江苏省南通市海安高级中学2025年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

江苏省南通市海安高级中学2025年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
2．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为
A．18 B．24 C．28 D．36
4．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．8 C．6 D．
6．设，则 （　　）
A． B．10 C． D．100
7．已知随机变量的分布列为（ ）

0
1

若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三角形的面积是，，，则b等于( )
A．1 B．2或1 C．5或1 D．或1
10．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
11．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
12．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）
A．17 B．23 C．34 D．46
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ．
14．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
15．二项式展开式中含项的系数是__________．
16．已知为数列的前项和，若且，设，则的值是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的极值；
（2）若且对任意的，恒成立，求的最大值．
18．（12分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5

170
178
166
176
180

74
80
77
76
81
（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．
19．（12分）若，解关于的不等式.
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的极值.
21．（12分）如图,棱锥的地面是矩形, 平面,,.

(1)求证: 平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离.
22．（10分）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，若该集团共有员工40000人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；
（3）已知样本数据中期望补贴数额在范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为，求的分布列和数学期望.
附：若，则，，.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设切点分别为和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到
构造函数由导数求得参数的范围。
【详解】
的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有
即为令则，
当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，故选B．
可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。
2、D
【解析】
分析：由题意，求得，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程；
详解：由题意，函数，则，
所以，即切线的斜率为，
又，所以切线过点，所以切线的方程为，即，故选D．
点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程问题，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3、D
【解析】
分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。
详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有，另外3人派往2个地区，共有18种。
类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有，另外2人派往2个地区，共有18种。
综上一共有36种，故选D
点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。
4、A
【解析】
分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.
【详解】
解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，
故选：A.
本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.
5、A
【解析】
分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是一个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.
详解：根据三视图知：
由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，
它的底面是个长宽分别为的矩形，
棱锥的高为，
，故选A.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
6、B
【解析】
利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.
【详解】
，，.故选B.
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.
7、A
【解析】
先由题计算出期望，进而由计算得答案。
【详解】
由题可知随机变量的期望，
所以方差，
解得，故选A
本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。
8、C
【解析】
分析：先求出最大值，再求出的最大值，从而化恒成立问题为最值问题.
详解：

令，

，
令，解得，
在、单调递增，在单调递减，
又，

又，
当时，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减.
；
当时，无最大值，即不符合；
故有，解得，故.
故选：C.
点睛：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用.
9、D
【解析】
由三角形面积公式，计算可得的值,即可得B的值,结合余弦定理计算可得答案.
【详解】
根据题意:三角形的面积是,即,又由，则则或，
若则此时则；
若,则,此时则；
故或.
故选：D.
本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.
10、C
【解析】
试题分析：,故选C.
考点：排列组合.
11、D
【解析】
写出二项展开式的通项，令的指数等于，求出参数的值，再代入通项即可得出项的系数.
【详解】
二项展开式的通项为，令，得，
因此，的展开式中的系数为，故选：D.
本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是充分利用二项展开式的通项，考查计算能力，属于中等题.
12、B
【解析】
分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.
详解：由题得
所以，
所以，
所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：要使函数的定义域为，需满足恒成立．当时，显然成立；当时，即．综合以上两种情况得．
考点：不等式恒成立问题．
14、
【解析】
试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，
故答案为．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．
15、210.
【解析】
分析：先根据二项展开式通项公式得含项的项数，再代入得系数
详解：因为，所以
因此含项的系数是.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
16、
【解析】
根据是等比数列得出，利用数列项与和的关系，求得，从而得出，利用裂项相消法求出答案.
【详解】
由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以.
时， .
.
时,
.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）极小值为，无极大值；（2）1.
【解析】
（1）将代入，求其单调区间，根据单调区间即可得到函数的极值.（2）首先将问题转化为，恒成立，设，求出其单调区间和最值即可得到的最大值.
【详解】
（1）当时，，
易知函数在上为单调增函数，
及
所以当，，为减函数.
当，，为增函数.
所以在时取最小值，
即，无极大值.
（2）当时，由，
即，得.
令，则.
设，则，
在上为增函数，
因为，，
所以，且，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增．
所以，
因为，
所以，，
所以，即的最大值为1．
本题第一问考查利用导数求函数的极值，第二问考查利用导数解决恒成立问题，属于中档题.
18、（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．
【解析】
分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；
（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有 件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；
（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．
详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得
所以乙厂生产的产品数量为30件
（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品
由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）
（3）可能的取值为0，1，2

∴的分布列为：

0
1
2

∴
点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．
【详解】
请在此输入详解！
19、见解析
【解析】
本题是含有参数的解不等式，可以先将不等式转化为的形式，再通过分类讨论参数得出解．
【详解】
时，且；
时，
等价于
因为，所以，
所以不等式可化简为
当时，或．
当时，，或
综上所述，时，且；
0 时或
时，或}
在解含有参数的不等式的时候，一定要注意参数的取值范围并进行分类讨论．
20、（Ⅰ）（Ⅱ）的极大值为，的极小值为
【解析】
分析：（1）先求导，再利用导数的几何意义求切线的斜率，再求曲线在点处的切线方程.(2)利用导数求函数的极值.
详解：（Ⅰ），
，.
故切线的斜率，由直线的点斜式方程可得
，化简得，所以切线方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ），得.
令，得或.
当变化时，，的变化情况如下表：

1

+
0
-
0
+

极大值

极小值

综上，的极大值为，的极小值为.
点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求函数的极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.
21、 (1)见解析;(2);(3).
【解析】
（1）先证明为正方形,可得,由平面,平面,可得，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以为轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量，结合为平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角的平面角即可；（3）求出平面的法向量，再求出平面的斜线所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离.
【详解】
(1)解法一:在中, ,,
∴,∴为正方形,
因此,
∵平面,平面,
∴.又∵,
∴平面.
解法二:以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
在中, ,,
∴,∴,,
∴,,.
∵,,
即,.又,
∴平面.

(2)解法一:由平面,
知为在平面上的射影.
又,∴,
∴为二面角的平面角.
又∵,∴.
解法二:由1题得,.
设平面的法向量为,则,,
即,∴,
故平面的法向量可取为,
∵平面,
∴为平面的法向量.
设二面角的大小为,
依题意可得,
∴.
(3)解法一:∵,
∴,
设到平面的距离为,
由,
有,
得.
解法二:由1题得,,
设平面的法向量为,
则,,
即,
∴.
故平面的法向量可取为.
∵,
∴到平面的距离为.
本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
22、（1）约为百元；（2）估计有920名员工；（3）分布列见解析，
【解析】
（1）样本的中位数为，根据中位数两侧的频率相等列出方程，可得答案；
（2）由近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，可得，由正态分布计算对照题中所给数据可得答案.
（3）由题意，的可能取值为，分别计算出其概率，列出其分布列，可得数学期望.
【详解】
解：（1）设样本的中位数为，则，解得，所以所得样本的中位数约为百元.
（2），由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为
，
，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上.
（3）由题意，的可能取值为.
又因为， ，
， ，
的分布列为

.(或者答：服从的超几何分布，则）
本题主要考查正态分布的相关知识及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题，注意运算准确.