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高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y（3）元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如：a,b,c (2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32(3)语言描述法：例：不是直角三角形的三角形(4)Venn图: 韦恩图（文氏图）是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 4、集合的分类：(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。含有n个元素的集合的子集的共有个；真子集共有个：非空真子集共有.集合的基本运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 容斥原理有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(AB)= card(A)+card(B)- card(AB)重点习题：注意：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题1. 求方程的解集；2.设，已知，则实数 。3.设关于的方程，的解集分别为A，B，若，求的值。4.设A=x|x2+ax+b=0,B=x|x2+cx+15=0,又AB=3，5，AB=3，求实数a,b,c的值.5.设。若，求p,q的值。6.设，B（）若，求的值；（）若，求的值7.某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49，电视机拥有率为85，洗衣机拥有率为44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63，三种电器齐全的为25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？二、函数（一）函数定义域、值域求法综合设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样； y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+32+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。（2）定义域是自变量x的取值范围； 注意：定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(xy=x2(x0)； y=1与y=x0 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x0,而不是。（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。（求值域通常用观察法、配方法、代换法）定义域的求法：当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如等。（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）.（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1) f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。1函数最大值与最小值的含义一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.2二次函数在给定区间上的最值利用二次函数的性质求最值对二次函数来说，若给定区间是，则当时，函数有最小值是，当时，函数有最大值是；若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。利用图像求函数的最值利用函数的单调性求最值3.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。（图像关于y轴对称）4.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。（图像关于原点对称）注意：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；（三）函数解析式的表达求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法例1、（1）已知二次函数满足，图象过原点，求； （2）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，解：（1）由题意设 ， ，且图象过原点， （2）由题意设 ， 又图象经过原点， 得，说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”； （2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。2、代入法例2、根据已知条件，求函数表达式（1）已知，求（2）已知，求和.解：（1）（2），说明：已知求，常用“代入法”.基本方法：将函数f(x)中的x用g(x)来代替，化简得函数表达式3、配凑法与换元法：例3、（1）已知，求.（2）已知，求解：（1）法一配凑法： 法二换元法：令，则， （2）设，则=，于是即.说明：已知求的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围4、构造方程法例3、已知f(x)满足，求.解： -将中换成得 -2-得说明：已知与，或与之间的关系式，求的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去或，解出.（三）恒成立问题的求解策略 主要讨论二次函数问题（四）反函数的几种题型及方法反函数的定义一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成1.求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域二反解：视y为常量，从中解出唯一表达式，三对换：将与互换，得，并注明定义域。2.反函数与原函数的关系：性质1、的定义域、值域分别为的值域、定义域。性质2、若存在反函数，且为奇函数，则也为奇函数。性质3、若为单调函数，则同有相同的单调性。性质4、和在同一直角坐标系中，图像关于对称。探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，,有反函数是探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：函数反函数定义域AC值 域CA探讨3：的反函数是？若函数有反函数，那么函数的反函数就是，这就是说，函数与互为反函数例1：已知，求 （对数函数形式）解：的值域为R, 令，则 例2：已知求 （指数函数形式）解：令，的值域为，例3：已知，求 （根式形式）解：令 例4：求的反函数 （分式形式）解：由题意知，反解为原函数的反函数为例5、已知，求的反函数 （二次函数形式）解： 所以原函数可化为 即 （）（）所以的反函数例6、求的反函数 （分段函数形式）解：时， 则 （） 则y的反函数为时， 则（）则y的反函数为所以原函数的泛函数注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来利用反函数求值 （性质一的应用）例7、已知的值解一：先求反函数解：令，得 且故的反函数为 解二：根据性质一解： 即例8、已知的图像过点，其反函数的图像过点，求的表达式。解：的图像过点，的图像过点， 又的图像过点，利用图像 （性质四的应用）例9：已知函数的图像关于直线对称，求a 的值解：由题意的图像关于直线对称，则 令 所以 由 得= 解得（五）二次函数根的问题一题多解&指数函数y=ax运算规律：aa*ab=aa+b(a0,a、b属于Q)(aa)b=aab(a0,a、b属于Q)(ab)a=aa*ba(a0,a、b属于Q)指数函数图像对称规律：1、函数y=ax与y=a-x关于y轴对称2、函数y=ax与y=-ax关于x轴对称3、函数y=ax与y=-a-x关于坐标原点对称指数函数问题解决方法：1比较大小例1已知函数满足，且，则与的大小关系是_分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内解：，函数的对称轴是故，又，函数在上递减，在上递增若，则，；若，则，综上可得，即评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例2已知，则x的取值范围是_分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：，函数在上是增函数，解得x的取值范围是评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例3求函数的定义域和值域解：由题意可得，即，故 函数的定义域是令，则，又， ，即，即函数的值域是评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例4函数在区间上有最大值14，则a的值是_分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去），a的值是3或评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例5解方程解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），经检验原方程的解是评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例6为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断解：，把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等&对数函数y=logax如果，且，那么： ； ； u 注意：换底公式（，且；，且；）幂函数y=xa(a属于R)1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴三、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点重点习题：1.下列图象中不能表示函数的图象的是 （ ） y （A） （B） （C） (D)2.函数y=(0.2)-x+1的反函数是( )A.y=log5x+1B.y=klogx5+1C.y=log5(x-1)D.y=log5x-13.曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ). ( 4.当a1时，函数y=logax和y=(1-a)x的图像只可能是( B )5.若函数y=f（x）的定义域是2，4，则y=f（）的定义域是（ ）6.已知函数，其中nN，则f（8）=（ ）7.若函数的定义域和值域都是0，1，则a=（ ）8.如果二次函数f（x）=3x2+bx+1在（-，上是减函数，在，+）上是增函数，则f（x）的最小值为（ ）9.定义在实数R上的函数y= f（x）是偶函数，当x0时，.（）求f（x）在R上的表达式；（）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）.10.已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x = 2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式.11.已知函数 ，（x（- 1，1）.（）判断f（x）的奇偶性，并证明；（）判断f（x）在（- 1，1）上的单调性，并证明12.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少。把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元。现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售. 问：（）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？13.已知函数f(x)在实数集中满足：f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在定义域内是减函数。 （1）求f(1)的值； （2）若f(2a-3)0,试确定a的取值范围。14.已知函数 图像关于直线对称，求a 的值。15.已知的值。16.若 ，且 ，比较a与b17.设 ，求函数 的最大值和最小值18.已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围19.设常数a1b0，则当a,b满足什么关系时，lg(ax-bx)0的解集为xx1.