上海市崇明县大同中学2025年高二下数学期末学业质量监测试题含解析.doc

上海市崇明县大同中学2025年高二下数学期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数，则的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
2．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，集合，则( )
A． B． C． D．
6．某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表，由此得到与的线性回归方程为，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ）

2
4
5
6
8

30
40
60
50
70
A．-10 B．0 C．10 D．20
7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的的值为（ ）
(参考数据：，，）

A．12 B．24 C．48 D．96
8．已知，则( )
A．11 B．12 C．13 D．14
9．二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( )
A． B． C．或 D．或
10．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.

A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30
11．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是

A．平面平面
B．的取值范围是（0，]
C．的体积为定值
D．
12．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已和幂函数的图象过点，则__________．
14．已知函数，若，则实数的取值范围为__________.
15．已知空间整数点的序列如下：，，，，，，，，，，，,,,…，则是这个序列中的第____________个.
16．把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子的概率为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知（1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x项的系数为84，
(I)求m,n的值
(II)求（1+m)n (1-x)的展开式中有理项的系数和.
18．（12分）给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真.
19．（12分）进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
车流量（x千辆）
10
9
9.5
10.5
11
8
8.5
接待能力指数y
78
76
77
79
80
73
75
（I）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程．
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
附参考公式及参考数据：线性回归方程，其中；
20．（12分）（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.
（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.
21．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.

（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
22．（10分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是.
求：（1）展开式中各项系数的和；
（2）展开式中系数最大的项.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．
【详解】
解：∵，
∴，，．
∴．
故选：B．
本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2、D
【解析】
求导，根据导数得到是方程的实根，根据等差数列的性质得到答案.
【详解】
由题意可知：，又是函数的极值点，∴是方程的实根，由韦达定理可得.等差数列的性质可得，
∴.
本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
3、D
【解析】
首先判断函数单调性为增. ,将函数不等式关系转化为普通的不等式,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.
【详解】
在定义域上单调递增，，则由，
得，
，则当时，存在的图象在的图象上方.
，，则需满足.选D.
本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,是解题的关键.
4、B
【解析】
,,故函数在区间上递增,,,故函数在上递减.所以,解得,故选B.
5、D
【解析】
,解得，即，，所以，故选D.
6、C
【解析】
由已知求得的值，得到，求得线性回归方程，令求得的值，由此可求解结论.
【详解】
由题意，根据表格中的数据，
可得，
所以，所以，
取，得，
所以随机误差的效应（残差）为，故选C.
本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、B
【解析】
列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环.
【详解】
解：模拟执行程序，可得：
，
不满足条件，
不满足条件，
满足条件，退出循环，输出的值为.
故选：B.
本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.
8、B
【解析】
∵，
∴，
整理，得，
；
解得,或(不合题意,舍去)；
∴n的值为12.
故选：B.
9、A
【解析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，
当时，.
考点：二项式定理、积分的运算.
10、B
【解析】
根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.
【详解】
根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，
又由中位数的定义，可得数据的中位数为，
故选B.
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11、B
【解析】
根据线面位置关系进行判断．
【详解】
∵平面，∴平面平面，A正确；
若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B错；
由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；
在平面上的射影是直线，而，因此，D正确．
故选B．
本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．
12、D
【解析】
试题分析：根据函数和都是奇函数，故排除A，C；由于函数是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.
考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由幂函数的定义和解析式求出的值，把已知点代入求出的值，可得答案．
【详解】
解：∵是幂函数，∴，
所以幂函数的图象过点，
∴，则，
则，
故答案为：．
本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题．
14、.
【解析】
作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．
【详解】
作出函数f（x）的图象如图：

设f（a）=f（b）=t，
则0＜t≤，
∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，
则f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，
则a=lnt，b=（t+1），
则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，
设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，
函数的导数g′（t）=﹣1=，
则当0＜t≤时g′（t）＞0，
此时函数g（t）为增函数，
∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，
即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣﹣2]，
故答案为：（﹣∞，﹣﹣2]．
本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．
15、
【解析】
按照规律：三个数字和相等的先看最小数字，再看第二小的数字；相同数字组成的点，先看最小数字排的位置，再看第二小的数字排的位置。三个数字和为的1个，三个数字和为的3个，三个数字之和为6的是3+6+1=10个，三个数字和为7，由组成的共3个，由三个数字组成的共6个，所以是第29个。应填答案。
点睛：解答本题的关键是搞清题设中数组的规律，然后依据规律做出正确的推理和判断。求解时，先观察出数组的规律是：三个数字和相等的先看最小数字，再看第二小的数字；相同数字组成的点，先看最小数字排的位置，再看第二小的数字排的位置。然后做出推断：三个数字和为的1个，三个数字和为的3个，三个数字之和为6的是3+6+1=10个，三个数字和为7，由组成的共3个，由三个数字组成的共6个，进而得出是第29个。
16、.
【解析】
方法一：4个相同球放进3个不同的盒子,先加进3个球，变成7个相同球，用隔板法解决，有个结果，再将多加进的球取出， 4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，4个相同的球之间有3个间隔，再用隔板法解决，可得解；
方法二：4个相同球放进3个不同的盒子,有以下4种情形：
1、4个相同的小球一起，放入3个不同的盒子中； 2、4个相同的小球有3个小球放在一起，放入3 个不同的盒子中；3、4个相同的小球有2个小球在一起，另2个也在一起，放入3个不同的盒子中；4、4个相同的小球有2个小球在一起在一个盒子中，另2个小球分别在两个盒子中，所以4个相同的小球放入3个不同的盒子中共有15种不同的结果，
而“没有一个空盒子”的情况就是上述的第4种情况，可得解.
【详解】
方法一：4个相同球放进3个不同的盒子,先加进3个球，变成7个相同球，放进3个不同盒子，保证每个盒子至少一个球，7个相同的球之间有6个间隔，用隔板法解决，有个结果，再将多加进的球取出，
“没有一个空盒子”记为随机事件A, 4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，4个相同的球之间有3个间隔，用隔板法解决，有个结果，故，
所以“没有一个空盒子”的概率为；
方法二：4个相同球放进3个不同的盒子,有以下4种情形：
1、4个相同的小球一起，放入3个不同的盒子中有3个不同的结果；
2、4个相同的小球有3个小球放在一起，放入3 个不同的盒子中有6种不同的结果；
3、4个相同的小球有2个小球在一起，另2个也在一起，放入3个不同的盒子中有3种不同的结果；
4、4个相同的小球有2个小球在一起在一个盒子中，另2个小球分别在两个盒子中，共有3种不同的结果，
所以4个相同的小球放入3个不同的盒子中共有15种不同的结果，
而“没有一个空盒子”的情况就是上述的第4种情况，共有3个不同的结果，
所以“没有一个空盒子”的概率为，
故填：.
本题考查概率的求法，考查古典概型的基础知识，利用隔板法和枚举法是解决此类问题的常用方法.属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ,.
(2)0.
【解析】
分析：（1）先根据二项式系数性质得，解得n，再根据二项式展开式的通项公式得含x项的系数为，解得m,（2）先根据二项式展开式的通项公式得，再求的展开式有理项的系数和.
详解：
(1)由题意可知，，解得
含项的系数为，
(2) 的展开项通项公式为

的展开式有理项的系数和为0
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
18、
【解析】
判断命题的否定为真时，实数的取值范围，从而得到命题为真时实数的取值范围，化简不等式可知只需在上是减函数。取绝对值讨论在不同区间内的解集即可。
【详解】
由已知，若命题，，是真命题
令
则在区间没有零点
令，可得，其对称轴为
要使得在区间没有零点
即
解得实数的取值范围为
则当命题p为真时，
因为，所以，。
设，依题意，在上是减函数，。
①当时， ，。
令，得：对恒成立。设，则。
因为，所以。
所以在上是增函数，则当时，有最大值为，所以。
②当时， ，。
令，得：。
设，则，所以在上是增函数。所以，所以。
综合①②，又因为在上是图形连续不断的，
所以。
故若q为真，则
则p真q假为
则q真p假
综上
本题主要考查了转化化归的思想以及导数的应用，存在性的命题可将其转化为否定命题，进而得到原命题的真假，属于难题.
19、（I） （Ⅱ）是可靠的，详见解析
【解析】
（I）根据表格中的数据，利用公式求得的值，即可求得回归直线的方程.
（Ⅱ）由（I）中的回归直线的方程，分别代入和进行验证，即可得到结论.
【详解】
（I）由表中的数据，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，
（78+76+77+79+80）＝78，
又由5，2.5，
则，78﹣2×10＝1．
所以y关于x的线性回归方程为；
（Ⅱ）当时，，满足|74﹣73|＝1＜2，
当时，，满足|75﹣75|＝0＜2，
所以是可靠的．
本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归分析的应用，其中解答中认真审题，利用公式准确求解回归直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）；；（2） .
【解析】
（1）由矩阵运算，代入可求得或，即求得另一个特征值。（2）由直角坐标与极坐标互换公式，实现直角坐标与极坐标的相互转化。
【详解】
（1）由得：，，
矩阵的特征多项式为，
令，得，解得或
所以矩阵的另一个特征值为
（2）以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．
因为，所以，
将其化为普通方程，得
将曲线：化为普通方程，得．
所以圆心到直线的距离
所以到直线的最小距离为
直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；
（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
则为直线与平面所成的角，为，
∴，
而平面，
∴
又，为的中点，
∴，
平面，
则平面，
而平面
∴，
又，分别为，的中点，
则，
正方形中，，∴，
又平面，，
∴直线平面；
（2）解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，
过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得；
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
∴.
∴二面角的正弦值为.

本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.
22、（1）；（2）和.
【解析】
分析：（1）由条件求得，令，可得展开式的各项系数的和．
(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则，解不等式即可.
详解：
展开式的通项为.
依题意，，得.
(1)令，则各项系数的和为.
(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则 , 得.
于是系数最大的项是和.
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．