中考数学专题练习三角形(含解析).doc

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2019中考数学专题练习-三角形（含解析）
一、单选题
1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（   ）

A. 30，2                              B. 60，2                              C. 60，                               D. 60，
2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是（   ）
A. SSS                                     B. SAS                                     C. ASA                                     D. AAS
3.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径在AD两侧作弧，交于M，N两点；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结DE，DF．若BD=6，AF=5，CD=3，则BE的长是（   ）

A. 7                                           B. 8                                           C. 9                                           D. 10
4.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（　　）

A.                                          B. 2                                         C. 3                                         D. 
5.如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，DF处加三根木条，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A. 长方形的四个角都是直角        B. 长方形的对称性        C. 三角形的稳定性        D. 两点之间线段最短
6.如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将(    )

A. 变大                     B. 变小                     C. 不变                     D. 变大变小要看点C向左还是向右移动
7.如图， 、 分别是 、 的中点，则 （    ）

A. 1∶2                                    B. 1∶3                                    C. 1∶4                                    D. 2∶3
8.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（     ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
9.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ÐADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为

A. 9                                         B. 12                                         C. 15                                         D. 18
10.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

A. 4个                                      B. 6个                                      C. 8个                                      D. 10个
二、填空题
11.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________ ．

12.已知实数x，y满足|x﹣8|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________ 
13.已知 是关于x的方程 的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为________．
14.如图，P是正△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是________．

15.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有　________ 
①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=​（b+c﹣a）

16.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为________ cm．
17.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，则DE+DF=________．
18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD与△ABC的面积比为________

三、计算题
19.根据问题进行计算：
（1）计算： × ﹣4× ×（1﹣ ）0；
（2）已知三角形两边长为3，5，要使这个三角形是直角三角形，求出第三边的长．
20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．

21.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．
四、解答题
22.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？
23.如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC⊥EG．
五、综合题
24.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：
（1）画出△ABC并求出它的面积；
（2）求出最长边上高．
25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．

（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】含30度角的直角三角形，特殊角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× =2 ，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD= AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD= AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，
∴S阴影= DF×CF= × = ．
故答案为：C．
【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论。
2.【答案】D
【考点】全等三角形的判定
【解析】【解答】解：在△BDE与△CDF中， ，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
故选D
【分析】根据AAS证明△BDE≌△CDF即可．
3.【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【解析】【解答】解：∵MN是线段AD的垂直平分线，
∴四边形AEDF是菱形．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ = ．
∵BD=6，AE=5，CD=3，
∴ = ，解得BE=10．
【分析】根据作法可知MN是线段AD的垂直平分线，故可得出四边形AEDF是菱形，再由DE∥AC可得出△BDE∽△BCA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
4.【答案】D
【考点】全等图形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BFC和△AEB中，
，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴BF=AE=1，CF=BE=2
∴AB2=AE2+BE2=12+22=5，
∴AB=，
故选D．
【分析】由正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°，得出∠CBF+∠ABE=90°，证出∠BAE=∠CBF，由AAS证明△BFC≌△AEB，得出BF=AE=1，再根据勾股定理求出AB2 ， 即可得出AB．
5.【答案】C
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】原不稳定的六边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：C
【分析】在AC，AD，DF处加三根木条固定六边形木架ABCDEF，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
6.【答案】C
【考点】平行线之间的距离，三角形的面积
【解析】【解答】△ABC面积与AB及两平行线的距离不变【分析】根据平行线间的距离相等可知，当点C的位置变化时，点C到AB的距离不变，而△ABC的面积=AB点C到AB的距离，根据同底等高的两个三角形面积相等可得,△ABC的面积不变。
7.【答案】C
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
∵ 、 分别是 、 的中点
∴DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE
∴ 1∶4
故答案为：C.
【分析】由 D 、 E 分别是 A B 、 A C 的中点可证得△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.
8.【答案】B
【考点】垂线段最短，角平分线的性质
【解析】
【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
【解答】过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q的位置
9.【答案】A
【考点】全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设CD=x ∵∠ADE=60°，
∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∠B=60° ∴∠BAD=∠CDE
∵∠B=∠C ∴△BAD∽△CDE
∴即
解得x=6
所以AB=3+x=3+6=9
即等边三角形的边长为9
故选：A
10.【答案】C
【考点】等腰三角形的判定与性质，正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．
故选：C．
【分析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．
二、填空题
11.【答案】或1　
【考点】勾股定理，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，
∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∵∠APB=∠CP'B=135°，
∴∠PP'C=90°，
设BP=BP'=a，AP=CP'=b，
则PP'=a，
在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2 ， 且PC=3，
∴CP'=，
∵BP的长a为整数，
∴满足上式的a为1或2，
当a=1时，AP=CP'=，
当a=2时，AP=CP'=1，
故答案为：或1．
【分析】根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，设BP=BP'=a、AP=CP'=b，在RT△PP'C中根据勾股定理可得CP'= ， 最后由BP的长a为整数可得AP．
12.【答案】18或21
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣8=0，y2﹣10y+25=0，
解得x=8，y=5，
①8是腰长时，三角形的三边分别为5、8、8，
能组成三角形，周长=5+8+8=21，
②8是底边时，三角形的三边分别为5、5、8，
能组成三角形，周长=5+5+8=18．
所以，等腰三角形的周长是18或21．
故答案为：18或21．
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
13.【答案】14
【考点】一元二次方程的根，三角形三边关系
【解析】【解答】∵2是关于x的方程x2–2mx+3m=0的一个根，∴把x=2代入方程整理得：4–4m+3m=0，∴解得m=4，∴原方程为：x2–8x+12=0，∴方程的两个根分别是2，6，又∵等腰△ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰△ABC的腰长，则2+2=4<6构不成三角形，∴等腰△ABC的腰长为6，底边长为2，∴△ABC的周长为：6+6+2=14，故答案为：14
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入原方程，求出m的值，将m的值代入原方程，求解得出方程的两个根，然后分2是等腰△ABC的腰长，4是等腰三角形底边，与4是等腰△ABC的腰长，2是等腰三角形底边，两种情况根据三角形三边的关系作出判断能否围成三角形，能的再利用三角形周长计算方法算出答案。
14.【答案】60°
【考点】等边三角形的性质，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△PBC绕点B旋转到△P′BA，∴∠ABP′=∠CBP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=60°，
∴∠PBP′=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，再根据△ABC是等边三角形即可求解．
15.【答案】①③
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：延长AE交BC的延长线与点M．
∵CE⊥AE，CE平分∠ACB，
∴△ACM是等腰三角形，
∴AE=EM，AC═CM=b，
同理，AB=BF=c，AD=DF，AE=EM．
∴DE=​FM，
∵CF=c﹣a，
∴FM=b﹣（c﹣a）=a+b﹣c．
∴DE=（a+b﹣c）．
故①③正确．
故答案是：①③．

【分析】延长AE交BC的延长线与点M，则△ACM是等腰三角形，即可证明E是AM的中点，则DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理求解．
16.【答案】4.8
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm， ∴斜边为 =10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为 ×6×8= ×10h，h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
17.【答案】
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接AD， ∵AB=AC=13，BC=10，
∴△ABC底边BC上的高= =12，
∴△ABC的面积= ×BC×12=60，
∴ AB•DE+ AC•DF=60，
∴DE+DF= ，
故答案为： ．

【分析】连接AD，根据三角形的面积公式即可得到 AB•DE+ AC•DF=12，进而求得DE+DF的值．
18.【答案】9：25
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，
∴BC＝ ，
在△CAD和△CBA中，
∵∠C=∠C, ∠ADC =∠BAC =90°，
∴△CAD∽△CBA，
∴△CAD与△CBA相似比为 ，
∴△CAD与△CBA的面积之比=( )2= .
故答案为： .
【分析】首先利用勾股定理可直接求出AD的长，再根据△ABC的面积为定值即可求出AD的长．
三、计算题
19.【答案】（1）解：原式=2 × ﹣4× ×1=2 ﹣ = ；
（2）解：设第三边长为x，下面分两种情况讨论： （i）当x为斜边时，由勾股定理，得x= ；
（ii）当x为直角边时，由勾股定理得x=4，
则第三边的长为 或4．
【考点】零指数幂，二次根式的混合运算，勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）原式利用二次根式的乘法法则，以及零指数幂法则计算即可得到结果；（2）设第三边长为x，分x为斜边与5是斜边两种情况，利用勾股定理求出即可．
20.【答案】解：结论：DF=AE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
∴CF=BE，∵CD=AB，
∴△CDF≌△BAE，
∴DF=AE．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB∥CD，可证得∠C=∠B，再由CE=BF，可得出CF=BE，然后利用SAS证明△CDF≌△BAE，根据全等三角形的性质可证得结论。
21.【答案】解：∵∠A=38°，∠B=70°， ∴∠BAC=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣38°﹣70°=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB= ×72°=36°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°﹣∠A=90°﹣38°=52°，
∴∠DCE=∠ACD﹣∠ACE=52°﹣36°=16°，
∵DP⊥CE，
∴∠CDP=90°﹣∠DCE=90°﹣16°=74°．
【考点】三角形内角和定理
【解析】【分析】利用三角形的内角和列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠ACE，根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，然后求出∠DCE，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
四、解答题
22.【答案】解：如图， 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，则∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 则∠FAB=30°，∠CAF=25°，∠EBA=30°，∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣30°﹣25°=80°．答：从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【解析】【分析】 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，即∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解。
23.【答案】证明：∵四边形BCGH、EFDC为正方形，四边形ABCD为平行四边形， ∴GC∥BH，DC∥AB，∠HBC=∠ECD=90°，
∴∠HBA=∠GCD（两边分别平行的两角相等或互补），
∴∠HBC+∠HBA=∠GCD+∠ECD，即90°+∠HBA=∠GCD+90°，
∴∠GCE=∠ABC，
∴AB=DC=EC，BC=CG，
在△ABC和和△ECG中，
，
∴△ABC≌△ECG（SAS），
∴∠CGE=∠ACB，
∵∠ACB+∠GCA=90°，
∴∠CGE+∠GCA=90°，
∴AC⊥EG．

【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正方形的性质
【解析】【分析】本题中要证AC⊥EG也就是证∠CGE+∠GCA=90°，我们发现∠GBA+∠ACB=90°，因此证明∠CGE=∠ACB就是问题的关键，我们可通过证明三角形ABC和ECG全等来实现．
五、综合题
24.【答案】（1）解：如图
∵AC=2，BD=2
∴S△ABC= AC×BD=2
（2）解：∵最长边AB=2 ，设最长边上的高为h，则S△ABC= AB×h=2， ∴h= ，
即最长边上高为 ．

【考点】二次根式的应用，三角形的面积
【解析】【分析】①根据题意画出图形，已知AC的长为2，观察可得其边上的高BD的长为2，从而不难求得其面积．②根据第（1）问求得的面积，再利用面积公式即可求得其边上的高．
25.【答案】（1）解：直线l与⊙O相切．理由如下：
如图1所示：连接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∴ ．
∴∠BOE=∠COE．
又∵OB=OC，
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与⊙O相切．
（2）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB．
∴BE=EF．
（3）解：由（2）得BE=EF=DE+DF=7．
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴ ，即 ，解得；AE= ，
∴AF=AE﹣EF= ﹣7= ．
【考点】等腰三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）直线l与⊙O相切．理由如下：如图1所示：连接OE、OB、OC．根据角平分线的定义得出∠BAE=∠CAE．根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等得出弧BE=弧CE，根据相等的弧所对的圆心角相等得出∠BOE=∠COE．根据等腰三角形的三线合一得出OE⊥BC．根据平行线的性质由l∥BC，得出OE⊥l．从而得出结论；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABF=∠CBF．根据等弧所对的圆周角相等得出∠CBE=∠CAE=∠BAE，根据等式的性质得出∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．根据三角形的外角定理得出∠EFB=∠BAE+∠ABF，故∠EBF=∠EFB．根据等角对等边得出结论；
（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．然后判断出△BED∽△AEB．根据相似三角形对应边成比例得出DE∶BE=BE∶AE,从而得出AE的长，根据AF=AE﹣EF得出答案。
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