空气阻力大小与速率二次方成正比.doc

斜抛物体在空气阻力大小与速率二次方成正比的问题研究
摘要：斜抛运动是一种常见的运动形式，建立了斜抛物体在空气阻力与速率成正比的抛体运动特征的数学模型，并采用解析法求解。实际上当阻力存在且以不同形式存在时，对各种物理量如速度、射高、落地速度、轨迹方程等都有很大的差别，它们对抛体运动的影响是十分显著的。为此，我们根据不同情况建立相应数学模型，进行研究并分析了结果。
关键词：阻尼；斜抛物体运动；计算
Projectile motion in the range of objects in the problem of damping
Abstract: Projectile Motion is a common form of movement, the establishment of the ramp throwing objects, and in the absence of air resistance and air resistance is proportional to the projectile motion rate characteristics of the mathematical model, using analytical method. Indeed, when the resistance exists and exists in different forms, for various physical quantities such as speed, shooting high, landing speed, trajectory equation, are very different, their impact projectile motion is very significant. To this end, we set up according to different situations corresponding mathematical model to study and analyze the results.
Key words：Damping; inclined parabolic movement of objects; calculation
1 引言
在研究斜抛物体运动特征时，通常假设抛体不受空气阻力或空气阻力大小与速率的一次方成正比，把所研究的问题简化为线性问题 ，然后进行求解。上述方法对低速运动的物体(约为0.1m/s)还比较符合实际，但速度较大时误差较大,一般高速运动的物体所受空气阻力大小与速率的二次方成正比，求解抛体运动特征是一个非线性问题。本文以阻力与速度成正比情形为例进行研究与讨论，为此我们建立了以下数学模型，进行研究并分析了结果。
2 空气阻力大小与速率二次方成正比
运动方程可化简为上升与下降两个过程进行研究。
2.1 上升过程：
动力学方程：
直角坐标系下的正交分解式为：
　　　 (1)
　　　(2)
由（3）式得

，

由（4）式得

，那么

速度：

运动方程 ：

由方程消去时间t可以得到抛体的轨迹方程：
　　　(3)
讨论
1）速度：
和的函数表达式都比较复杂，但都迅速递减的。
2）

3）

2.2下降过程：
动力学方程：
直角坐标系下的正交分解式为：
　　　(4)
　　　　(5)
由（6）式得

再积分，设起始条件，为最高点x方向分量，

速度：

运动方程：
由（7）式得
即

那么
积分，得反双曲函数

因为当t=0，即=0，故=0.
所以
即
速度：
在积分，并利用起始条件t=0，y=hmax得
运动方程 ：
有因为在上升过程中已经求的hmax为：
hmax=，
那么
速度：

运动方程 ：

由方程消去时间t可以得到抛体的轨迹方程：
(6)
讨论
1），当k与m一定时，t，故物体的速度逐渐减小到零。
2），当k与m一定时，，故物体的速度由零逐渐增大。
3），当k与m定时，逐渐减小,将为．
3结论
本文从斜抛物体在没有空气阻力、空气阻力大小分别与速率的一次方和二次方成正比时抛体运动特征的数学模型建立，得到抛体运动的微分方程，并根据微分方程导出了运动方程，求解抛体运动抛射体的初速度、阻力系数、抛射体的质量和轨迹方程相关研究，说明阻力对斜抛物体运动的影响。
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