数学教案--三角函数的诱导公式.doc

5.2.3 诱导公式
【教学目标】
1. 理解并掌握诱导公式，会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式；
2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用；
3. 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简．
【教学难点】
诱导公式(一)、（二）、（三）的推导．
【教学方法】
本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法，引导学生借助单位圆和三角函数线，充分利用对称的性质，揭示诱导公式与同角公式之间的联系，然后讲练结合，使学生牢固掌握其应用．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图

复
习
导
入
1. 复习三角函数的定义、单位圆与三角函数线．
2. 复习对称点的知识．

1. 教师运用多媒体展示三角函数的定义、单位圆与三角函数线，提问相关问题，学生回答．
2. 师：已知任意角 a 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，请分别写出点 P 关于 x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标．
共同回顾，为新课做准备．

新

课

新

课

新

课

新

课

1．角a与a＋k·2π（kÎZ）的三角函数间的关系．
直角坐标系中，a与a＋k·2π (kÎZ)的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等．
公式（一）：
sin(a＋k·2π) ＝ sin a；
cos(a＋k·2π) ＝ cos a （kÎZ）；
tan(a＋k·2π) ＝ tan a．
例1 求下列各三角函数的值：
(1) sin；(2) cos；(3) tan 405°．
解 (1)sin＝sin(＋6 π)
＝sin ＝1；
(2) cos＝cos(＋6 π)
＝cos ＝；
(3) tan 405°＝tan (45°＋360°)
＝tan 45°＝1．
2. 角a 和角－a 的三角函数间的关系．
y
如图5-17，设单位圆与角a和角－a的终边的交点分别是点P和点P´．
a
x
P(x，y)
M
O
-a

P¢ (x，-y)
图5-17
容易看出，点 P 与点 P´ 关于 x 轴对称．
已知P(cos a，sin a)和
P¢(cos(－a)，sin(－a))．
于是，得到
公式（二）：sin（－a）＝－sin a；
cos（－a）＝ cos a；
tan（－a）＝－tan a．

例2 求下列各三角函数的值：
(1) sin (－)； (2) cos(－)；
(3) tan(－)； (4) sin(－)．
解 (1) sin (－)＝－sin ＝－；
(2) cos(－)＝ cos ＝ ；
(3) tan(－)＝－tan＝－；
(4) sin(－)＝－sin
＝－sin(＋2π )＝－sin＝－．
3.角a 与a ±π的三角函数间的关系．
如图5-18，角 a 与 a ±π 的终边与单位圆分别相交于点 P 与点P´，容易看出，点P 与点 P´ 关于原点对称，它们的坐标互为相反数 P( x，y)，P´(－x，－y)，
Ｐ(x，y)

x
y
O
a
a+p
P¢ (-x,-y)
a-p
图5-18

所以得到公式（三）
sin (a ± p ) ＝－sin a；
cos (a ± p ) ＝－cos a；
tan (a ± p ) ＝ tan a．
4.角a 与π－a 的三角函数间的关系．
Ｐ
P´
x
y
O
a
p-a
图5-19

如图5-19，角a 与π－a 和单位圆分别交于点P与点P´，由P´与点P关于y轴对称，可以得到a 与π－a 之间的三角函数关系：
sin(p－a)＝sin a；
cos(p－a)＝－cos a．
即 互为补角的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数．
例如：sin＝ sin ＝ ；
cos＝－cos＝－．
例3 求下列各三角函数的值：
(1) sin ； (2) cos(－)；
(3) tan(－)； (4) sin 930°．
解　略．
例4 求下列各三角函数的值：
(1) sin(－)； (2) cos；
(3) tan(－)； (4) sin870°．
解　(1)sin(－)＝－sin(＋ 9π )
＝－(－sin )＝；
(2)cos＝cos(－＋ 3π )＝cos(π－)＝－cos ＝－；
(3)tan(－)＝ tan(－5π )
＝ tan ＝；
(4)sin870°＝sin(－30°＋5×180°)
＝sin(180°－30°)＝sin30°＝．
例5 化简：

解
＝
＝
＝tan2a．

师生共同探讨得出公式（一）的结构特征：等号两边是同名函数，且符号都为正．

例1由学生试着完成．
教师在例1结束后小结公式(一)的作用：把任意角的三角函数转化为0~360º之间角的三角函数．

练习：教材P146，练习A组第1（1）（2）题，第2（1）（2）题，第3（1）（2）题．

观察图5-17，教师引导学生回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（二）．

学生独立完成，并交流解题心得．
例2结束后教师小结诱导公式(二)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角三角函数．
练习：教材P146，练习A组第1（3）（4）题，第2（3）（4）题，第3（3）（4）题．

教师引导学生观察图5-18，并回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（三）．

学生独立完成，并交流解题心得．
教师在例3结束后小结诱导公式(三)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．

教师总结解题步骤：先用诱导公式(二)把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后再用诱导公式(三)把它们化为锐角的三角函数来求．进一步强化学生运用公式的灵活性．
解题关键是找出题中各角与锐角的关系，转化为求锐角的三角函数值．

教师对例5小结：化简时，综合应用诱导公式(一)、(二)、(三)，适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．

体会诱导公式(一)的作用．
熟练应用公式(一)求值．

熟练应用公式（二）求值．

教师用语言叙述公式，更利于学生理解掌握公式特征．

利用例3，熟练运用公式(三)求三角函数值．

利用例4，学会综合运用诱导公式求任意角的三角函数值．

利用例5，学会综合运用各组诱导公式化简较复杂的三角代数式．

小

结
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0到2π内的三角函数
锐 角
三角函数
公式（一）
公式（二）
公式（三）
求任意角的三角函数值的步骤：

师生共同总结、交流．
让学生养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法的应用．
作
业
必做题：教材 P 146，练习 B组．