江苏省2025届数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

江苏省2025届数学高二下期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差，，则期望（）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为
（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为
A． B． C． D．
3．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）.
A．-1 B． C． D．
4．已知函数，则函数满足（ ）
A．最小正周期为 B．图像关于点对称
C．在区间上为减函数 D．图像关于直线对称
5．已知向量，，若，则（ ）
A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－1
6．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为( 　)
A． B． C． D．
7．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是(　　)
A．0 B．256 C．64 D．
8．若函数在区间上的图象如图所示，则的值（ ）

A． B．
C． D．
9．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（ ）
A．68度 B．52度 C．12度 D．28度
10．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
11．设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁UA的子集的个数是（　　）
A．16 B．8 C．7 D．4
12．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设a、b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是：_____
14．在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_______.
15．已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部为______.
16．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以获胜的概率______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．
（1）求直线的方程；
（2）求圆的方程．
18．（12分）已知，命题对任意，不等式成立；命题存在，使得成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围；
19．（12分）若，求证：．
20．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．
21．（12分）已知椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上位于第一象限的一点
（1）若三角形PF1F2的面积为，求点P的坐标；
（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．
22．（10分）已知，求的值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出的可能值，再根据，确定的值，再利用均值计算公式计算的值.
【详解】
因为，所以或，
又因为 ，则，解得，
所以，则.
故选：A.
二项分布的均值与方差计算公式：，.
2、D
【解析】
3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此．
3、A
【解析】
先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.
【详解】
因为，
所以当 时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以，所以，
又因为，所以，
因为对应的，且有零点，
（1）当时，或，
所以，所以，所以，
（2）当时，或，
此时，所以，
综上可知：，所以.
故选：A.
本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.
4、D
【解析】
∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•
=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，
故它的最小正周期为，故A不正确；
令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，
且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；
在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，
故选D．
5、C
【解析】
根据题意得到的坐标，由可得的值.
【详解】
由题，，，
或，故选C
本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数
6、A
【解析】
分析：由，且 ，变形可得
利用导数求其最值；
详解： ，且a＋b＝1，
∴．
令
，解得 ，此时函数单调递增；令，解得 此时函数单调递减．
∴当且仅当 时，函数取得极小值即最小值，
点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.
7、D
【解析】
分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.
详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是,
选D.
点睛：二项式系数最大项的确定方法
①如果是偶数，则中间一项(第 项)的二项式系数最大；
②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.
8、A
【解析】
根据周期求，根据最值点坐标求
【详解】
因为,
因为时，
所以
因为，所以，选A.
本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9、A
【解析】
由表格可知，，根据回归直线方程必过得，因此当时，，故选择A.
10、D
【解析】
写出二项展开式的通项，令的指数等于，求出参数的值，再代入通项即可得出项的系数.
【详解】
二项展开式的通项为，令，得，
因此，的展开式中的系数为，故选：D.
本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是充分利用二项展开式的通项，考查计算能力，属于中等题.
11、B
【解析】
因为，，所以，集合的子集的个数是 ，故选B.
12、D
【解析】
试题分析：A项中两直线还可能相交或异面,错误；
B项中两直线还可能相交或异面,错误；
C项两平面还可能是相交平面，错误；
故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、③
【解析】
试题分析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1．[来源:Z§
考点：不等式性质
14、
【解析】
将直线和曲线的方程化为普通方程，可知曲线为圆，然后计算圆心到直线的距离和半径，则直线截圆所得弦长为。
【详解】
曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，
所求弦长为.故答案为：。
本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线与圆相交时弦长的计算，而计算直线截圆所得弦长，有以下几种方法：
①几何法：计算圆心到直线的距离，确定圆的半径长，则弦长为；
②弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为或
（其中为直线的斜率，且）；
③将直线的参数方程（为参数，为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，则弦长为。
15、
【解析】
根据模长公式求出，即可求解.
【详解】
，
复数的实部为.
故答案为：.
本题考查复数的基本概念以及模长公式，属于基础题.
16、
【解析】
利用二项分布可求甲以获胜的概率.
【详解】
设“甲班以3:1”获胜为事件.
若甲班以3:1获胜，则前3局甲班恰好胜2局，然后第4局胜．
所以，.
故答案为:.
本题考查古典概型的概率的计算，注意利用常见的分布（如二项分布、超几何分布等）来帮助计算概率，本题为基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】
（1）先求得直线的斜率和的中点，进而求得斜率，利用点斜式得直线 方程．
（2）设出圆心的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定和的等式综合求得和，则圆的方程可得．
【详解】
（1）直线的斜率，的中点坐标为
直线的方程为
（2）设圆心，则由点在上，得．①
又直径， ，．②
由①②解得或，圆心或
圆的方程为或
本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．
18、（1）（2）
【解析】
（1）对任意，不等式恒成立，．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．
（2）存在，使得成立，可得，命题为真时，．由且为假，或为真，，中一个是真命题，一个是假命题，再分别求出参数的取值范围最后取并集即可．
【详解】
解（1）∵对任意，不等式恒成立，
∴．
即．解得．
因此，若p为真命题时，m的取值范围是．
（2）存在，使得成立，∴，
命题q为真时，．
∵p且q为假，p或q为真，
∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则解得;
当p假q真时，，即．
综上所述，m的取值范围为．
本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、见解析
【解析】
引入函数，展开，其中，，
是整数，，注意说明的唯一性，这样有，，然后计算即可.
【详解】
证明：因为
，
所以，
由题意，
首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的．
假设，
则，而，矛盾。
所以满足条件的是唯一的．
下面我们求及的值：
因为
，
显然．
又因为，故，
即．
所以令，
，则，，又，
所以．
本题考查二项式定理的应用，解题关键是引入函数，展开，其中，，是整数，，于是可表示出.本题有一定的难度.
20、（1）；（2）
【解析】
（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；
（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．
【详解】
（Ⅰ）由得：，，
即，C的直角坐标方程为：．
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为，，直线和圆的方程联立得：
，所以，，．
所以，．
本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．
21、（1）P（1，） （2）
【解析】
（1）设P（x，y）；，根据三角形PF1F2的面积为列等式解得，再代入椭圆方程可得，即可得到答案；
（2）根据两点间的距离公式得到的函数关系式，再根据二次函数求最值可得结果.
【详解】
椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，
所以：椭圆的顶点坐标（±2，0）；（0，±1），焦点：F1（，0），F2（，0），
|F1F2|＝2；
P是椭圆E上位于第一象限的一点，设P（x，y）；；
（1）若三角形PF1F2的面积为，即：|F1F2|×y；
解得：y，
因为P是椭圆E上位于第一象限的一点，满足椭圆的方程，代入椭圆方程得：x＝1，
所以：点P的坐标P（1，）；
（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，P是椭圆E上位于第一象限的一点，
所以：d．
因为，所以时，d有最小值，
所以d的最小值d．
本题考查了椭圆的几何性质，考查了三角形的面积公式，考查了两点间的距离公式，考查了二次函数求最值，属于中档题.
22、
【解析】
先由等式求出的值，利用诱导公式对所求分式进行化简，代入的值可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以，
因此，.
本题考查利用诱导公式化简求值，对于化简求值类问题，首先要利用诱导公式将代数式进行化简，再结合同角三角函数的基本关系或代值计算，考查计算能力，属于基础题.