1.2集合与常用逻辑用语.docx

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p，且p q，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果pq，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　×　)
(2)命题“α＝，则tan α＝1”的否命题是“若α＝，则tan α≠1”．(　×　)
(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(　√　)
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　)
(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)

1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
答案　D
解析　原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．
∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，
∴命题p为真，其逆命题为假，
故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.
3．(2015·重庆)“x＞1”是“”的(　　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　x＞1⇒x＋2＞3⇒， ⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“”成立的充分不必要条件．因此选B.
4．若a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　当－1<a<0，－1<b<0时，由0<ab<1得到b>；当a>0，b<0时，由b<得到ab<0，因此“0<ab<1”是“b<”的既不充分也不必要条件．故选D.
5．(教材改编)下列命题：
①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；
②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；
③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；
④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．
其中为真命题的是________(填序号)．
答案　②④

题型一　命题及其关系
例1　(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．
(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，
∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.
思维升华　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
　(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是(　　)
A．若α＝，则cos α≠
B．若α≠，则cos α≠
C．若cos α＝，则α＝
D．若cos α≠，则α≠
(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是“若cos α＝，则α＝”．
(2)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
题型二　充分必要条件的判定
例2　(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2) “a>0，b>0”是“＋≥2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断．
∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga3<logb3正确；反之，若loga3<logb3，则不一定得到3a>3b>3，例如当a＝，b＝时，loga3<logb3成立，但推不出a>b>1.故“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件．
(2)若a>0，b>0，则根据基本不等式可得＋≥2；反之，＋≥2，则ab>0，不一定有a>0，b>0.故“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分不必要条件．故选A.
思维升华　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
　(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin αsin α＝cos α，故选A.
(2)当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件，故选A.
题型三　充分必要条件的应用
例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且SP．∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
　(1)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　　)
A．0<a≤1 B．a<1
C．a≤1 D．0<a≤1或a<0
(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)C　(2)　
解析　(1)方法一　当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根．
当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.
设此时方程的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
当只有一个负实根时，⇒a<0；
当有两个负实根时，
综上所述，a≤1.
方法二　(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.
(2)命题p为，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝{x|x>1或x<}，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴或
∴0≤a≤.

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：∀x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.
当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对∀x∈R恒成立；
当a≠0时，由得0<a≤4，
∴q：0≤a≤4.
∴p是q成立的充分不必要条件．
(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
答案　(1)A　(2)A
温馨提醒　(1)本题用到的等价转化
①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．
(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．

[方法与技巧]
1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．充要条件的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．
[失误与防范]
1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．
2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．
3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．

A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案　B
解析　依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．(2015·天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3 1＜x＜2，故选A.
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
答案　C
解析　原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，
显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
4．已知A，B是非空集合，条件甲：A∪B＝B，条件乙：AB，那么(　　)
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若AB，则A∪B＝B，反之A∪B＝B，则A⊆B，故甲是乙的必要不充分条件．故选B.
5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD” “四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．
综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
6．(2015·福建)“对任意x∈，ksin xcos x＜x”是“k＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　∀x∈，ksin xcos x＜x⇔∀x∈，k＜，令f(x)＝2x－sin 2x.∴f′(x)＝2－2cos 2x＞0，∴f(x)在为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0.
∴2x＞sin 2x，∴＞1，∴k≤1，故选B.
7． “a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　“a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0；“a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”，例如a＝5，b＝－6.故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要条件．故选D.
8．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 B．0<a<
C.<a<1 D．a≤0或a>1
答案　A
解析　因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.
观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故答案选A.
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
答案　2
解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
10．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
答案　[0,2]
解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2.
11．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．
答案　充分不必要
解析　若綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p⇒/ q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒/ p，所以p是綈q的充分不必要条件．
12．下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
答案　①③④
解析　对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；
对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，
所以②错误；
对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；
④显然正确．
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
13．已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是(　　)
A．若a>0，b>0，则≥
B．若≥，则a>0，b>0
C．若a≠b，则>
D．若>，则a≠b
答案　C
解析　选项A，由基本不等式可得：若a>0，b>0，
则≥，故A正确；
选项B，由有意义可得a，b不可能异号，结合≥可得a≥0，b≥0，由ab≠0可得a≠0，b≠0，故可得a>0，b>0，故B正确；
选项C，需满足a，b同为正数才成立，若a＝－1，b＝2，显然满足a≠b，但无意义，故C错误；
选项D，把>的两边分别平方，整理可得(a－b)2>0，显然a≠b，故D正确．故选C.
14．(2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)
A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案　B
解析　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.
15．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若[x]＝[y]，则|x－y|<1；反之，若|x－y|<1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的充分不必要条件．故选A.
16．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　A＝＝{x|－1<x<3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
17．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．
答案　充分不必要
解析　∵a－b>1，即a>b＋1.
又∵a，b为正数，
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”充分不必要条件．
18．下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
正确的是________．
答案　①④
解析　由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，
反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，
所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．