第四节-多元复合函数的求导法则名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,复合函数求导法则,全微分形式不变性,第四节 多元复合函数 求导法则,第1页,1,一、,复合函数求导,法则,(,链导法则,),1.,情形.,定理,且,其导数可用以下公式计算,:,多元复合函数求导法则,含有连续偏导数,第2页,2,可微,因为函数,有,连续偏导数,证,第3页,3,复合函数,中间变量多于两个,情况,.,定理推广,导数,变量树图,称为,全导数,(,又称,链导公式,).,多元复合函数求导法则,第4页,4,?,项数,问,:,每一项,?,中间变量,函数对,中间变量,偏导数,该中间变量对其,指定自变量,偏导数,(,或导数,).,个数,.,函数对某自变量偏导数之结构,多元复合函数求导法则,第5页,5,例,设,求,这是幂指函数导数,但用,全导数公式,较简便,.,法二,y,u,v,x,解,法一,可用,取对数求导法,计算,.,多元复合函数求导法则,第6页,6,多元复合函数求导法则,复合函数为,则复合函数,偏导数存在,且可用以下公式计算,两个中间变量,两个自变量,含有连续偏导数,2.,情形.,.,y,v,v,z,y,u,u,z,y,z,+,=,第7页,7,变量树图,u,v,多元复合函数求导法则,),(,),(,y,x,y,x,f,z,y,j,=,第8页,8,解,多元复合函数求导法则,例,第9页,9,中间变量多于两个情形,类似地再推广,复合函数,在对应点,两个偏导数存在,且可用以下公式计算,:,三个中间变量两个自变量,多元复合函数求导法则,第10页,10,例,设,解,自己画变量树,求,多元复合函数求导法则,第11页,11,即,二者区分,区分类似,3.,情形.,把复合函数,中,y,看作不变而对,x,偏导数,把,中,u,及,y,看作不变,而对,x,偏导数,第12页,12,解,z,u,x,y,x,y,变量树图,例,多元复合函数求导法则,求,而,),sin(,xy,u,y,x,e,z,u,=,+,=,),cos(,y,x,e,u,+,+,第13页,13,例,设,f,含有二阶连续偏导数,变量树图,u,r,s,x,t,或记,u,对中间变量,r,s,偏导数,注,从而也是,自变量,x,t,复合函数,.,解,仍是,r,s,函数,对抽象函数在求偏导数时,一定要设中间变量,.,多元复合函数求导法则,1,f,r,f,=,2,f,s,f,=,r,f,s,f,第14页,14,u,r,s,x,t,变量树图,设,f,含有二阶连续偏导数,多元复合函数求导法则,第15页,15,u,r,s,x,t,变量树图,设,f,含有二阶连续偏导数,多元复合函数求导法则,s,r,f,2,第16页,16,多元复合函数求导法则,解,练习,含有二阶连续偏导数,且满足,年考研数学三,8,分,故,),(,v,u,f,第17页,17,已知,f,(,t,),可微,证实 满足方程,提醒,t,y,为中间变量,x,y,为自变量,.,引入中间变量,练习,则,多元复合函数求导法则,第18页,18,二、全微分形式不变性,含有连续偏导数,则有,全微分,则有全微分,全微分形式不变性实质,多元复合函数求导法则,第19页,19,解,例,经过全微分求全部一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便,.,多元复合函数求导法则,第20页,20,1994,年硕士考题,计算,3,分,答案：,多元复合函数求导法则,练习,第21页,21,1989,年硕士考题,计算,5,分,解,多元复合函数求导法则,练习,第22页,22,1990,年硕士考题,计算,5,分,解,设,多元复合函数求导法则,有连续二阶导数,练习,),(,),sin,2,(,v,u,f,x,y,y,x,f,z,其中,设,-,=,第23页,23,1992,年硕士考题,计算,5,分,解,设,多元复合函数求导法则,练习,连续二阶导数,有,其中,设,),(,),sin,(,2,2,v,u,f,y,x,y,e,f,z,x,+,=,y,e,f,x,vu,cos,(,第24页,24,求,在点,(1,1),处可微,且,设函数,解,年考研数学一,6,分,多元复合函数求导法则,练习,由题设,第25页,25,多元复合函数求导法则,(,链导法则,),全微分形式不变性,(,了解其实质,),多元复合函数求导法则,三、小结,(,大致分三种情况,),求抽象函数二阶偏导数尤其注意混合偏导,第26页,26,思索题,多元复合函数求导法则,正确是,().,第27页,27,思索题解答,令,则,两边对,t,求导,得,多元复合函数求导法则,第28页,28,自修作业,习题,9-4,(82,页,),2.4.5.8.(1)(2),9.10.11.12.(4),本节必须要分清中间变量和最终变量；要会用微分法求导数。,多元复合函数求导法则,第29页,29,