陕西省宁强县天津高级中学2024-2025学年数学高二下期末教学质量检测试题含解析.doc

陕西省宁强县天津高级中学2024-2025学年数学高二下期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知则复数
A． B． C． D．
2．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
3．设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．a≥3 B．a>3
C．a≤3 D．a<3
5．函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）
①是周期函数；②三角函数是周期函数；③是三角函数
A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①
7．三个数，，之间的大小关系是( )
A． B．
C． D．
8．一组统计数据与另一组统计数据相比较（ ）
A．标准差一定相同 B．中位数一定相同
C．平均数一定相同 D．以上都不一定相同
9．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
10．已知复数（其中为虚数单位），则
A． B． C． D．
11．函数在点处的导数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．恩格尔系数,国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，某地区家庭2018年底恩格尔系数为，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平至少经过（ ）
（参考数据：，,，）
A．年 B．年 C．年 D．年
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直三棱柱-中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.
14．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得奖金4元，落入B袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_____元.

15．已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．
16．设随机变量的分布列为为常数，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．
18．（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.
（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；
（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.
19．（12分）设函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，对任意恒成立，求整数的最大值.
20．（12分）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）若，求的最大值；
（2）若在R上单调递减，
①求a的取值范围；
②当时，证明：.
21．（12分）设，函数.
（1）当时，求在上的单调区间；
（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.
22．（10分）在复平面内，复数 （其中）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值；
（3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.
详解：因为，
所以，
，故选A.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.
2、A
【解析】
由题意可得： ，
由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为 .
本题选择A选项.
点睛：1．二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
3、A
【解析】
分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.
详解：
的周长为
，

∴
故选：A
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
4、A
【解析】∵f(x)=x3−ax−1，
∴f′(x)=3x2−a，
要使f(x)在(−1,1)上单调递减，
则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，
则3x2−a⩽0，
即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，
在x∈(−1,1)上，3x2<3，
即a⩾3，
本题选择A选项.
5、D
【解析】
∵f(x)=lnx−4x+1定义域是{x|x>0}
∵
当f′(x)>0时,.
本题选择D选项.
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
6、A
【解析】
根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的顺序.
【详解】
根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，可知：
①是周期函数是“结论”；
②三角函数是周期函数是“大前提”；
③是三角函数是“小前提”；
故“三段论”模式排列顺序为②③①.
故选：A
本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.
7、A
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性求解
【详解】

,故
故选：A
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
8、D
【解析】
根据数据变化规律确定平均数、标准差、中位数变化情况，即可判断选择.
【详解】
设数据平均数、标准差、中位数分别为
因为，所以数据平均数、标准差、中位数分别为，即平均数、标准差、中位数与原来不一定相同，
故选：D
本题考查数据变化对平均数、标准差、中位数的影响规律，考查基本分析求解能力，属基础题.
9、C
【解析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
10、B
【解析】
分析：根据复数的运算法则和复数的模计算即可.
详解：，
则.
故选：B.
点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
11、C
【解析】
求导后代入即可.
【详解】
易得,故函数在点处的导数是.
故选：C
本题主要考查了导数的运算,属于基础题.
12、B
【解析】
根据“每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加”以及列不等式，解不等式求得至少经过的年份.
【详解】
设经过的年份为年，依题意有，即，两边取以为底的对数得，即，故至少经过年，可使家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选B.
本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查实际生活中的函数运用，考查阅读与理解能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
连接交于E，取AB中点F,连接EF,推出EF∥或其补角为所求，在三角形运用余弦定理求解即可
【详解】
连接交于E，则E为为中点，取AB中点F,连接EF,故EF，则或其补角为所求，又EF=,
在三角形中，cos
故答案为
本题考查异面直线所成的角，熟记异面直线所成角定义，熟练找角，准确计算是关键，是基础题
14、5
【解析】
先记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.
【详解】
记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，
由题意可得，所以.
因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，
抽取活动奖金的可能取值为，
所以期望为.
故答案为5
本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.
15、2
【解析】
由两直线平行，可先求出参数的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.
【详解】
因为直线，平行，所以，解得，
所以即是，
由两条平行线间的距离公式可得.
故答案为2
本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.
16、
【解析】
由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．
【详解】
随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，
∴=1，
即，解得c=，
∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）
===．
故答案为．
本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)
【解析】
（1）根据两个集合的交集为，可知，即充要条件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要条件，即是在找一个值，都是符合题意的值.
【详解】
(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．
本小题主要考查利用集合的交集来求解参数的取值范围，考查找充分不必要条件的方法，属于中档题.
18、（1）； （2） （3），.
【解析】
（1）根据题意求出A、B两点坐标，即得线段AB的长；
（2）先列函数关系式，再根据二次函数确定最小值取法，即得t的取值范围；
（3）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理求,解得C点坐标（用m表示），代入双曲线方程解得m的值和点C的坐标.
【详解】
（1）因为，所以令得
（2）,设，
则
由题意得时取最小值，所以
（3）由，得，设，则，所以，
因为在上，所以
因为点C在双曲线右支上，所以
本题考查双曲线弦长、直线与双曲线位置关系以及函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
19、（Ⅰ）当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（Ⅱ）2
【解析】
（Ⅰ）根据解析式求得导函数，讨论与两种情况，结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性；
（Ⅱ）将代入解析式，并代入不等式分离参数，构造函数，求得，在令，由即可证明在单调递增，再根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，进而由单调性求得，整理化简后可得，即可得整数的最大值.
【详解】
（Ⅰ）函数的定义域为，
，
当时，恒成立，所以在内单调递增.
当时，由得，
，，且
在区间内，在区间内.
综上可得，当时，在内单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递减.
（Ⅱ）将代入函数解析式，可求得，
代入不等式可得，即对任意恒成立，
令，只需.
，
令，，所以在单调递增，
显然有，，所以存在唯一的，使得
.
在，，，单调递减；
在，，，单调递增.
所以，
此时，可得，
所以，
因为，所以，
所以整数的最大值为.
本题考查了由导数判断含参数的函数单调性，分类讨论思想的综合应用，分离参数并构造函数分析函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，综合性强，化简过程较为繁琐，属于难题.
20、（1）1；（2）①，②证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.
（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.
【详解】
（1）时，
时，，在上单调递增
时，，在上单调递减

（2）由
①在R上单调递减，对恒成立，
即对恒成立，记，
则对恒成立，
当时，，符题
当时，时，，在上单调递减
时，，在上单调递增；
当时，时，，在上单调递减
时，，在上单调递增；

综上：
②当时，在上单调递减，，
，，.
要证，即证
下面证明
令，，则，
在区间上单调递增，，得证
本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.
21、（1）增区间是 ，减区间是；（2）.
【解析】试题分析：（1）当时，求得，求导，令，则在是减函数，从而在上是减函数，进而得出在上的极大值，即可得到最大值；（2）由题意得可知，则，从而得不等式可化为，对任意的恒成立.通过讨论①当时，②当时，③时的情况，即可得出结论.
试题解析：（1）当时，
则，令，则
显然在区间内是减函数，又，在区间内，总有
在区间内是减函数，又当时，，
，此时单调递增；
当时，
，此时单调递减；
在区间内的极大值也即最大值是
（2）由题意，知，则
根据题意，方程有两个不同的实根
，即，且
，由
其中，得

所以上式化为
又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.
①当，不等式恒成立，；
②当时，恒成立，
令函数
显然是内的减函数，当，
③时，恒成立，即
由②，当，，即
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为，对任意的恒成立.通过讨论①当时，②当时，③时的情况是解解答的难点.
22、（1）或4；（2）；（3）
【解析】
（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果
【详解】
（1）因为复数为实数，所以，
所以或4；
（2）因为复数为纯虚数，所以，
所以
（3）因为对应的点在第四象限，所以
解不等式组得，，
即的取值范围是.
本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.