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第二讲 几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 外接圆半径： 三角形面积：
正三角形三心合一，三线合一，心把高分为两部分。
2．球的概念：
概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径；
与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球或．
概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
3．球的截面：
用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.
4．空间几何体外接球、内切球的概念：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

长方体的外接球 正方体的内切球
5．外接球和内切球性质：
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
6．公式：球的表面积公式：；球的体积公式：
长方体的外接球半径公式：，其中分别为长方体共顶点的3条棱长
正棱锥的外接球半径公式： =2，其中为侧棱长，为正棱锥的高
正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。

※典型例题：
题型一：球的概念
例1. （1）已知球的直径为8cm，那么它的表面积为__________，体积为___________
（2）已知球的表面积为144，那么它的体积为___________
（3）已知球的体积为，那么它的表面积为__________
（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________
例2.（1）（2012年新课标文科）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.

（3）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______．

（4）（2013年高考新课标1（理））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （　　）
A． B． C． D．
题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题
例3.（1）设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A． B． C． D．
例4.（1）（2010年新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（2）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为     cm2．
（3）（2013年辽宁数学（理））已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
题型三：与正锥体有关的外接球问题
例5．（1）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2012年高考辽宁理）已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．
例6．（1）（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O—ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．

（2）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，
则此正六棱锥的侧面积是________．
题型四：其他柱体、锥体的外接球问题
例7．（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于 ．
（2）四棱锥的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为2的正方形，平面，且，则其外接球的体积为　　 　　　．
（3）（2015年新课标2文科）已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：柱体、锥体的内切球问题
例8.（1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
（2）正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

※拓展练习：
2．一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．

7．（2012辽宁文）已知点是球O表面上的点，平面ABCD，四边形ABCD是边长为正方形．若，则的面积为__________．

8．球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．