沪科版初中数学中考第一轮复习43.pptx

4.3特殊三角形第四章第四章考纲解读-2-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考纲解读了解等腰三角形和直角三角形的有关概念,掌握等腰三角形的判定,并会运用等腰三角形的性质解决问题,掌握直角三角形的性质和判定,理解等边三角形的性质和判定,掌握并运用勾股定理及其逆定理.掌握角平分线性质定理及其逆定理,并会利用它解决问题,掌握线段垂直平分线定理及其逆定理,并会利用它解决问题.第四章第四章考纲解读-3-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题命题解读第四章第四章考纲解读-4-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题命题解读第四章第四章考纲解读-5-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描考点1等腰三角形的性质与判定(8年7考)1.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”;(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合,简称“等腰三角形三线合一”;(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线就是它的对称轴.2.等腰三角形的判定(1)按定义:有两条边相等的三角形就是等腰三角形;(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”.等腰三角形“三线合一”是证明两直线互相垂直的重要方法,也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法.第四章第四章考纲解读-6-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描3.等边三角形(1)等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等;等边三角形的三个角都是60.(2)等边三角形的判定按定义:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有两个角是60的三角形是等边三角形;有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.等边三角形的四种判定方法都可以应用,要根据不同的条件进行选择,以使问题简单化.第四章第四章考纲解读-7-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描典例1(2017北京)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D.求证:AD=BC.【解析】由等腰三角形的性质及三角形内角和定理,可求出ABD=A=36,ABC=C=BDC=72.再据等角对等边及等量代换可得证.【答案】AB=AC,A=36,ABC=C=(180-A)=(180-36)=72,又BD平分ABC,ABD=DBC=ABC=72=36,BDC=A+ABD=36+36=72=C,AD=BD,BD=BC,AD=BC.【方法指导】证明两条线段相等,若这两条线段在一个三角形中,根据等腰三角形的判定定理可证这两边所对的两个角相等;若这两条线段分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等.第四章第四章考纲解读-8-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描提分训练1.一个等腰三角形的两边长分别为4和6,则这个等腰三角形的周长为(D )A.10B.14C.16 D.14或16【解析】分两种情况:(1)三边是4,4,6,周长是14;(2)三边是4,6,6,周长是16.综上所述,该等腰三角形的周长为14或16.2.若等腰三角形的一个内角为100,则该等腰三角形的底角为40.【解析】根据三角形的内角和定理,这个100的内角必为顶角,所以另两个内角都为底角,底角的度数为 =40.第四章第四章考纲解读-9-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描考点2直角三角形的性质与判定(8年7考)1.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3)直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的一半,等于斜边的一半的直角边所对的角是30;(4)勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.已知直角三角形中的两边求第三边(没有明确谁是斜边)时,一般要分类讨论:所求边是斜边;已知两边中的较长边是斜边.第四章第四章考纲解读-10-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描2.直角三角形的判定(1)有两个角的和等于90的三角形是直角三角形;(2)勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角).补充:一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角).3.直角三角形面积的求法 第四章第四章考纲解读-11-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描典例2(2017辽宁大连)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()【解析】由于CDAB,CD=DE=a,【答案】B【方法指导】在直角三角形中,已知两边的长,利用勾股定理可求第三边的长;已知三边的比,利用勾股定理构建方程,可求出三边的长.第四章第四章考纲解读-12-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描提分训练3.直角三角形的两直角边为3和4,则斜边上的高为2.4.第四章第四章考纲解读-13-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描知识拓展射影定理在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.在RtABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:BD2=ADCD,AB2=ADAC,BC2=CDAC.第四章第四章考纲解读-14-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描提分训练4.如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,CD=2,BD=1,则AD的长是(D )A.1B.C.2D.4【解析】在RtABC中,ACB=90,CDAB,由射影定理得CD2=ADBD,即AD=4.第四章第四章考纲解读-15-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描考点3角的平分线的性质与判定(8年4考)1.定义在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.2.性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.第四章第四章考纲解读-16-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描典例3(2017浙江台州)如图,点P是AOB平分线OC上一点,PDOB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1B.2C.D.4【解析】过点P作PHOA,垂足为H.点P是AOB平分线OC上一点,PDOB,PHOA,PH=PD=2,点P到边OA的距离是2.【答案】B【方法指导】已知角的平分线及平分线上一点,要解决几何计算与证明问题,一般过角平分线上的一点作到两边的垂线.第四章第四章考纲解读-17-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描提分训练5.如图,点P是AOB平分线上的一点,点C在OA上,点D在OD上,添加下列条件,仍不能得到PC=PD的是(D )A.PCOA,PDOB B.DPO=CPOC.OC=ODD.OC=OP【解析】选项A中,PCOA于C,PDOB于D,根据角的平分线的性质可得PC=PD;选项B中,DPO=CPO,而DOP=COP,OP=OP,可得POCPOD,所以PC=PD;选项C中,OC=OD,根据SAS可得POCPOD,所以PC=PD;选项D的条件不能得到PC=PD.第四章第四章考纲解读-18-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描6.如图,BP,CP分别是ABC的外角CBD,ECB的平分线.小明经过分析后,得出了以下结论:点P在BAC的平分线上;BP=CP;点P到AD,AE,BC的距离相等.把你认为正确的结论的序号写在横线上.【解析】过点P作PMAB于点M,PGAC于点G,PNBC于点N,由角平分线的性质得PM=PN=PG,正确;根据角平分线的判定定理,知点P在BAC的平分线上,正确;不成立.第四章第四章考纲解读-19-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描考点4线段的垂直平分线(8年3考)1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.判定与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接,利用垂直平分线的性质解题.第四章第四章考纲解读-20-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描典例4(2017广东深圳)如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至M,则BCM的度数为()A.40B.50 C.60D.70【解析】由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线,AC=BC,CAB=CBA=25,BCM=CAB+CBA=25+25=50.【答案】B【方法指导】已知线段的垂直平分线,一般找相等的线段,再利用全等三角形或等腰三角形知识求解.第四章第四章考纲解读-21-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题考点扫描【变式拓展】如图,在ABC中,AB的垂直平分线交AC于点E,BE平分ABC,A=40,则C的度数为60.【解析】由线段垂直平分线的性质知AE=BE,所以A=EBA=40,又BE平分ABC,得EBC=EBA=40,所以C=180-40-40-40=60.第四章第四章考纲解读-22-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题综合探究1.与特殊三角形有关的操作题典例1(2017山东枣庄)如图,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心大于 MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积为()A.15B.30C.45 D.60【解析】由题意得AP是BAC的平分线,过点D作DEAB于点E,又C=90,DE=CD,ABD的面积=ABDE=154=30.【答案】B 第四章第四章考纲解读-23-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题综合探究2.与特殊三角形有关的动态问题典例2如图,在RtABC中,ABC=90,点D是AC的中点,作ADB的平分线DE交AB于点E.(1)求证:DEBC.(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一个动点,当BP为何值时,DEP为等腰三角形?请直接写出所有BP的值.第四章第四章考纲解读-24-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题综合探究【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得DEAB,再根据垂直于同一直线的两直线平行即可证明;(2)利用勾股定理列式求出DE的长,根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE,然后分DE=EP,DP=EP,DE=DP三种情况讨论求解.【答案】(1)ABC=90,点D是AC的中点,BD=AD=AC,DE是ADB的平分线,DEAB,又ABC=90,DEBC.第四章第四章考纲解读-25-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题综合探究当DE=DP时,过点D作DFBC于点F,则DF=BE=3.第四章第四章考纲解读-26-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题综合探究3.与特殊三角形有关的探究问题典例3已知ABC与DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)如图1所示,连接AE,DB.试判断线段AE和DB的数量和位置关系,并说明理由;(2)如图2所示,连接DB,将线段DB绕D点顺时针旋转90到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.【解析】(1)证明RtACERtBCD,即可求解;(2)通过证明EBDADF,即可得解.第四章第四章考纲解读-27-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题综合探究【答案】(1)AE=DB,AEDB.理由:延长DB交AE于点M,由题意可知,CA=CB,CE=CD,ACE=BCD=90,RtACERtBCD.AE=DB,AEC=BDC.又AEC+EAC=90,BDC+EAC=90,在AMD中,AMD=180-90=90,AEDB.(2)DE=AF,DEAF.理由:设DE与AF相交于点N,由题意可知,BE=AD.EBD=C+BDC=90+BDC,ADF=BDF+BDC=90+BDC,EBD=ADF,又DB=DF,EBDADF,DE=AF,E=FAD,E=45,EDC=45,FAD=45,AND=90,DEAF.第四章第四章考纲解读-28-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题中考真题命题点1结合勾股定理考查最值(常考)1.(2016安徽第10题)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC,则线段CP长的最小值为(B )第四章第四章考纲解读-29-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题中考真题【解析】ABC=90,ABP+PBC=90,PAB=PBC,PAB+ABP=90,APB=90,点P在以AB为直径的O上,连接OC交O于点P,此时CP最小.在RtBCO中,OBC=90,BC=4,OB=3,OC=5,CP=OC-OP=5-3=2,线段CP长的最小值为2.第四章第四章考纲解读-30-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题中考真题命题点2折叠与勾股定理综合(常考)2.(2014安徽第8题)如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(C )【解析】设BN=x,则AN=DN=9-x,点D是CB的中点,则BD=3,在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,(9-x)2=x2+9,解得x=4,即BN=4.第四章第四章考纲解读-31-命题解读综合探究4 4.3 3特殊三角形特殊三角形考点扫描中考真题中考真题命题点3线段垂直平分线的性质(冷考)3.(2015安徽第23(1)题)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC.(1)求证:AD=BC.解:(1)GE是AB的垂直平分线,GA=GB.同理GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGDBGC,AD=BC.