山西省临汾市2025届数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析.doc

山西省临汾市2025届数学高二下期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ）

A． B． C． D．
2．设实数，满足约束条件,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为 （ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．正数a、b、c、d满足，，则（ ）
A． B．
C． D．ad与bc的大小关系不定
6．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
8．已知复数,则的共轭复数()
A． B． C． D．
9．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）

A．是函数的极小值点
B．是函数的极大值点
C．是函数的极大值点
D．函数有两个极值点
10．化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
11．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）
A． B．
C． D．
12．将点的极坐标化成直角坐标是(   )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则a与b的大小关系______．
14．圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°，则此圆柱侧面积是_________．
15．用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为__________．
16．中，角 的对边分別是，已知，则 _______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.
（1）当时，求两点的极坐标；
（2）设，求的值.
18．（12分）食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点.某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：

男
女
总计
看保质期
8

22
不看保持期

4
14
总计

（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断，能否有的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？
（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数的分布列和数学期望.
附：，（）.
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

19．（12分）已知：已知函数
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；
20．（12分）设命题幂函数在上单调递减。命题在上有解；
若为假，为真，求的取值范围.
21．（12分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.
（1）求抛物线的方程及焦点到准线的距离；
（2）若直线与交于、两点，求的值.
22．（10分）已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．
(1)设与相交于两点，求；
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可.
【详解】
由已知易得：，
由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率
故选：A
本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
2、A
【解析】
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．
详解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．
设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，
观察直线在y轴上的截距变化，
当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，
取得最值z∈[0，]，
当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，
经过A或B时取得最值，z∈[﹣，3]
综上所述，z∈[﹣，3]．
故答案为：A．

点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x分x≥0和x＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题.
3、D
【解析】
先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.
【详解】
由题得函数的图像如图所示，

联立得交点（1,1）
所以叶形图面积为.
故选：D
本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4、A
【解析】
由题意可转化为，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.
【详解】
解：当时，由得，
=，
当时，
在单调递减，
是函数的最小值，
当时，为增函数，
是函数的最小值，
又因为，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，
即，解得：，
故选：．
本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.
5、C
【解析】
因为a，b，c，d均为正数，又由a+d=b+c得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2
所以（a2+d2）﹣（b2+c2）=2bc﹣2ad．①
又因为|a﹣d|＜|b﹣c
可得a2﹣2ad+d2＜b2﹣2bc+c2，②
将①代入②
得2bc﹣2ad＜﹣2bc+2ad，
即4bc＜4ad，所以ad＞bc
故选C．
6、A
【解析】
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
【详解】
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.
7、B
【解析】
求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．
【详解】
函数f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，可得ω＝4，
函数f（x）＝2sin（4x）．
由4xkπ+，可得x，k∈Z．
当k＝0时，函数的对称轴为：x．
故选：B．
本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题
8、A
【解析】
对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.
【详解】
因为，
所以，
所以的共轭复数
故选A项.
本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.
9、C
【解析】
通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，，这样就可以判断有关极值点的情况.
【详解】
由导函数的图象可知：当在时，，函数单调递增；当在时，，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.
本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.
10、C
【解析】
将根式化为指数，然后利用指数运算化简所求表达式.
【详解】
依题意，.
故选：C
本小题主要考查根式与指数运算，属于基础题.
11、D
【解析】
函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．
由，可得，且，解得，消去，可得，
令，，
在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.
12、A
【解析】
本题考查极坐标与直角坐标的互化
由点M的极坐标，知
极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为
即
故正确答案为A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、a＜b
【解析】
可先利用作差法比较两数平方的大小，然后得出两数的大小关系.
【详解】
解：因为，，
所以，
因为，
所以，
而，
所以得到.
本题考查了综合法与分析法比较两数的大小关系，解题时可先用分析法进行分析，再用综合法进行书写解题过程.
14、
【解析】
根据圆柱结构特征可知侧面展开图为矩形，利用正切值求得矩形的长，从而可得侧面积.
【详解】
圆柱侧面展开图为矩形，且矩形的宽为
矩形的长为： 圆柱侧面积：
本题正确结果：
本题考查圆柱侧面积的相关计算，属于基础题.
15、136
【解析】
分析：由题意，末尾是0或1，分类讨论，即可得出结论．
详解：由题意，末尾是0或1．
末尾是0时，没有重复数字且被1整除的三位数有 ，
末尾是1时，没有重复数字且被1整除的三位数有，
∴用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字且被1整除的三位数有，
即答案为136.
点睛：本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
16、
【解析】
化简已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin（C）＝0，结合范围C∈（，），可求C的值．
【详解】
∵c2＝2b2（1﹣sinC），
∴可得：sinC＝1，
又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，
∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，
∵C∈（0，π），可得：C∈（，），
∴C0，可得：C．
故答案为
本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ， (2)
【解析】
将曲线化为极坐标方程，联立求出两点的极坐标
联立直线参数方程与曲线的普通方程，运用根与系数之间关系求出结果
【详解】
（1）曲线的普通方程，化为极坐标方程为
与联立，得，
又∵，∴或
∴两点的极坐标分别为，
（2）直线的普通方程为化为参数方程为（为参数）①
曲线的普通方程为②
把①代入②，得
整理得，
∴
∴
需要运用公式将普通方程与极坐标方程和参数方程之间的转化，在求解长度问题时，运用参数方程来解答会降低计算量。
18、（1）有的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系
（1）分布列见解析，
【解析】
（
分析：1）将列联表填写完整，求出，然后判断性别与是否看保质期之间是否有关系．
（1）判断的取值为0，1，1．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．
详解：
（1）填表如下：

男
女
总计
看保质期
8
14
11
不看保质期
10
4
14
总计
18
18
36
根据列联表中的数据，可得
.
故有的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系.
（1）由题意可知，的所有可能取值为，
，，
，，

所以.
点睛：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力．
19、 (1)-2； (2)极小值为，极大值为.
【解析】
分析：（1）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求出；
（2）通过a=1时，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f（x）的极值.
详解：（Ⅰ）因为f′（x）=﹣x2+x+2a，
曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，
2a﹣2=﹣6，a=﹣2
（Ⅱ）当a=1时， ，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
单调减

单调增

单调减
所以f（x）的极大值为 ，f（x）的极小值为 ．
点睛：本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，注意导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．
20、.
【解析】
试题分析：由真可得，由真可得　，为假，为真等价于一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.
试题解析：若正确，则，　
若正确，

为假，为真，∴一真一假

即的取值范围为.
21、（1）抛物线的方程为，焦点到准线的距离为；（2）.
【解析】
（1）求出椭圆的右焦点坐标和抛物线的焦点坐标，由此可得出的值，从而得出抛物线的方程以及焦点到准线的距离；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出的值.
【详解】
（1）椭圆的右焦点的坐标为，抛物线的焦点坐标为，
由题意可得，即，
所以抛物线的方程为，焦点到准线的距离为；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，
消去并整理得，，.
本题考查抛物线方程的求解以及直线与抛物线综合问题中韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
22、 (1)；(2)
【解析】
（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得.（2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.
【详解】
（1）的普通方程为，的普通方程为，
联立方程组，解得交点为,
所以=；
（2）曲线：（为参数）．设所求的点为，
则到直线的距离.
当时，取得最大值．
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.