人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(四十一)-7.2空间图形的基本关系与公理.doc

课时提升作业(四十一)
空间图形的基本关系与公理
(20分钟　35分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·南昌模拟)给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面.其中正确的序号是　(　　)
A.① B.①④ C.②③ D.③④
【解析】选A.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.
2.(2015·合肥模拟)已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是　(　　)
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
【解题提示】分三条线段共面和不共面两种情况讨论.
【解析】选D.若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.
3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过　(　　)

A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
【解析】选D.因为ABα,M∈AB,所以M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,所以M∈β,
由公理3知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
4.已知A,B是两个不同的点,m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则①mα,A∈m⇒A∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈m⇒B∈α;③mα,nβ,
m∥n⇒α∥β;④mα,m⊥β⇒α⊥β.其中真命题为　(　　)
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【解析】选C.根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行,也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题,故选C.
【加固训练】1.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为　(　　)

A.相交 B.平行 C.异面 D.重合
【解析】选C.将表面展开图折起还原为正方体,如图,故MN与PB异面.

【误区警示】本题由展开图还原为几何体时易出错,原因是空间想象能力不强,可固定其中一个面,翻折其他面得到.
2.将正方体纸盒展开如图所示,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是　(　　)

A.平行 B.垂直
C.相交成60°角 D.异面且成60°角
【解析】选D.折起后如图,

显然AB与CD异面,因为AM∥CD,△AMB为正三角形,所以∠MAB=60°.
3.(2015·黄山模拟)设有如下三个命题:
甲:相交直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内;
乙:直线l,m中至少有一条与平面β相交;
丙:平面α与平面β相交.
当甲成立时　(　　)
A.乙是丙的充分而不必要条件
B.乙是丙的必要而不充分条件
C.乙是丙的充分且必要条件
D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
【解析】选C.当甲成立,即“相交直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内”时,若“l,m中至少有一条与平面β相交”,则“平面α与平面β相交”成立;若“平面α与平面β相交”,则“l,m中至少有一条与平面β相交”也成立.故选C.
5.(2015·玉林模拟)如图,正棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　(　　)

A. B. C. D.
【解析】选D.如图,

连接BC1,A1C1,
∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角),
设AB=a,AA1=2a,
所以A1B=C1B=a,
A1C1=a,
∠A1BC1的余弦值为,
故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①设a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;
④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.
其中真命题的个数是　　　　.
【解析】因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交,平行,异面,故①错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面,相交,平行,故②错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面,相交,平行,故③错;同理④错,故真命题的个数为0.
答案:0
7.(2015·西安模拟)如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　　　.

【解题提示】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,可得C1D=AD,从而可得结论.
【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,

则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,
所以AD∥BC,
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,
所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=AD,
所以直线AC1与AD所成角的正切值为,
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
答案:
(20分钟　40分)
1.(5分)如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,则PB与AC所成角是　(　　)

A.90° B.45° C.60° D.30°
【解析】选C.过点B作BECA,连接AE,PE,由已知△PAB及△BAE和△PAE均为全等的等腰直角三角形,因此△PBE为等边三角形,所以PB与AC所成的角为
60°.

2.(5分)(2015·太原模拟)对于直线m,n和平面α,下列命题中的真命题
是　(　　)
A.如果mα,n⊈α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果mα,n⊈α,m,n是异面直线,那么n与α相交
C.如果mα,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.如果mα,n∥α,m,n共面,那么m与n相交
【解析】选C.对于选项A,n可以与平面α相交,对于选项B,n可以与平面α平行,故选项A、B均错;由于mα,n∥α,则m,n无公共点.又m,n共面,所以m∥n,选项C正确,选项D错.
3.(5分)(2015·温州模拟)如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是　(　　)

【解析】选D.A中PS∥QR,故共面;B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形,故共面.
4.(12分)(2015·渭南模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,
∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分别是BC,AA1的中点.求:

(1)异面直线EF和A1B所成的角.
(2)三棱锥A-EFC的体积.
【解析】(1)如图,取AB的中点D,连接DE,DF,则DF∥A1B,
所以∠DFE(或其补角)即为所求.

由题意知,DF=,DE=1,
AE=,
由DE⊥AB,DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1,所以DE⊥DF,即△EDF为直角三角形,
所以tan∠DFE===,
所以∠DFE=30°,
即异面直线EF和A1B所成的角为30°.
(2)VA-EFC=VF-AEC=·S△AEC·FA=××××=.
【加固训练】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积.
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PO⊥平面ABCD,
所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°.
在Rt△POB中,因为BO=AB·sin30°=1,
又PO⊥OB,所以PO=BO·tan60°=,
因为底面菱形的面积S菱形ABCD=2.
所以四棱锥P -ABCD的体积
VP -ABCD=×2×=2.
(2)取AB的中点F,
连接EF,DF,
因为E为PB中点,
所以EF∥PA.
所以∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或补角).在Rt△AOB中,AO=
AB·cos30°==OP,
所以在Rt△POA中,PA=,
所以EF=.
因为四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,
所以△ABD为正三角形.
又因为∠PBO=60°,BO=1,
所以PB=2,所以PB=PD=BD,
即△PBD为正三角形,
所以DF=DE=,
所以cos∠DEF=
===.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
5.(13分)(能力挑战题)(2014·湖南高考)如图所示,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在平面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥平面α,垂足为O.

(1)证明:AB⊥平面ODE.
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.
(2)根据二面角的平面角的定义及线线角的定义求解.
【解析】(1)如图,因为DO⊥平面α,AB平面α,
所以DO⊥AB,

连接BD,由题设知,△ABD是正三角形,
又E是AB的中点,所以DE⊥AB,
又DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.
(2)因为BC∥AD,所以BC与OD所成角等于AD与OD所成的角,
即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角).
由(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE,又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°,
不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=,
在Rt△DOE中,DO=DE·sin60°=,
连接AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO===,故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤
(1)作:通过作平行线得到相交直线.
(2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
(3)算:通过解三角形求出角.
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