1.6函数的连续性1.doc

第六节 函数的连续性
教学目的：使学生理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。
教学重点：分段函数在分界点处的连续性
教学过程：
一、讲解新课
一、 函数的连续性
连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。在数学上，我们有：
定义 1：设在的某邻域内有定义，若，就称函数在 点处连续
注 1：在点连续，不仅要求在点有意义，存在，而且要，即极限值等于函数值。
2：若，就称在点左连续。若，就称在点右连续。
3：如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。
定义1ˊ：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续。
下面再给出连续性定义的另一种形式：
先介绍增量：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的增量，记为，即；可正、可负、也可为零，这些取决于与的大小。
我们称为自变量在点的增量，记为，即或；相应函数值差，称为函数在点的增量，记为，即，即或，
。
定义1″：设在的某邻域内有定义，若当时，有，即，或，就称在点连续。
定理：在点连续在点既左连续，又右连续。
【例1】 多项式函数在上是连续的；所以，有理函数在分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。
【例2】不难证明在上是连续的。
【例3】证明在点连续。
证明：，又，所以由定理 在点连续；
，所以 在点连续。
【例4】讨论函数 在的连续性。
解： ，因为，所以该函数在点不连续，又因为，所以为右连续函数。

二、间断点
简单地说，若在点不连续，就称为的间断点，或不连续点，为方便起见，在此要求的任一邻域均含有的定义域中非的点。间断点有下列三种情况：
（1）在没有定义；
（2）不存在；
（3）虽然不存在，也虽然在点有定义，但。
种常见的间断点类型：
【例5】设，当，即极限不存在，所以为的间断点。因为，所以为无穷间断点。
【例6】在点无定义，且当时，函数值在与之间无限次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。
1. 均为振荡间断点。
2、 不连续，连续。
【例7】 在点无定义，所以为其间断点，又，所以若补充定义，那么函数在点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。
【例8】 [例4]的函数在点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于的，这种间断点称为跳跃间断点。例如在处即为跳跃间断点。

归纳：(1)，为无穷间断点；
(2)震荡不存在，为震荡间断点；
(3)，为可去间断点；
(4)，为跳跃间断点。
如果在间断点处的左右极限都存在，就称为的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。
二、课堂练习：
三、布置作业：