　　(2)①如图，∠FED=90°，△CEF∽△DEF，
　　　　　 ∴， 即
　　　　　 解得，.
　　　　　 ∴.
　　　　　 .
　　　　　 ②如图，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，
　　　　　 ∴， 即.
　　　　　 解得，.
　　　　　 ∴.
　　　　　 ∴.
【点评】在没有指明对应顶点的前提下，分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.

　　4．如图所示，抛物线的顶点为A，其中．
　　(1)已知直线：，将直线沿轴向 (填“左”或“右”)平移 个单位(用含的代数式)后
　　　 过点A；
　　(2)设直线平移后与轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存
　　　 在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△相似，且相似比为2？若存在，求出的值，并写出
　　　 所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

　解：(1)右；
　　　　(2)由题意点A(，0)，将其代入，得
　　　　　 ∴此时直线的解析式：， 点B(0，-)
　　　　　 以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2，共有以下四种情况，
　　　　　 ①， 当时
　　　　　 可得
　　　　　 ∴，代入抛物线解析式得：
　　　　　 解得
　　　　　 ②，当时
　　　　　 可得
　　　　　 ∴，代入抛物线解析式得：
　　　　　 解得
　　　　　 ③，当时
　　　　　 可得
　　　　　 过作于，则
　　　　　 ∴，代入抛物线解析式得：
　　　　　 解得
　　　　　 ④，当时
　　　　　 可得
　　　　　 过作于，则
　　　　　 ∴，代入抛物线解析式得：
　　　　　 解得
　　　　　 综上，符合条件的点共有四个：

【点评】在没有指明对应顶点的前提下，分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.