因动点产生的直角三角形问题.doc

1.3 因动点产生的直角三角形问题
【例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

图1
【思路点拨】
1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．
2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．
3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．
【满分解答】
（1）如图2，由CE//AB，得．
由于△CEF与△CAF是同高三角形，
所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．
（2）如图3，延长AG交射线CD于M． 图2
由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．
由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．
又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．
所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．

图3 图4
（3）在Rt△ABC中， AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．
①如图 4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．
所以G是EN的中点．
所以G是BC的中点，BG＝6．
②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得．
由CE//AB，得．
所以．又因为∠AFG＝∠BFA，所以△AFG∽△BFA．
所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．
作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．
在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．

图5 图6
【考点伸展】
第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．
如果用四点共圆，那么很容易．
如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．
上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：
如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝PA＝PG．
所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．
如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，
又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．
所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．

图7 图8

【例2 2014年苏州市中考第29题】
如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图象上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的式子表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1
【思路点拨】
1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．
2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．
3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．

【满分解答】
（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．
（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，
得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．
所以点D的坐标为(2m,－3)．
设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))．
如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．
由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．
所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．
当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m, 5)．
所以．

图2 图3
（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，
可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．
那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．
证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．
因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．
此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)．

【考点伸展】
第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．
此时．因此．
所以．此时．

【例3 2013年山西省中考第26题】
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1
【思路点拨】
1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．
2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
【满分解答】
（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．
（2）直线DB的解析式为．
由点P的坐标为(m, 0)，可得，．
所以MQ＝．
当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．
解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．
此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．
所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．
所以四边形CQBM是平行四边形．

图2 图3
（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

【考点伸展】
第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为．
①如图3，当∠DBQ＝90°时， ．所以．
解得x＝6．此时Q(6,－4)．
②如图4，当∠BDQ＝90°时， ．所以．
解得x＝－2．此时Q(－2,0)．

图3 图4

【例4 2012年广州市中考第24题】
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1
【思路点拨】
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．
2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
【满分解答】
（1）由，
得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．
（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．
由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．
所以，点D的坐标为．
因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．
而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．

图2 图3
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．
联结GM，那么GM⊥l．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．
所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．
根据对称性，直线l还可以是．
【考点伸展】
第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．
因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．

【例5 2012年杭州市中考第22题】
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

【思路点拨】
1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．
2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
【满分解答】
（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．
当k＝－2时，反比例函数的解析式是．
（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．
当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线． 图1
所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．
（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，
当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
由OQ2＝OA2，得．
解得（如图2），（如图3）．

图2 图3
【考点伸展】
如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．
问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．

图4 图5

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