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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第四章 函数,第一节 函数基本概念,第二节 函数合成和合成函数性质,第三节 二元运算,第1页,第一节 函数基本概念,一、函数定义,二、特种函数,第2页,一、函数定义,1、函数,2、函数定义域,3、函数值域,4、陪域,5、函数相等,6、函数图和矩阵表示,7、缩小和扩大,(,略,),第3页,1、函数,函数是满足,任意性,和,唯一性,二元,关系,。,f:XY,对,任意,x,X,都存在,唯一,y,Y,f,y=f(x)，,任意性,唯一性,函数,映射,原像,像点,第4页,函数举例,设,X=x,1,x,2,x,3,x,4,Y=y,1,y,2,y,3,判断以下关系是否是函数？,f,1,=,f,2,=,f,3,=,第5页,解答,f,1,=,不是函数。,x,2,对应两个不一样像点,y,2,和,y,3,不满足唯一性。,第6页,解答,f,2,=,是函数,满足任意性和唯一性。,第7页,解答,f,3,=,不是函数。,原像,x,2,没有像点,不满足任意性,。,第8页,2、函数定义域,函数,f:XY,定义域,D,f,第9页,3、函数值域,函数,f:XY,f(X),是,f,值域,由像点组成集合,R,f,f(X),Y,第10页,4、陪域,函数,f:XY,陪域,第11页,定义域、值域及陪域举例,f:XY,X=x,1,x,2,x,3,x,4,Y=y,1,y,2,y,3,y,4,y,5,y,6,第12页,函数举例,判断以下关系中哪个能组成函数？,(1),f,1,=|x,1,x,2,N,x,1,+x,2,10,(2)f,2,=|x,1,x,2,R,x,2,2,=x,1,(3)f,3,=|x,1,N,x,2,为非负整数,x,2,为小于等于,x,1,素数个数,第13页,解答,(1),f,1,=|x,1,x,2,N,x,1,+x,2,10,不能组成函数。,(1)不满足任意性:,D,f,=1,2,3,4,5,6,7,8,N,(2),不满足唯一性：,f,1,(1)=1,f,1,(1)=2,f,1,(1)=8,第14页,解答,(2)f,2,=|x,1,x,2,R,x,2,2,=x,1,不能组成函数。,(1)不满足任意性:,D,f,=R,+,R,(2),不满足唯一性：,一个,x,1,对应两个不一样,x,2,比如：,2,2,=,4,(,-2,),2,=,4,第15页,解答,(3)f,3,=|x,1,N,x,2,为非负整数,x,2,为小于等于,x,1,素数个数,能组成函数。,满足任意性和唯一性：对于,任意,一个自然数,x,1,，小于,x,1,素数个数是,唯一,。,比如:,f,3,(,1)=0:,小于,1,素数不存在；,f,3,(2)=1:,小于,2,素数有1个：1,f,3,(3)=2:,小于,3,素数有2个：1,2,f,3,(4)=3:,小于,3,素数有3个：1,2,3,第16页,5、函数相等,函数,f,和函数,g,相等,函数,f:AB，g:C D,A=C,B=D,对全部,xA,和,xC,都有,f(x)=g(x),f=g,第17页,函数相等举例,设,f:A,B,g:C,D,h:E,F,A=C=E=1,2,3,B=D=a,b,c,F=a,b,c,d,f(1)=a,f(2)=a,f(3)=c,h(1)=a,h(2)=a,h(3)=c,g(1)=a,g(2)=a,g(3)=c,f=g,fh,BF,gh,DF,第18页,6、函数图和矩阵表示,图,G,f,：,f(x)=y,f,从,x,有一条到,y,有向弧,矩阵,M,f,：,每一行有且仅有一个元素为“1”。,化简,M,f,：,二列矩阵,第一列：,D,f,第二列：,R,f,第19页,函数图和矩阵表示举例,X=a,b,c,d,e Y=,f=,求：,D,f,、,R,f,、,G,f,、,M,f,、简化,M,f,D,f,=X=a,b,c,d,e,R,f,=,Y,第20页,解答,X=a,b,c,d,e Y=,f=,第21页,举例,X=a,b,c Y=0,1,问：存在多少个从,X,到,Y,二元关系,？,存在多少个从,X,到,Y,函数,？,第22页,解答,X,Y=,|X,Y|=6,关系是笛卡尔乘积子集,|(X,Y)|=2,6,结论：存在,2,6,个从,X,到,Y,二元关系,第23页,解答,函数是满足任意性和唯一性二元关系,结论：存在|,Y|,|X|,=2,3,个从,X,到,Y,函数。,第24页,结论,则,:,|B,A,|=|B|,|A|,B,A,:,从,A,到,B,全部可能函数集合,B,A,=f|f:AB,第25页,7、缩小和扩大,(,略,),f:X,Y A,X,(1)g:A,Y,g=f,(A,Y),称,g,是函数,f,缩小，并记作,f/A,(2),若,g,是,f,缩小，则,f,是,g,扩大。,由定义可知：,D,g,D,f,g,f,缩小即原有对应关系不变，但定义域缩小。,第26页,缩小和扩大举例,设,A=-1，0，1 f:A,2,B,(1),写出,f,全部序偶；,(2)求,R,f,;,(3)写出,f/0,1,2,中全部序偶。,第27页,f,全部序偶和,R,f,(1)A,2,=A,A=-1,0,1,-1,0,1,=,f()=0,f()=-1,f()=-2,f()=1,f()=0,f()=-1,f()=2,f()=1,f()=0,f=,0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0,(2)R,f,=-2,-1,0,1,2,第28页,0,1,2,R,f,中全部序偶,f/0,1,2,=f,(0,1,2,R,f,),0,1,2,=0,1,0,1=,R,f,=-2,-1,0,1,2,0,1,2,R,f,=,-2,-1,0,1,2,-2,0,1,2,-2,-1,0,2,-2,-1,1,2,第29页,f/0,1,2,中全部序偶,f/0,1,2,=f,(0,1,2,R,f,),=,0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,=,0,-1,1,0,第30页,缩小举例,X=a,1,a,2,a,3,x,4,x,5,Y=y,1,y,2,y,3,y,4,y,5,A=a,1,a,2,a,3,f=,求：,f/A,第31页,解答,f/A=,第32页,二、特种关系,1、满射函数,2、内射函数,3、单射函数,4、双射函数,5、恒等函数,第33页,1、满射函数,函数,f:XY,若,f(X)=R,f,=Y,值域陪域,f,是滿射函数,映满映射,f,是滿射函数,对任意,y,Y，,在,X,中必有原像,x,与之对应,f(x)=y,像点集合,第34页,满射举例,A=a,b,c,d,B=1,2,3,f:A,B,f(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2,R,f,=1,2,3=B,f,是满射函数。,第35页,2、内射函数,函数,f:XY,若,R,f,Y,f,是内射函数,映入映射,第36页,3、单射函数,函数,f:XY,对任意,x,1,，x,2,X,x,1,x,2,f(x,1,)f(x,2,),假如原像不一样,则像点不一样,或,f(x,1,)=f(x,2,),X,1,=x,2,假如像点相同,则原像相同,则,f,是单射函数,一对一映射,第37页,内射、单射举例,A=a,b B=2,4,6,f:A,B,f(a)=2,f(b)=4,R,f,=2,4,B,f,是内射函数,且,f,也是单射函数。,第38页,4、双射函数,函数,f:XY,f,是满射,f,是单射,f,是,双射函数,一对一映满映射,第39页,5、恒等函数,函数,I,x,:,XX,对于全部,xX:,I,x,=|xX,恒等函数,双射函数,第40页,特种函数举例,(1),f,1,(x)=x,2,(2)f,2,(x)=2,x,(3)f,3,(x)=x,3,(4)f,4,(x)=x,3,-x,2,-5x+6,问以上4个函数各是什么函数？,第41页,解答,(1),f,1,(x)=x,2,f,1,不是满射函数；,f,1,(x)=f,1,(x)=x,2,f,1,不是单射函数,；,R,f1,为正实数集合，不是实数集合,第42页,解答,(2)f,2,(x)=2,x,不是满射函数。,是单射函数,第43页,解答,(3)f,3,(x)=x,3,是单射函数,是满射函数,是双射函数,第44页,解答,(4)f,4,(x)=x,3,-x,2,-5x+6,=(,x-1)(x+2)(x-3),是满射函数,不是单射函数,第45页,第二节函数合成和合成函数性质,一、合成函数定义,二、反函数,第46页,一、合成函数定义,函数,f:XY,函数,g:YZ,g,f=,|,xX,zZ,(,y),(yY,y=f(x),z=g(y),f,和,g,合成函数,复合函数,函数,f,和,g,合成书写格式,:,关系,R,和,S,合成书写格式,:,R,S,g,f,从左到右,从右到左,f,g,第47页,定理,函数,f:XY,函数,g:YZ,g,f:XZ,是函数,(,g,f)(x)=g(f(x),x,X,第48页,证实,显然,g,f,是从,X,到,Z,关系,(1)任意性：,f,是函数,:,对任意,x,X,存在,y,Y，,使得f,g,是函数,:,对任意,y,Y,存在,z,Z，,使得g,f,g,g,f,由复合关系定义：,对于每一个,x,X，,都存在,Z,中某个像点,z,与之对应,D,g,f,X,第49页,证实（续）,(2)唯一性：,g,f,g,f,假设,且,z,1,z,2,g,f,存在,y,1,Y,f,g,g,f,存在,y,2,Y,f,g,y,1,y,2,y,z,1,z,2,z,第50页,合成函数举例,设,X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b,f=,g=,求,g,f。,g,f=,第51页,定理,函数合成运算是,可结合,，即：,h,(g,f)=(h,g),f,f:XY,g:YZ,h:Z W,第52页,证实,设：,f，,g，,h,f,g,g,f,h,h,(g,f),g,h,h,g,f,(,h,g),f,是任意,h,(g,f)=(h,g),f,第53页,合成函数满足结合律图解表示,f,g,h,g,f,h,g,h,(g,f),(,h,g),f,第54页,合成函数举例,设,R,为实数集合,对,x,R,有：,f(x)=x+2,g(x)=2x,h(x)=3x;,求,g,f，h,(g,f)，f,f，g,g，f,g，(h,g),f,第55页,解答,合成函数不满足交换律,g,f(x),=g(f(x),=g(x+2),=2(x+2),h,(g,f)(x),=h(g,f(x),=h(2(x+2),=6(x+2),f,f(x),=f(f(x),=f(x+2),=(x+2)+2,=x+4,g,g(x),=g(g(x),=g(2x),=4x,f,g(x),=f(g(x),=f(2x),=2x+2,=2(x+1),(h,g),f(x),=(h,g)(f(x),=(h,g)(x+2),=6(x+2),h,g(x),=h(g(x),=h(2x),=,6x,合成函数满足结合律,第56页,函数合成运算结合律推广,f,1,:X,1,X,2,f,2,:X,2,X,3,f,n,:X,n,X,n+1,f,n,f,n-1,f,2,f,1,:X,1,X,n+1,若：,f,1,=f,2,=f,n,X,1,=X,2,=X,n+1,，,则：,f,n,=f,f,f,f :X,X,第57页,等幂函数,函数,f:X,X,f,2,=f,f,f,等幂函数,第58页,定理,设函数,f:X,Y,g:Y,Z,g,f,是一个复合函数，则：,(1)若,g,和,f,是满射,则,g,f,是满射.,(2)若,g,和,f,是单射,则,g,f,是单射.,(3)若,g,和,f,是双射,则,g,f,是双射.,第59页,证实（1）,对于任意,z,Z,存在,xX,使得：g,f,对于任意,z,Z,g,是满射,存在一个,yY，,使得,g(y)=z,f,是满射,对于,yY，,必有,xX，,使得,f(x)=y,z,=g(y),=g(f(x),=g,f(x),g,f,g,f,是满射函数,第60页,证实（2）,x,1,x,2,g,f(x,1,)g,f(x,2,),x,1,x,2,f,是单射,f(x,1,)f(x,2,),y,1,y,2,g,是单射,g(y,1,)g(y,2,),g(f(x,1,)g(f(x,2,),g,f(x,1,)g,f(x,2,),g,f,是单射,第61页,定理,设函数,f:X,Y,g:Y,Z,g,f,是一个复合函数，则：,(1)若,g,f,是满射,则,g,是满射,.,(2)若,g,f,是单射,则,f,是单射,.,(3)若,g,f,是双射,则,g,是满射，,f,是单射.,第62页,证实（2）,x,1,x,2,f(x,1,)f(x,2,),x,1,x,2,g,f,是单射,g,f(x,1,)g,f(x,2,),g(f(x,1,)g(f(x,2,),g(y,1,)g(y,2,),函数唯一性,y,1,y,2,f(x,1,)f(x,2,),f,是单射,第63页,定理,设函数,f:X,Y,I,X,是,X,上恒等函数，,I,Y,是,Y,上恒等函数，则,f=f,I,X,=I,Y,f,第64页,证实,设:,x,X y,Y,I,X,(,x)=,x,I,Y,(y)=,y,f,I,X,(,x)=,f(I,X,(,x)=,f,(x),f,I,X,=f,I,Y,f,(x)=,I,Y,(,f(x)=,f,(x),I,Y,f=f,第65页,定理,函数,f:X,Y,f,-1,:,f,逆关系，则：,f,-1,是从,Y,到,X,函数,f,是双射函数,第66页,举例:,f,不是满射函数,设函数,f:X,Y,X=a,b,c Y=1,2,3,4,f=,f,逆关系,f,-1,=,，,不满足函数任意性,不是函数,第67页,举例:,f,不是单射函数,设函数,f:X,Y,X=a,b,c Y=1,2,f=,f,逆关系,f-1=,，,不满足唯一性,不是函数,第68页,2、反函数,设,f:X,Y,是,双射函数,，则,:,f,逆关系称,f,反函数,注意：,只有双射函数才有反函数。,f,-1,第69页,证实,(1),f:X,Y,则,f,-1,:,Y,X,假设,f,不是满射函数，则,:,与函数任意性相矛盾,R,f,Y,R,f,=D,f-1,D,f-1,Y,第70页,证实,(2)假设,f,不是单射函数，则：,x,1,x,2,f(x,1,)f(x,2,),y,f(x,1,)y,f(x,2,)y,f,-1,(y)x,1,f,-1,(y)x,2,原像,像点,像点,与函数唯一性相矛盾,第71页,定理,设,f:X,Y,是一双射函数,则,:,f,反函数,f,-1,:,Y,X,也是一个双射函数。,第72页,证实,(1),f,-1,是从,Y,到,X,函数；,(2),f,-1,是满射函数；,(3),f,-1,是单射函数；,第73页,证实：,f,-1,是从,Y,到,X,函数,f,是双射函数,f,是满射函数,对任意,y,Y,必存在,x,X,f,f,-1,D,f-1,Y,f,-1,是满足任意性,f,是双射函数,f,是单射函数,对任意,y,Y,恰有一个,x,X,f,仅有一个,x,X,f,-1,f,-1,是满足唯一性,第74页,证实：,f,-1,是满射函数,R,f-1,=,f,-1,是满射函数,D,f,=,X,第75页,证实：,f,-1,是单射函数,假设,f,-1,不是单射函数，即：,y,1,y,2,不过有,f,-1,(y,1,)f,-1,(y,2,),f,是函数,f,-1,(y,1,)x,1,f,-1,(y,2,)x,2,x,1,x,2,f(x,1,)f(x,2,),y,1,y,2,与假设相矛盾,f,-1,是单射函数,第76页,定理,若,f:X,Y,是双射函数,则(,f,-1,),-1,=f。,证实：对任意,(,f,-1,),-1,f,-1,f,(,f,-1,),-1,=f,第77页,定理,函数,f:XY,反函数,f,-1,:YX,f,-1,f=I,X,f,f,-1,=I,Y,证实：,设,f(x)=y,f,-1,(,y)=x,f,-1,f(x)=,f,-1,(f(x)=,f,-1,(y)=,x,f,-1,f=I,X,f,f,-1,(,y)=,f(f,-1,(,y)=,f(x)=,y,f,f,-1,=I,Y,第78页,举例,f:X,Y,X=0,1,2 Y=a,b,c,f=,求：,f,-1,f,，f,f,-1,第79页,解答,f,-,1,=,(f,-1,f)(,0,)=,f,-1,(f(0),=,f,-1,(c)=,0,(f,-1,f)(,1,)=,f,-1,(f(1),=,f,-1,(a)=,1,(f,-1,f)(,2,)=,f,-1,(f(2),=,f,-1,(b)=,2,f,-1,f=,=I,X,第80页,解答,(f,f,-1,)(,a,)=,f,(f,-1,(a),=,f(1)=,a,(f,f,-1,)(,b,)=,f,(f,-1,(b),=,f(2)=,b,(f,f,-1,)(,c,)=,f,(f,-1,(c),=,f(0)=,c,f,f,-1,=,=I,Y,f,-1,=,第81页,定理,f:X,Y,g:Y,Z,(,g,f),-1,=,双射函数,g,-1,f,-1,第82页,证实,f:XY,g:YZ,g,f:X Z,(,g,f),-1,:ZX,对任意,(,g,f),-1,g,f,(y)(yYfg),(y)(yYf,-1,g,-1,),(y)(yYg,-1,f,-1,),f,-1,g,-1,第83页,举例,X=1,2,3,F,X,:,从,X,到,X,上全部,双射函数,组成集合,求：,F,X,全部函数及其反函数。,第84页,解答,f,1,=,=I,X,f,2,=,f,3,=,f,4,=,f,5,=,f,6,=,F,X,=f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,f,1,-1,=,=f,1,f,2,-1,=,=f,2,f,3,-1,=,=f,3,f,4,-1,=,=f,4,f,5,-1,=,=f,6,f,6,-1,=,=f,5,第85页,解答(续),f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,f,1,f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,f,2,f,2,f,1,f,6,f,5,f,4,f,3,f,3,f,3,f,5,f,1,f,6,f,2,f,4,f,4,f,4,f,6,f,5,f,1,f,3,f,2,f,5,f,5,f,3,f,4,f,2,f,6,f,1,f,6,f,6,f,4,f,2,f,3,f,1,f,5,若|,X|n,则,X,上双射函数个数为,n!,f,3,f,2,=,=f,5,第86页,举例,|,X|=m,|Y|=n,问：存在满射函数、单射函数、双射函数,必要条件是什么？,mn,mn,m=n,第87页,第三节 二元运算,一、基本概念,二、二元运算性质,三、二元运算中特异元素,第88页,一、基本概念,1、二元运算,2、,n,元运算,3、二元运算封闭性,第89页,1、二元运算,X:,集合,f:X,2,X,映射,f,为,X,中,二元运算,解释：,一个运算符联络着两个运算分量,f()=z,运算符,运算分量,运算分量,运算结果,xfy=z,x,y,zX,zX,封闭性,第90页,2、,n,元运算,X:,集合,f:X,n,X,映射,f,为,X,中,n,元运算,运算阶,f,=x,x,1,x,2,x,n,x,X,第91页,3、二元运算封闭性,注意：,任意一个二元运算必须满足封闭性,A:,集合,f:A,2,B,映射,B,A,二元运算是封闭,第92页,二元运算举例,设,A=x|x=2,n,n,N,问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？,乘法运算：,对于任意,2,r,、,2,s,A,2,r,2,s,=,2,r+s,A,乘法运算在,A,上封闭；,加法运算：,2,1,+,2,2,=6,A,加,法运算在,A,上不封闭；,第93页,举例,判断乘法运算是否在以下各,N,子集上封闭？,(1),A,1,=0,1,(2),A,2,=1,2,(3),A,3,=x|x,为素数,(4),A,4,=x|x,为偶数,(5),A,5,=x|x,为奇数,2,2=4,A,2,2,3=6,A,3,第94页,定理,*,:X,中二元运算,S,1,X,S,2,X,*在,S,1,和,S,2,上是封闭,*在,S,1,S,2,上也封闭,第95页,证实,对任意两个元素,x,y,S,1,S,2,x,y,S,1,x,y,S,2,*在,S,1,和,S,2,上封闭,x*y,S,1,x*y,S,2,x*y,S,1,S,2,*在,S,1,S,2,上也封闭,第96页,二、二元运算性质,1、封闭性（通性）,2、,交换性,3、可结合性,4、可分配性,5、吸收律,第97页,1、封闭性（通性）,*,:X,中二元运算,对于任意,x,yX,x,*,yX,在集合,X,上满足封闭性,第98页,2、,交换性,*,:X,中二元运算,对于任意,x,yX,x,*,y=y,*,x,*运算是可交换,第99页,3、可结合性,*,:X,中二元运算,对于任意,x,y,zX,x*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z,*运算是可结合,第100页,二元运算性质举例,设,Q,是有理数集合，,Q,上二元运算定义为：,a*b=a+b-ab,a,bQ,问*是否可交换？可结合？,第101页,解答,(1)交换性：,b*a,=b+a-ba,=,a+b-ab,=a*b,*,运算,满足交换律,第102页,(2)结合性：,a*(b*c),=a*(b+c-bc),=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc),=a+b+c-ab-ac-bc+abc,(a*b)*c,=(a+b-ab)*c,=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c,=a+b+c-ab-ac-bc+abc,=a*(b*c),*,运算,满足结合律,解答,第103页,二元运算性质举例,A,是非空集合，*是,A,上二元运算，并定义为：,a*b=b,证实*是可结合。,a*(b*c),*是可结合,(a*b)*c,=,c,=a*c,=b*c,=,c,第104页,4、可分配性,*,:X,中二元运算,对于任意,x,y,zX,x*(yz)=(x*y)(x*z),(yz)*x=(y*x)(z*x),*对可分配,第105页,5、吸收律,*,:X,中,可交换,二元运算,对于任意,x,yX,x*(x y)=,x(x*y)=,x,x,*和满足吸收律,第106页,二元运算性质举例,在,N,上定义两个二元运算*和，对任意,x,yN，,有：,x*y=max(x,y),xy=min(x,y),验证：*和满足吸收律。,第107页,解答,x*(xy)=,x*(min(x,y),=max(x,min(x,y)=,xy,x=y,xy,x=y,xy,min(x,x)=,x,min(x,x)=,x,min(x,y)=,x,*和满足吸收律,第108页,三、二元运算中特异元素,1、幺元,e（,左幺元,e,l,、,右幺元,e,r,）,2、零元,（,左零元,l,、,右零元,r,）,3、逆元（左逆元,x,l,、,右逆元,x,r,）,4、等幂元,5、可约（可消去）,6、由运算表求特异元素,第109页,1、幺元,e（,左幺元,e,l,、,右幺元,e,r,）,*,:X,中二元运算,(,x)(),xX,(,e,l,)(),e,l,X,e,l,*x=,x,左幺元,(,x)(),xX,(,e,r,)(),e,r,X,x*e,r,=,x,右幺元,第110页,定理,*,:X,中二元运算,假如,X,对运算*同时存在,e,l,和,e,r,e,l,=e,r,=,e,(,x)(),xX,(,e)(),eX,x*e=,x,e*x=,幺元,单位元素,e,若存在则必唯一,第111页,证实,(1),e,l,=e,r,=e,x*e=e*x=x,e,l,*,e,r,e,l,是*左幺元,=,e,r,e,r,是*右幺元,=,e,l,=,e,x*e=,e*x=,x,x,第112页,e,是*唯一幺元,(2)幺元是唯一,证实,(,续,),假设,e,是*另一个幺元,e e,e*e=,e,e*e=,e,e,是幺元,e,是幺元,e=e,第113页,幺元举例,问实数集合,R,上,加法运算,和,乘法运算,幺元各是什么？,实数集合,R,上,加法运算,：,幺元是,0,实数集合,R,上,乘法运算,：,幺元是,1,第114页,2、零元,（,左零元,l,、,右零元,r,）,*,:X,中二元运算,(,x)(),xX,(,l,)(),l,X,l,*x=,l,左零元,(,x)(),xX,(,r,)(),r,X,x*,r,=,r,右零元,第115页,定理,*,:X,中二元运算,假如,X,对运算*同时存在,l,和,r,l,=,r,=,(,x)(),xX,(,)(),X,x*=,*x=,零元,若存在则必唯一,第116页,零元举例,问实数集合,R,上,加法运算,和,乘法运算,零元各是什么？,实数集合,R,上,加法运算,：,实数集合,R,上,乘法运算,：,无零元,零元是,0,第117页,3、逆元（左逆元,x,l,、,右逆元,x,r,）,*,:X,中二元运算,*运算存在幺元,e,xX,(,x,l,)(),x,l,X,e,x,l,*x=,x,左逆元,左可逆,(,x,r,)(),x,r,X,e,x*x,r,=,x,右逆元,右可逆,x,是左可逆,x,是右可逆,x,是可逆,第118页,定理,*,:X,中二元运算,*运算存在幺元,e,*运算可结合,元素,xX,是可逆,x,l,=x,r,=,x,-1,x,逆元,x,-1,若存在则必唯一,第119页,证实,(1)左逆元等于右逆元,x,l,*x*x,r,*是可结合,=(x,l,*x)*x,r,x,l,*x=e,=e*x,r,=x,r,x,l,*x*x,r,*是可结合,=x,l,*(x*x,r,),x*x,r,=e,=x,l,*e,=x,l,x,l,=x,r,第120页,证实,(2)x,l,=x,r,=x,-1,唯一,幺元,e,逆元是其本身，零元不可逆,假设,x,1,-1,和,x,2,-1,是,x,两个逆元,x,1,-1,x,2,-1,x,1,-1,=x,1,-1,*,e,x,2,-1,是,x,逆元,=x,1,-1,*(,x*x,2,-1,),*是可结合,=(,x,1,-1,*x,)*x,2,-1,x,1,-1,是,x,逆元,=,e,*x,2,-1,=x,2,-1,第121页,举例,(1)实数集合,R,上加法运算：求每个实数逆元,(2)实数集合,R,上乘法运算：求每个实数逆元,第122页,解答,实数集合,R,上加法运算,无零元,e=0,x+(-x)=,0,=e,x,-1,=,-,x,实数集合,R,上乘运算,e=1,0,x,1/x=,1,=e,x,-1,=,1/,x,x0,第123页,4、等幂元,x*x,幺元和零元都是等幂元,*,:X,中二元运算,xX,=x,等幂元,第124页,5、可约,*,:X,中二元运算,aX,对每一个,x,y X,(,a*x=a*y),x=y,或者,(x*a=y*a),x=y,可约,可消去,第125页,定理,*,:X,中二元运算,*运算可结合,aX,a,是可逆,a,是可约,第126页,证实,a*x=a*y,x=y,a,是可逆,a,逆元为,a,-1,a,-1,*(a*x),*是可结合,=(a,-1,*a)*x,=e*x,=,x,a,-1,*(a*x),a*x=a*y,=a,-1,*(a*y),*是可结合,=(a,-1,*a)*y,=e*y,=,y,x=y,a,是可约,第127页,6、由运算表求特异元素,左幺元,:,右幺元,:,某一个元素使得某一行不改变；,某一个元素使得某一列不改变；,左零元:,右零元:,某一个元素使得某一行均为该元素；,某一个元素使得某一列均为该元素；,逆元:,幺元,所对应元素互为逆元；,等幂元:,只考虑主对角线上元素,第128页,举例,已知二元运算*、,、,运算表，求各运算特异元素。,第129页,解答,(1)第2、4行没改变,和,均为左幺元；,无右幺元；,(2)无左、右零元；,(3)无逆元；,(4),、,均为等幂元。,第130页,解答,(1)第1行没改变，所以,为左幺元；,第1列没改变，所以,为右幺元；,为幺元,(2)无左、右零元；,(3),-1,;,-1,;,-1,;,(4),为等幂元。,第131页,解答,(1)第1行没改变，所以,为左幺元；,第1列没改变，所以,为右幺元；,为幺元,(2)无左、右零元；,(3),-1,;,-1,;,-1,;,-1,;,-1,=;,(4),、,为等幂元。,第132页,举例,I:,整数集合,g:II,I，,且：,g=x*y=x+y-xy,求出幺元，并指出每个元素逆元。,第133页,解答,(1)求幺元,e,：,对任意,x I,x*y=x+y-xy,x*e,=x+e-xe,幺元定义,=x,e=0,第134页,解答,(2)求,x,逆元,x,-1,：,x*x,-1,x*y=x+y-xy,=x+x,-1,-x x,-1,=0,x,-1,=x/(x-1),I,x=0,时：,x=2,时：,x,-1,=0,I,x,-1,=2,I,第135页,举例,设*是自然数集合,N,中二元运算，而且：,x*y=x,证实：*不可交换，但可结合；,并问哪些元素是等幂，,是否有左、右幺元？,第136页,解答,(1)不可交换,：,x*y=x,y*x=y,(2),可结合,：,(,x*y)*z=x*z=x,x*(y*z)=x*y=x,第137页,解答,(3),等幂元：,x*x=,x*y=x,x,任何元素,xN,均为等幂元,(4)右幺元：,x*y=x,右幺元,任何元素,yN,均为,x,右幺元,(,5),左幺元：,e,l,*x=,左幺元定义,x,e,l,*x=,x*y=x,e,l,无左幺元,第138页,
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