联合体高三理数二模答案.doc

2011~2012学年度高三年级第二次模拟考试
数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得 分
A
C
A
D
B
D
D
D
C
C
B
C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.x2＋(y－1)2=10 14.－20 15 .6 16. 4
三、解答题(本大题共70分)
17.(本小题满分12分)
解（Ⅰ）由m∥n，知，即b2=a2＋c2－ac， …………2分
据余弦定理，知 cosB=，得 B=. …………5分
（Ⅱ）sinA＋sinC=sinA＋sin(A＋B)=sinA＋sin(A＋)
=sinA＋sinA＋cosA=sinA＋cosA
=sin(A＋), …………8分
因为B=,所以A＋C=,得 A∈(0, ), …………9分
所以A＋∈(,),得 sin(A＋)∈(,1］， …………11分
所以 sinA＋sinC的取值范围为(,］. …………12分
18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）依题意，随机变量X的取值为0,1,2,3，
且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为p=． …………2分
方法一: p(X=0)= =, P(X=1)= ,
p(X=2)= , P(X=3)= , …………6分
∴ X 的分布列为：
X
0
1
2
3
p

∴ EX=0×＋1×＋2×＋3×=. …………8分
方法二：根据题意可得 X～B(3, )， …………4分
∴ P(X=k)= ,k=0,1,2,3. …………6分
∴ EX=np=3×=． …………8分
(2)提出假设H0：休闲方式与性别无关系．
根据样本提供的2×2列联表得
=≈8.889＞6.635. …………10分
因为当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为“在20∶00～22∶00时间段性别与休闲方式有关”． …………12分
19．（本题满分12分）
证明（Ⅰ）∵ PB⊥底面ABC，且AC底面ABC， ∴ AC⊥PB，
由∠BCA=90°，可得 AC⊥CB,
又 ∵ PB∩CB=B，∴ AC⊥平面PBC， …………2分
又 BE平面PBC， ∴ AC⊥BE，
∵ PB=BC, E为PC中点，∴ BE⊥PC，
∵PC∩AC=C， BE⊥平面PAC, …………4分
而BE平面BEF，∴ 平面PAC⊥平面BEF. …………5分
（Ⅱ）如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，BP所在直线为z轴建立空间直角坐标系. …………6分
则 C(2,0,0)，A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1).
.
设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z).
由 得
取x=1，则y=1,z=－1,m=(1,1,－1). ………… 9分
取平面ABC的法向量为n=(0,0,1), …………10分
则 cos<m,n>=, …………11分
故平面ABC与平面PEF所成的二面角（锐角）的余弦值为. …………12分
20．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由题意知，所以，即， …………2分
又因为 ，
所以 ,故椭圆C的方程为 ． …………4分
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为 y=k(x－4),
, 得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12=0, ①
设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,－y1),直线AE的方程为y－y2=,
令 y=0，得 x=,将 ， 代入整理，
得 , ②
由①得 ， 代入②
整理，得x=1,所以直线AE与x轴相交于点Q(1,0), …………6分
当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为 y=m(x－1)，
且M(xM,yM)，N(xN,yN)在椭圆C上,由
得(4m2＋3)x2－8m2x＋4m2－12=0．
易知Δ＞0,所以xM＋xN=，xMxN=,yMyN=－．
则=xMxN＋yMyN=－=－. …………8分
因为m2≥0，所以≤－＜0 ,所以∈［－4, ).……………10分
当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1,解得 M(1, )，N(1, ),
此时=,
所以的取值范围是［－4, ］. …………12分
21.（本小题满分12分）
解(Ⅰ)f′(x)=ex＋a, 1分
当a≥0时，f′(x)＞0,f(x)在(－∞,＋∞)上是单调增函数, …………2分
当a＜0时，由f′(x)＞0 ，得x＞ln(－a)，f(x)在(ln(－a),＋∞)上是单调增函数；
由f′(x)＜0，得x＜ln(－a)，f(x)在(－∞,ln(－a))上是单调减函数．…………4分
综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞,＋∞);
a＜0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a),＋∞)，单调减区间是(－∞,ln(－a))．…………5分
（Ⅱ）当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，
即 ex＋ax≥e－x－ax恒成立，即 ex－e－x＋2ax≥0恒成立， …………6分
令h(x)=ex－e－x＋2ax，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．
又h′(x)=ex＋e－x＋2a,且h′(x)≥=2＋2a，x=0时等号成立． …………8分
①当a≥－1时，h′(x)≥0 ，所以h(x)在［0,＋∞)上是增函数，
故h(x)≥h(0)=0恒成立． …………10分
②当a＜－1时，方程h′(x)=0的正根为x1=，
当x∈(0,x1)时，h′(x)＜0，故h(x)在该区间为减函数．
所以，x∈(0,x1)时，h(x)＜h(0)=0，∴ a＜－1时不符合题意．
综上，a的取值范围是［－1,＋∞)． …………12分
22.(本小题满分10分)
证明（Ⅰ）连接BD，因为AB为⊙O的直径，所以BD⊥AC， …………1分
又∠B=90°，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，
因此 EB=ED， …………3分
所以 ∠EBD=∠EDB,∠CDE＋∠EDB=90°=∠EBD＋∠C，
所以 ∠CDE=∠C， 得 ED=EC， …………4分
因此 EB=EC，即E是BC的中点 …………5分
（Ⅱ）连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高， …………6分
由射影定理，得 AB2=AE·AF. …………8分
同理可得 AB2=AD·AC， …………9分
所以AD·AC=AE·AF …………10分
23.(本小题满分12分)
解(Ⅰ)由 知 ∴ D的直角坐标为(0，－1). …………2分
由 ,得，
∴ , …………4分
∴ y2=4x＋4. …………5分
(Ⅱ)设经过点D，倾斜角为α的直线L的参数方程为
(t为参数), 代入y2=4x＋4. 得. …………7分
则 t1·t2= ,
∴｜DA｜·｜DB｜=｜t1t2｜= , …………9分
当= 时，｜DA｜·｜DB｜取得最小值3. …………10分
24.(本小题满分10分)
解（Ⅰ）∵ 函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，∴ g(x)=－f(－x)=－(x2－2x)，
∴ g(x)=－x2＋2x,x∈R. ∴ 原不等式可化为 2x2－｜x－1｜≤0． …………1分
原不等式等价于 ① 或 ② …………2分
由①得－1≤x≤，而②无解． …………4分
∴ 原不等式的解集为［－1, ］． ………… 5分
（Ⅱ）不等式g(x)＋c≤f(x)－｜x－1｜可化为 c≤2x2－｜x－1｜,
作出函数F(x)=2x2－｜x－1｜的图象（略）．
由此可得函数F(x)的最小值为，
∴ 实数c的取值范围是(－∞, ］． …………10分
5