§1-1-1-2-1-3-1-4三角函数的有关计算导学案.doc

第一章 直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起
学习目标
1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
学习重点和难点
重点：理解正切、正弦、余弦函数的定义 难点：理解正切、正弦、余弦函数的定义
学习过程
第一单元
一、引入课题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、自主学习
1、梯子的倾斜程度
梯子是我们是日常生活中常见的物体。
（1）在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎样判断的？你有几种判断方法？

（2）在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎样判断的？你有几种判断方法？
归纳小结：
如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值 ，则梯子越陡；
如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值 ，则梯子越陡；
如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值 ，则梯子越陡；
2、想一想
如图1-3,小明想通过测量及，算出它们的比，来说明
梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量及，算出它们
的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？
（1）直角三角形和直角三角形有什么关系？
(2)　和有什么关系？
（3）如果改变在梯子上的位置呢？比值 。由此我们得出结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也 。
二、明确概念
通过对前面的问题的讨论，我们知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的 有关，而与直角三角形的大小 。
正切函数
（1）明确各边的名称
（2）
（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）表示的是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
（4）通常用倾斜角的正切值来表示一个物体的倾斜程度，也经常用坡角的正切来描述山坡的坡度（山坡坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，也称坡比）．
tanA的值越大，梯子越陡
B
☆巩固练习一
1、如图1，在△ACB中，∠C = 90°，
1） tanA = ；tanB = ；
2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；
A
C

3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；
2、如图2，在△ACB中，tanA = 。（不是直角三角形）
三、例题学习
例1 图1－5中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
甲
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。
乙
解：甲梯中，，乙梯中，，
因为　　所以　　梯更陡。图1－5

例2 如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，，求BC、AB的长。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

例3　　有一山坡，它在水平方向上每前进100米就升高60米，这个山坡的坡度是　　。
三、随堂练习
1、在直角△ACB中，∠C = 90°，AC = 5，AB= 13，求和
2、在直角△ACB中，∠C = 90°，BC = 5，求,求AC.
四、课堂小结
正切函数的定义及应用。

第二单元
一、复习引入
正切：锐角Ａ的　　　与　　　之比叫做∠Ａ的正切。即。
二、明确概念
1、正弦、余弦函数
正弦：，余弦：
☆巩固练习一
（1）如图，在△ACB中，∠C = 90°，
①sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ；
②若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ；
③若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ；
（2）如图，在△ACB中，sinA = 。（不是直角三角形）
2、三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数。
3、梯子的倾斜程度与三角函数的关系
sinA的值　　　，梯子越陡；cosA的值　　　，梯子越陡
三、例题学习
例4、如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 200，，求BC的长。
分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。

例5、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 10，，求AB的长及sinB。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则sinA=
2、在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝则SinA= cosA=
3、Rt△ABC中，∠C＝900，SinA=,AB=10,则BC＝　　　　
四、课堂小结
正弦、余弦函数的定义及应用。
五、作业
1、在△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝9，b＝12，则sinA=
,sinB= .
2、在Rt△ABC中，∠C＝900，若则tanA=
3、Rt△ABC中，∠A＝600，c=8，则a＝　　　　，b＝　　　　
4、在Rt△ABC中，若,b＝3，则tanB= ,面积S＝　　　
5、在Rt△ABC中，AC：BC＝1：，AB＝6，∠B＝　　，AC＝　　。BC＝　　　　
6、在Rt△ABC中，∠B＝900，AC边上的中线BD＝5，AB＝8，则tanACB=
7、等腰三角形中，腰长为5cm，底边长8cm，则它的底角的正切值是　
8、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值（　　）　
　A、都扩大2倍　　　B、都扩大4倍　　　C、没有变化　　　D、都缩小一半
9、在Rt△ABC中，已知a边及∠A，则斜边应为（　　）
A、asinA B、　 C、acosA D、
10、在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA＝cosB，则这个三角形是（　）A、等腰三角形　　B、直角三角形　　C、钝角三角形　D、锐角三角形
11、在Rt△ABC中，∠C＝900，，AB＝13，BC＝5，求sinA, cosA, tanA。

12、在Rt△ABC中，∠C＝900，若　求cosA, sinB, cosB

13、在Rt△ABC中，∠C=900，a=2,b=1, 求∠A的三个三角函数值。

10、 在Rt△ABC中，∠C＝900，b=17, ∠B=450,求a, c与∠A

11、等腰梯形的一个底角的余弦值是，腰长是6，上底是求下底及面积

§1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标
5、 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义
6、 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
7、 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小
学习重点和难点
重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值
学习过程
一、复习引入
正切：
正弦:
余弦:
二、合作探究
利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值：

度数
sinα
cosα
tanα
30°

45°

60°

三、例题学习
例3 计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）；

（3）； （4）。

例4 填空：（1）已知∠A是锐角，且cosA = ，则∠A = °，sinA = ；
（2）已知∠B是锐角，且2cosB= 1，则∠B = °；
（3）已知∠A是锐角，且3tanA = 0，则∠A = °；
例5 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。

例6 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，求，∠B、∠A。
分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。

四、小结
五、作业
A
B
C
1,Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则当a=5、c=13 时，有sinA= ，cosA= 。
2，Rt△ABC中，∠C=90°若sinA= 时，tanA= 。
12题图
3，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3BC，则cosA= 。
4，若sinA=cos245°则∠A= 。
30°
5，△ABC中，有,那么∠C= 。
13题图
6, 若∠A=60°，则化简 .
7，Rt△ABC中，∠C=90°且sinA+cosB=,则∠A= 。
8，若sin22°31′=cosA，则∠A= 。 9若sin2A+cos221°= 1，则∠A= 。
10，比较大小：①tan21° tan31°，②sin21° cos21°。③cos21° cos22°
11,△ABC的周长为60cm，∠C等于90°，tanA=，则△ABC的面积为 .
12，如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，∠BAC=30o，要建造阶梯AB，使每阶高为20cm，则此阶梯要建 阶（最后一阶的高不足20cm时，按一阶计算,=1.732）.
13，如图：将宽为1的两条矩形纸条按30°的角交叉重叠，则重叠部份的面积为 。
14、在Rt△ABC中，∠，a＝2，b＝3，则cosA＝　　，sinB＝　 ，tanB＝　　，
15、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝　　　；
16、已知tan＝，是锐角，则sin＝　　　
17、等腰三角形一边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为　　　　　.
18、在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=，AB＝8cm ，则△ABC的面积为______
19、菱形ABCD中对角线AC交BD于点O，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）
A、sin∠ADB= B、cos∠DAB= C、tan∠DBA = D、tan∠ADB=
20、∠A为锐角，且sinA=，则cos A=（ ） A、 B、 C、 D、
21、计算：2sin245°+4cos260°=（ ） A、 2 B、 1 C、 0 D、-2
22、若0°<A<45°,则下列各式正确的为（ ）
A、sinA > cosA B、sinA ≥cosA C、sinA < cosA D、sinA≤cosA
23、 把一个Rt△ABC中的各边同时扩大2倍，则它的锐角A的正弦和余弦值（ ）
A，都扩大两倍 B，都缩小一半 C，都不变 D，正弦扩大2倍，余弦缩小一半
24、若cosA=，则下列结论正确的为（ ）
A、0°<∠A<30° B、30°<∠A<45° C、 45°<∠A<60 D、60°<∠A<90°
25、设sinA+cosA=m，则（ ） A，m>1 B,m=1 C,m<1 D,不一定。
A
B
C
D
26、如图，Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB。
则下列各式中与sin∠ACD不相等的为（ ）
A、sinB B、sin ∠BCD
C、cosA D、cos∠BCD
27、△ABC中，∠C=90°且a≠b，则下列各式不能表示△ABC的面积的为（ ）
A、ab B、 a·c·sinB C、 b2·tanA D、 c2·sinA·cosB
28、以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆。若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为 （ ）
A (cosα,1) B (1,sinα) C (sinα,cosα) D (cosα,sinα)
29、若tan(a+10°)=，则锐角a的度数 ( )
A、20° B、30° C、35° D、50°
30、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ）
A、sin(α+β)=sinα+sinβ B、cos(α+β)=时，α+β=600
C、若α≥β时，则cosα≥cosβ D、若cosα>sinβ,则α+β>900
31、RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）
A． B． C． D．1

32(1) (2)

33、△ABC中，∠C＝90°(1)已知：c＝ 8，∠A＝60°，求∠B、a、b．(2) 已知：a＝3， ∠A＝30°，求∠B、b、c.

34、等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则底角∠B的四个三角函数值

F

A
B
C
D
E
F
【图3】
A
B
C
D
E
35、如图，矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE=？

36、直线l与Y轴交点的纵坐标为-4，与X轴相交所成的锐角为α，则当tanα = ，
则求直线的解析式？

B(0,－4)
A(3,0)
0
x
y

37、如右角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4），
则 等于_______

§1-3 三角函数的有关计算导学案
学习目标
1.经历用由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
学习重点
1.用计算器由已知三角函数值求锐角.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
学习难点
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
学习过程
一、引入新课
已知tanA＝56.78，求锐角A.
（ 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.）
二、习题训练
1.根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ=0.3957； (3)cosθ＝0.7850；
(4)tanθ＝0.8972； (5) tanθ=22.3 (6) sinθ＝0.6；
(7)cosθ＝0.2 （8）tanθ=； (9) sinθ＝
2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.

解：

3.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
[例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。
求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)
分析：根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm，
要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.
解：

[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度。
解：

小结：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根
据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.
三、解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ；sinB＝，cosB＝，tanB= .
由前面的两个例题以及上节的内容我们町以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决.
四、随堂练习
1.已知sinθ＝0.82904.∠θ＝　　

2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角.
解：

五、课时小结
本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
六、课后作业

如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB＝15°，它们与雷达的距离分别为AC＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距离是多少千米?(精确到0.01千米)

§1-4　船有触礁的危险吗
学习目标
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
学习重点
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
学习难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
学习过程
一、引入新课
直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
二、探索新知
（一）根据题意，画出图形

（二）小组交流，分析题意
1、货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由　　　　　　　　来决定。
2、根据题意，小岛四周　　海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离　　　（填大于或小于）　　海里，则无触礁的危险，如果　　　（填大于或小于）　海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过　　作　　　　，　为垂足，即　　的长度.我们需根据题意，计算出　　的长度，然后与　　海里比较.
3、通过上面的分析，我们已将实际问题转化成数学问题.根据题意，有已知条件：
　　　　　　　　　　　　、　　　　　　　　　、　　　　　　　　　　
（三）全班交流，写出解题过程
解：

三、随堂练习
如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，
再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?
(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

四、课堂小结
五、作业
1、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，
调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)

2、如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，
现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

3、如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小。
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)
解：

４、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象
部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西
60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均
受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?( ≈1.4， ≈1.7)
解：