第七讲指数函数和对数函数.doc

第七讲 指数函数和对数函数（1）
-----指数与指数函数
【基础回顾】
一、基础知识：
知识点一：幂的运算
1．根式的定义：若一个数的次方等于，则这个数称 ；即若 ，则称 （．①当为奇数时，次方根记作 ；②当为偶数时，负数 ，而正数有 ，记作 ．
2．根式性质：① ； ②当为奇数时， ；当为偶数时， ．
3．幂运算法则：①N*) ， ②；
n个
③， ④、N* 且．
4．幂运算性质： ①、Q）；②、 Q）；
③ Q）． 注：上述性质对r、R均适用．
知识点二：指数函数的图像与性质
指数函数的图象和性质：

a>1
0<a<1
图象

性质
(1)定义域：
（2）值域：
（3）过点 ，即x= 时，y=
（4）在 R上是
（4）在R上是

二、基础自测：
1．化简= ．
2．设函数，则方程的解为 ．
3.已知x+x-1=3,则= ．
4. 当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 ．
5.若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
6.已知： ．
【典型例题】
例题1：（1）计算：；
（2）已知a=,b=9，求： 的值.
解：（1）原式；
（2）=.÷［a·］= =a.
∵a=，∴原式=3；
例题2：求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）； （2）.
解：（1）依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.
（2）由g(x)=-(∴函数的定义域为R。
令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，
求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.
例题3：已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即
又由知
（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，从而判别式
[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，
即，
整理得，
上式对一切均成立，从而判别式

【巩固练习】
1．函数(，且)的图象必经过点 ．
2．化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）= ；（2）= ．
3．函数y=ax（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是 ．
4．已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
5. 已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若＋＝，则a等于________．
6. (2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为___ _____．
7．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.
8．设mn>0，x=，化简：A== .
9．（2009北京理）若函数 ，则不等式的解集为 .
10．若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 .
11.求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.

12．设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

13.对于函数.
（1）求函数的定义域；
（2）当为何值时，为奇函数；
（3）讨论（2）中函数的单调性.

14．已知函数f(x)=（ax-a-x） (a＞0，且a≠1).
（1）判断f(x)的单调性；
（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)＜0的实数m的范围.

【拓展提高】
★1．函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx) f(cx).(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空) ．
★2．已知，函数 ．
（1）若的定义域为时，解关于m的不等式；
（2）若当且仅当在上取负值，求的值．

【总结反思】