2016年初三数学创新杯竞赛试卷(含答案).doc

2014年湖州市初三数学竞赛试题
（2014年12月14日 上午9：00—11：00）
题　号
一
二
三
总分
1－8
9－14
15
16
17
18
得　分

评卷人

复查人

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．　　2．解答书写时不要超过装订线．
3． 可以用计算器
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)．
1．已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出了如图所示的关于a，b的四种位置关系，则可能成立的有(　 )

　　A．1种　　　　　　B．2种　　　　　　C．3种　　　　　　D．4种
2．已知a是方程的一个实数根，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. ，则=（ ）

（A）64 （B）32 （C） －32 （D）－64

4. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A. B. C. D.
第4题

5. A、B、C三个足球队举行单循环赛，下表给出了部分比赛信息：
球队
比赛场次
胜
负
平
进球数
失球数
A
2
2场

1
B
2

1场

2
4
C
2

3
7

则A、B两队比赛时，A队与B队进球数之比为（ ）
A.2∶0 B.3∶0 C.2∶1 D.3∶1

6．定义新运算： a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是( )
B
C
O
y
x
P
W
第７题图
A

7．.如图，∠XOY＝90°，OW平分∠XOY，PA⊥OY，PB⊥OX，PC⊥OW．
　　若OC＝－1，则OA＋OB＋OC＝（ ）
A．３ B． ２ C．１ D．

8．我们用代替函数中的变量y，如：可以记作，“当x=1，y=4”可以记作“”．现有函数，，，记，
其中k=1，2，3，则下列结论正确的是（ 　 ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．有一组数满足
按此规律进行下去，则___________.

A
B
C
D
O
第10题

10.如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，
　　且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a的值等于__________．

第12题
11．直线与、y轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，
那么的取值范围是 。
12．如图，在圆O中有折线,BC=6,CO=4,
,则的长为

C
D
B
A
x
y
O
第13题
13．如图，直线 与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，点C、D在线段AB上．若反比例函数 的图象经过点C、D，且BD=CD，
则 的值等于 。

14．二次函数在上有最小值，则的值为___________.

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
第15题
（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

16. 下面图像反映的是甲、乙两人以每分钟80米的速度从公司出发步行到火车站乘车的过程．在去火车站的途中，甲突然发现忘带预购的火车票，于是立刻以同样的速度返回公司，然后乘出租车赶往火车站，途中与乙相遇后，带上乙一同到火车站，结果到火车站的时间比预计步行到火车站的时间早到了3分钟．
⑴甲、乙离开公司 分钟时发现忘记带火车票；图中甲、乙预计步行到火车站时路程s与时间t的函数解析式为 ；（不要求写自变量的取值范围）
⑵求出图中出租车行驶时路程s与甲、乙两人出发时间t的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围）
⑶求公司到火车站的距离．
第16题
A
B
C
（米）
（分钟）

17甲. （S）
第17题
已知，如图：在中，.以为底作等腰直角，是的中点，求证：.

17乙. （T）

A
B
C
O
已知，如图：在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=80°，O是ΔABC内一点，∠OBC=10°，∠OCA=20°．求∠OAC的度数．

18．O
A
B
xB
y
P
Q
C
E
D
F
第18题
如图，已知抛物线y=ax2＋bx经过点A()和B()．点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线段，与直线OB交于点C，延长PC到Q，使QC=PC．过点Q的直线分别与x轴、y轴相交于点D、E，且OD=OE，直线DE与直线OB相交于点F．设OP=t．
（1）请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式；
（2）当点Q落在抛物线上时，求t的值；
（3）连结BD：
①请用含t的代数式表示点F的坐标；
②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时，
求t的值．

2014年湖州市初三数学竞赛试题评分意见与参考答案
一、选择题
1．B 2．Ｄ 3．C 4．A 5．Ａ 6．B 7．Ｃ 8． Ｂ

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．2600 10． 11．－1≤≤1
12．10 13． 14． 5或,
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．解：由题意，得：
，解得：， ∴A（1，6），B（6，1），------------- 4分
设反比例函数解析式为y= ，将A（1，6）代入得：k=6，
∴ 反比例函数解析式为y= ； ---------------------- 2分
（2）存在，设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE＝S四边形ABCD－S△ADE－S△BCE
=　（BC+AD）•DC－DE•AD－CE•BC　
　　＝　　　　　＝５； ------- ------------- 4分
　　解得：x=5，∴ Ｅ点坐标为（5，0）．------------- 2分
16. (1) 6 S=80t ----- ------- -------------4分
（2）点B的坐标为（16，1280）
∵ 直线BC过点（12，0）和（16，1280）
∴ 解得：

　　 S=320t－3840 ------ -------.------ -------------.4分
（3）设原来预计ｘ分钟到达火车站，则由题意得

　　　　　解得ｘ＝20，80x=1600米
即公司到火车站的距离为1600米 .------ -------------.4分

17（甲）. 证明：
过作交于

-------.2分
又
------ -------.------ -------------.4分
-----.------ -------------.2分

-----.------ -------------.2分
------ -------.------ -------------.1分
故 ------ -------.------ -------------.1分
A
B
C
O
D

17（乙）.解：
作∠CBD=10°，且BD=BA　 ---.------ -------------.2分
则ΔABD是等边三角形，
∴　AD=AB， ---.------ -------------.2分
又AB=AC，∴　AD=AC，
∠DAC=80°－60°=20°　　　∴　∠ACD=80°----------.2分
∴　∠BCD=80°－50°=30°=∠BCO
∴ ΔBDC≌ΔBOC ---.------ -------------.2分
∴ BO=BD=AB
∵ ∠ABO=40°，∴ ∠BAO=70° ---.------ -------------.2分
∴ ∠OAC=10° ------ -------.------ -------------.2分

O
A
B
xB
y
P
Q
C
E
D
F

G
18. 解：
（1）抛物线的函数解析式是，- ---------2分
直线OB的函数解析式是； - ---------2分
（2）∵OP=t，PC⊥x轴于点P，交直线OB于点C，
∴PC=，∴PQ=，即Q（t，t），------ -----------.2分
当点Q落在抛物线上时，，
解得：； ------ -----------.- ---------2分

（3）①作FG⊥x轴于点G，设FG=n，
由（2）得：PQ=，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴，∴△PDQ是等腰直角三角形
∴PD= PQ=，∴OD=2t，
同理可得：FG= DG=，∴OG=，
将x=，y=n代入得：，
∴OG=，∴F（，）； ------ -----------.- ---------2分
②由（3）①得：OF=，，
∵，，
∴BF=,,
Ⅰ．当点F在射线OB的点B的右侧时：∠BFD>90°,而△OEF中无钝角，故此时△OEF与△DBF不相似；
Ⅱ．当点F在线段OB上时：
∵∠OFE=∠BFD，∴OE和BD是对应边，
当△OEF∽△DBF时，，即，解得：，
当△OEF∽△BDF时，，即，解得：．
∴或4． ------ -----------.- ---------4分