2025年江苏省苏州一中高二数学第二学期期末调研试题含解析.doc

2025年江苏省苏州一中高二数学第二学期期末调研试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）.
A．-1 B． C． D．
3．如果把个位数是，且恰有个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由，，，，五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（ ）个
A． B． C． D．
4．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（　　）

A． B． C． D．
5．下列选项中，说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
C．命题“若，则”是假命题
D．命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题
6．直线l在平面上，直线m平行于平面，并与直线l异面.动点P在平面上，且到直线l、m的距离相等.则点P的轨迹为（ ）.
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
7．设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为
A． B．或
C． D．或
9．现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布，已知，则成绩高于570的学生人数约为（　　）
A．1200 B．2400 C．3000 D．1500
10．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计，统计结果如下表：
年龄 手机品牌
华为
苹果
合计
30岁以上
40
20
60
30岁以下（含30岁）
15
25
40
合计
55
45
100
附：
P（）
0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
根据表格计算得的观测值，据此判断下列结论正确的是（ ）
A．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
B．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”
11．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．已知函数的最大值为，周期为，给出以下结论：
①的图象过点； ②在上单调递减；
③的一个对称中心是； ④的一条对称轴是．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是______．
14．已知是虚数单位，则复数的模为______．
15．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
16．若函数为偶函数，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4

保费

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4

概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
18．（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．

（1）求正四棱柱的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
19．（12分）在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.

(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．（12分）已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
2、A
【解析】
先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.
【详解】
因为，
所以当 时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以，所以，
又因为，所以，
因为对应的，且有零点，
（1）当时，或，
所以，所以，所以，
（2）当时，或，
此时，所以，
综上可知：，所以.
故选：A.
本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.
3、A
【解析】
分相同数字为1，与不为1，再由分类计数原理求出答案。
【详解】
相同数不为1时，四位数的个位数是1，其他3个相同的数可能是2,3,4,5共4种
相同数为1时， 四位数的个位数是1，在2,3,4,5中选一个数放在十位或百位或千位上，共有种
则共有种
故选A
本题考查排列组合，分类计数原理，属于基础题。
4、A
【解析】
利用，求出，再利用，求出即可
【详解】
，，，则有
，代入得
，则有，
，
，又，

故答案选A
本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题
5、C
【解析】
对于A，命题“”的否定是“”，故错误；对于B，命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若，则”在时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在中，若，则或”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.
6、D
【解析】
设m在平面上的投影，与直线l交于点O.
在平面上，以O为原点、直线l为y轴建立直角坐标系.则设的方程为.
又设点P（x， y）.
则点P到直线l的距离，点P到直线的距离为.
从而，点P到直线m的距离平方等于，其中，a为直线m到平面的距离.
因此，点P的轨迹方程为，即为双曲线.
7、D
【解析】
分析：根据全称命题的否定解答.
详解：由全称命题的否定得为：，故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题：,全称命题的否定（）：.
8、D
【解析】
根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，
【详解】
函数为偶函数，
则，故，
因为在单调递增，所以.
根据二次函数的性质可知，
不等式，或 者，
的解集为，
故选D.
此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.
9、A
【解析】
根据正态分布的对称性，求得的值，进而求得高于的学生人数的估计值.
【详解】
，则成绩高于570的学生人数约为.故选A.
本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.
10、C
【解析】
根据的意义判断．
【详解】
因为，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”，
故选：C.
本题考查独立性检验，属于简单题．
11、A
【解析】
逐一假设成立，分析，可推出。
【详解】
若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.
本题考查合情推理，属于基础题。
12、C
【解析】
运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．
【详解】
函数的最大值为，周期为，
可得，可得，可得，
则，
则，正确；
当，可得，
可得在上单调递减，正确；
由，则错误；
由，
可得正确．
其中正确结论的个数为1．
故选：C．
本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意，作出图形，确定定积分，即可求解所围成的图形的面积．
【详解】
解析：如图所示，S＝x2dx＝1＝ (33－13)＝.

本题主要考查了定积分的应用，其中根据题设条件，作出图形，确定定积分求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．
14、
【解析】
先由复数除法化简复数，再求得复数模。
【详解】
由题意可得，所以，填。
本题主要考查复数的除法以及复数的模，属于简单题.
15、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
16、1
【解析】
试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1．
【解析】
试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望
【名师点睛】条件概率的求法：
（1）定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；
（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝.
求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求X取每个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值定义求出EX．
18、（1）（2）
【解析】
（1）是与底面所成的角,所以,可得,在用柱体体积公式即可求得答案;
（2）因为正四棱柱,可得,所以是异面直线与所成的角.
【详解】
（1）如图,连接

正四棱柱的底面边长

面
是与底面所成的角
在中,

正四棱柱的体积为:.
（2） 正四棱柱

是异面直线与所成的角
在中,
异面直线与所成的角为:.
本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
(1) 连接，根据几何关系得到, 由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果
【详解】
（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，，又由于四边形 是边长为2的菱形，，所以，从而平面.
（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.
20、（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）
【解析】
1利用导数求单调区间；2先分离参数，转化为在恒成立利用导数求最值即可求解．
【详解】
（1），，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）．
令，
则在恒成立．
，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的最大值在时取得，．
所以．
本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法．
21、 (1)见详解；(2) 或.
【解析】
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得.
综上得或.
这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
22、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）将，代入，得再利用同角三角函数关系消去参数得.由题意可设圆的方程，将点代入可得，即得的方程为，（2）先将直角坐标方程化为极坐标方程：，再将点，代入解得，最后计算的值．
试题解析：解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得即
∴曲线的方程为（为参数），或.
设圆的半径为，由题意，圆的方程，（或）．　
将点代入，得，即，
所以曲线的方程为或．
（Ⅱ）因为点，在曲线上，
所以，，
所以 ．