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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第三部分 代数结构,第1页,第五章 代数系统,代数结构又称为代数系统，简称代数，是抽象代数主要研究对象。,代数系统种类很多，它们在计算机科学自动机理论、编码理论、形式语言、时序线路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错码纠错能力判断、密码学、计算机理论科学等方面有着非常广泛应用,。,第2页,本部分主要内容,二元运算及其性质。,二元运算,中特殊元素,幺元，零元，,逆元。,代数系统定义及其性质。,第3页,定义5.1 设 为集合，函数 称为 上二元运算，简称为二元运算。,5.1节,二元运算及其性质,在整数集合 上，对任意两个整数所进,行普通加法和乘法，都是集合上二,元运算。,第4页,怎样判断一个运算是否为集合 上,二元运算,唯一性,集合S中任意两个元素都能进行这种运,算，而且结果要是唯一。,封闭性,集合S中任意两个元素运算结果都是,属于S，就是说S对该运算是封闭,第5页,例5.1,设Ax|x ，nN，问在集合A上通常乘法运算是否封闭，对加法运算呢?,解：对于任意,所以乘法运算是封闭。,而对于加法运算是不封闭,因为最少有,第6页,定义5.2 设*是定义在集合A上二元运算，假如对于任意x,yA，都有x*yy*x，则称该二元运算*是可交换。,例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上二元运算，对任意a，bQ，a*ba+b-ab，问运算*是否可交换。,解：因为,a*ba+b-abb+a-bab*a，,所以运算*是可交换。,第7页,定义5.1 设 为集合，函数 称为 上二元运算，简称为二元运算。,5.1节,二元运算及其性质,在整数集合 上，对任意两个整数所进,行普通加法和乘法，都是集合上二,元运算。,第8页,定义5.2 设*是定义在集合A上二元运算，假如对于任意x,yA，都有x*yy*x，则称该二元运算*是可交换。,例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上二元运算，对任意a，bQ，a*ba+b-ab，问运算*是否可交换。,解：因为,a*ba+b-abb+a-bab*a，,所以运算*是可交换。,第9页,定义5.3 设*是定义在集合A上二元运算，假如对于任意x，y，zA，都有(x*y)*zx*(y*z)，则称该二元运算*是可结合，或者说运算*在A上适合结合律。,例5.3 设A=Z,“+”是整数中加法：则,“+”在Z中适合结合律。,“,。”是整数中减法：则特取,而,运算“,。,”不满足结合律,第10页,定义5.4 设*是定义在集合A上一个二元运算，假如对于任意xA，都有x*xx，则称运算*是等幂。,例5.4 设P(S)是集合S幂集，在P(S)上定义两个二元运算，集合“并”运算和集合“交”运算，验证，是等幂。,解：对于任意AP(S)，,有AAA和AAA，,所以运算和都满足等幂律。,第11页,定义5.5,设,。,和*是S上两个二元运算，假如对任意 有,例5.5,在实数集R上，,对于普通乘法和加法有,即乘法对加法是可分配。,第12页,定义5.6 设,。,和*,是定义在集合A上两个可交换二元运算，假如对于任意x，yA，都有,则称,。运算,和*,满足吸收律,例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和，对于任意,x，yN，有x*ymax(x，y)，,xymin(x，y)，,验证运算*和满足吸收律。,第13页,解：对于任意a，bN,a*(ab)max(a，min(a，b)a,a(a*b)min(a，max(a，b)a,所以，*和满足吸收律。,第14页,定义5.7,设*是S上二元运算，,5.2节,二元运算中特殊元素,1.幺元,第15页,在自然数集N上加法幺元是0，乘法幺元是1.,对于给定集合和运算有存在幺 元，有不存在幺元。,第16页,第17页,定理5.1 设*是S,上二元运算，,假如S中存在关于运算,*,）幺元，,则必是唯一。,所以幺元是唯一。,第18页,定理5.2 设*是S,上二元运算，,假如,S,中既存在关于运算,*左幺元,，,又,存在关于运算,右幺元,则S中必存在关于运算,*,幺元e而且,第19页,定义5.8,设*,是,S上二元运算，,2.零元,第20页,在自然数,集N上普通乘法零元是0，而加法没有零元。,第21页,定理5.3 设*是S,上二元运算，假如,S,中存在（关于运算,*）零元，则必是唯一。,所以零元是唯一。,第22页,定理5.4 设*是S,上二元运算，假如,S,中既存在关于运算,*,左零元 又存在关于运算,*,右零元,第23页,定义5.9,设*,是,S上二元运算，,2.逆元,第24页,例5.8 整数集Z上关于加法幺元是0，对任意整数m，它关于加法逆元是-m,因为,第25页,定理5.5 设*是S,上可结合二元运算，e为,幺元,假如S,中元素x存在,（,关于运算,*,）逆元，,则必是惟一。,所以对于可结合二元运算，逆元是惟一。,第26页,定理5.6 设*是S,上可结合二元运算，e为,幺元,假如S,中元素x既存在关于运算,*,左逆元 ，又存在关于运算,*,右逆元 ，则,S,中必存在x关于运算,*,逆元而且,第27页,解：,*运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律。单位元是a，没有零元，且,运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，,运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元素。,第28页,定义5.10 设,S,是非空集合，由,S和S上若干个运算 组成系统称为代数系统，记作,5.3节 代数系统,代数系统也简称为代数。,比如，R是实数集，对于普通加法和剩法运算，,M是n阶方阵组成集合，对于矩阵加法和剩法运算，,第29页,定义5.11,设,都是封闭，且B和S含有相同代数常数，,则称,第30页,定义5.12 设,第31页,例5.11,设,第32页,定义5.13 设,定义5.14 设,第33页,第34页,例5.14,表示求两个数最小公倍数运算。则,解：,零元是不存在，,只有惟一逆元。,第35页,例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*,解,：,第36页,第37页,例5.16 设有集合,解,：,讨论这5个集合对普通乘法和加法运算是否封闭。,第38页,例5.17 设,解,：,第39页,第六章 几个经典代数系统,本章讨论几类主要代数结构：,半群、群、环、域、格与布尔代数,第40页,定义6.1,设,6.1节,半群与群,是可结合即：,第41页,定义6.2,若半群,例6.1（1）普通加法是,（2）普通乘法是N,Z,Q和R上二元运算，满足 结合律且有幺元1,第42页,第43页,定义6.3 设,例6.2,定义6.3 设,第44页,定义6.4 设,定义6.5 设,第45页,例6.3 设,证实G关于矩阵乘法组成一个群,故G关于矩阵乘法是Z上代数运算，矩阵乘法满足结合律，故G关于矩阵乘法组成半群,，,在G中每个矩阵逆元都是自己，,所以 G关于矩阵乘法组成一个群。,第46页,定义6.6 若群,例6.4,（1）在 中除0之外都没有逆元，所以它仅是含幺半群而不是群。,中每个元素都有逆元即它相反数，且运算满足交换律，所以它们是交换群。,0没有逆元，所以它们仅是有么半群而不是群。,第47页,第48页,例6.5设G=e,a,b,c,。为G上二元运算，它由以下运算表给出。不难证实G是一个群，称该群为Klein四元群。,第49页,定义6.7 设,第50页,例6.6,在群,解：,第51页,定理6.1,设,证实：略。,第52页,定义6.8 设,第53页,定义6.9,第54页,例6.7,对于集合,列出其运算表以下表,从表中能够看出，运算满足封闭性，满足结合律和交换律，0是单位元，每个元都有逆元，,这个群阶数是6，元素0，1，2，3，4，5次数分别为1，6，3，2，3，6。,第55页,定理6.2 设,下面证实唯一性,从而唯一性得证。,第56页,例6.8 设,第57页,定理6.3,第58页,定理6.4 设,第59页,第60页,定理6.5 G为有限群，则G运算表中每一行（每一列）都是G中元素一个置换，且不一样行（或列）置换都不相同。,定义6.10 设,第61页,例6.9,例6.10 群,第62页,定理6.6,(子群判定定理1)设H是群。,证实：必要性是显然。,第63页,定理6.7,(子群判定定理2)设H是群,证实：必要性,充分性证实：,第64页,定理6.8,(子群判定定理3)设H是群,证实：必要性是显然。,第65页,例6.11 设,第66页,定义6.11,设,6.2节,陪集与拉格朗日定理,例6.12,设,解：H右陪集为,第67页,定理6.9,设H是群,第68页,定理6.10,设,第69页,第70页,定理6.11,设,证实：略。,推论6.1,第71页,定理6.12,设,第72页,定理6.13,设,第73页,定义6.12,群,定理6.14（拉格朗日定理）,设,即子群阶数一定是群阶数因子。,依据定理6.11推论有,第74页,推论6.2,设,推论6.3,设,依据定理6.11推论有,第75页,定义6.13,设,任何群G都有正规子群，因为G两个平凡子群,第76页,定理6.15 设,证实：略。,第77页,例6.13 设,第78页,例6.14 设,第79页,定理6.16 设,第80页,定义6.14 设,6.3 群同态与同构,第81页,例6.13 设,第82页,定义6.15 设,第83页,定理6.17,设,证实：略。,第84页,定义6.16 设,第85页,定理6.18 （群同态基本定理）,设,第86页,定义6.17 设,6.4 循环群与置换群,第87页,第88页,定理6.19,设,第89页,例6.16,例6.17,设,第90页,定义6.18,设,例6.18,设,第91页,第92页,定义6.19,设,例6.19,4元置换,第93页,定义6.20,设,第94页,定理6.20,第95页,定义6.21,例6.20,如图,进行旋转，也能够围绕它对称轴进行翻转，但,经过旋转或翻转后仍要与原来方格重合（方格,中数字能够改变）。假如把每种旋转或翻转看,作是作用在,第96页,第97页,第98页,第99页,定义6.22 设,6.5 环和域,第100页,例6.21,（1）整数集,第101页,定理6.21 设,2,3证实略。,第102页,例6.22,第103页,定义6.23,设,第104页,例6.23（1）整数环,第105页,例6.22,模6整数环,第106页,定义6.24,设,第107页,定义6.22 设,6.5 环和域,第108页,例6.25 设,第109页,第110页,第111页,定义6.25,设,6.6 格与布尔代数,第112页,例6.26 设n是正整数,第113页,例6.27,（1）对于,偏序集,第114页,第115页,定理6.22设,第116页,定理6.23,设,第117页,定义6.26,设,定义6.27,设,第118页,例6.28,设格,第119页,定义6.28,设,第120页,例,6.29 说明下列图中格是否为分配格，,为何？,第121页,第122页,定义6.29,设,第123页,定义6.30,设,例6.30,例6.31,第124页,定义6.31,设,第125页,定义6.32,设,定义6.33,假如一个格是有补分配格，则称它为布尔格或布尔代数。,第126页,
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