人教版数学九年级上册-24.3-正多边形和圆-练习题.doc

九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案
一、课前预习
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.
2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )
A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
4.已知⊙O和⊙O上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.

图24-3-1
三、课后巩固(30分钟训练)
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A. B. C. D.
2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.

图24-3-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.

7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？

图24-3-3
8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).

图24-3-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案：

图24-3-5

10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.

图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).

参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.答案：D
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
思路解析：如图，设正三角形的边长为a，则高AD=a，外接圆半径OA=a，边心距OD=a，所以AD∶OA∶OD=3∶2∶1.答案：A
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
思路解析：正n边形的对称轴与它的边数相同.答案：5 6
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
思路解析：因为正n边形的中心角为，所以45°=，所以n=8.答案：8
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
思路解析:由切线长定理及三角形周长可得.答案:6
二、课中强化(10分钟训练)
1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.
思路解析：因为正n边形的外角为，一个内角为，
所以由题意得=·，解这个方程得n=5.
答案：5
2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A
3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )
A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B
4.已知⊙O和⊙O上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.

图24-3-1
思路分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12＝30°.

(1)作法：①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连结A、B、C、D四点,
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形;
④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;
⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.
(2)证明：连结OE、DE.∵∠AOD＝＝90°，∠AOE＝＝60°，∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°.∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.
三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A. B. C. D.
正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为.答案：D
2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.答案：B
3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6＝6an求出周长.答案：18
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于______度.答案：144.
5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.

图24-3-2
思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.
解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为R3，正六边形外接圆⊙O2的半径为R6，由题意得R3=AB，R6=AB，∴R3∶R6＝∶3.∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3.
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.
解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得-＝100°.解得n＝9.
7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？

图24-3-3
思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正△O1O2O3的中心，求出这个正△O1O2O3外接圆的半径，再加上⊙O1的半径即为所求.
解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为+2= (cm).

8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).

图24-3-4答案：略.
9.用等分圆周的方法画出下列图案：

图24-3-5
作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；
(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.
10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.

图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是______，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
答案：(1)方法一：连结OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.
方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，
∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.
又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.
(2)90° 72°(3)∠MON=.