高一数学必修1知识点总结及练习题.doc

期中考复习
第一章 集合与函数概念（10，11班）
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1)
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（解题时，最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、8;
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
u 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
2，集合的表示法（研究P2，8；）
1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：M={y|y=x2-2x+1,xR} M={x|y=x2-2x+1,xR}(注意代表元素！)(P5,2)
3） Venn图:（研究P5，4/7/9）
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝（研究P3，2）
二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10)
1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系）
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算（ p3,6;P4，4/7/10,P5，10;P6,5/8）
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示

S
A

性

质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)
= Cu (AB)
(CuA) (CuB)
= Cu(AB)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。)
二、函数的有关概念 定义(P9，1/;P10，1)
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
（1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是(P30,9;P37,2/4)
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
抽象函数定义域：(P9,6;P21,5;)
u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
u ②定义域一致 (P9，3时具备)
2．值域 : 先考虑其定义域(P9，7/8;P10，10/6;P14，6)
(1)观察法 （遇见上下都有x，优先分离常数）
(2)配方法
(3)代换法
2、函数的解析表达式(P10，9、4)
求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法已知f＝x2＋，求f(x)
2) 待定系数法已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)
3) 换元法已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)（注意新换元的范围）
4) 消参法（函数方程法）已知：
3. 函数图象知识归纳
A、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换（P10，2）
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
5．映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：(P11，1/3/5/6/7/9/10)
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
一一映射：一对一，且集合B当中没有多余的元素（P11，8）
6.分段函数 （一般画图处理题目）（P11，9;P12，7;P24，10)
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
注意：分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间的关系，即整体的单调性。（
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)(P12，1/2;P14，2/3)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：（P14，9/8;P15，9;P30,10）
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性(P14，4;p31,9;P39,8)
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
（D）利用已知函数的单调性。（一次函数，二次函数，反比例函数，双勾函数，对数函数，指数函数）(P12，3/4/5/6;P14，1/5)
注：增+增=增；减加减=减（P13，3/4）
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（图像法）
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇
（2）奇函数在对称区间单调性相同，如果x=0有意义，注意利用f(0)=0解题；偶函数在对称区间单调性相反。
9.抽象函数的单调性和奇偶性(P14，9;P15，10;P24，11，12;P23，9/6)
10．函数最大（小）值
利用二次函数的性质求函数的最大（小）值
(P16，9/2/5/8;P17，8）先画图，画出对称轴，移动区间
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，则，；
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。
利用图象求函数的最大（小）值(P22，5;)
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
11:恒成立问题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。）(p24,9;P17,8;P37,6/7/10；p44,6;p45,4;)
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数 ，若，则=
5.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6.已知函数，求函数，的解析式
7.已知函数满足，则= 。
8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论．
11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂，正数的分数指数幂的意义，规定：
，
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）·
（2）
（3）
注意利用平方差公式，完全平方之间的关系，以及立方差公式。（p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6）
（二）指数函数及其性质（注意值域大于零）
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
二、对数函数 （切记真数大于零，注意定义域）
（一）对数
说明： 注意底数的限制，且；

；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论(P35,3/5/6/8/9;P36,3/4/6/8)
（1）；（2）．（3）
(注意：解对数指数方程不等式，或者比较大小都是化为同底数。若真数一样，利用换底公式（2）；
同时解对数方程时，要验根，是否真数大于0)
（二）对数函数(区别清楚定义域为R和值域为R，x2前面有参数时，别忘记讨论它与0的关系)
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域x＞0
定义域x＞0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）
注意：对于y=loga g(x),若u=g(x)为二次函数，先画图，取x轴上半部的图像，再结合图像解题。（一定注意先求定义域，真数大于0）
f(x)= 的图像要记住，若有f(a)=f(b),则a,b互为倒数。
（三）幂函数（a=-1,1/2,2,3的图像必须掌握）
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．(p22,1)
总结：幂函数在第一象限为减函数，则;为增函数，则；幂函数为奇函数，则a为奇数，为偶函数则a为偶数（p22,9）
第三章 函数的应用
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点： 二次函数．
（1）根的分布：画图！！看四点、开口方向，⊿，对称轴，端点值的符号。（注意隐含条件，
和经过的定点）没有隐含条件时，切记每一个都要考虑。
（2）两个正根，两个复根，一正一负根时一般用维达定理.（除了一正一负隐含了德塔大于零，其他时候不要忘记德塔）
（3）若已知一个根，代入求出参数，再解方程，检验另外一根是否满足条件。