2025年新疆木垒县中学高二下数学期末综合测试试题含解析.doc

2025年新疆木垒县中学高二下数学期末综合测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
2．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．，是的极大值点
B．，是的极小值点
C．，不是的极值点
D．，是是的极值点
3．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（ ）
A．77种 B．144种 C．35种 D．72种
4．已知，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若是虚数单位，，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（　　）种．
A．8 B．15 C．18 D．30
7．在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.

A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30
9．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）
A．至多两件次品 B．至多一件次品
C．至多两件正品 D．至少两件正品
10．设，下列不等式中正确的是（ ）
① ②
③ ④
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
11．与复数相等的复数是（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．观察等式：，，.照此规律，对于一般的角，有等式 .
14．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为 ．
15．已知是虚数单位，若复数满足，则 ________.
16．在数列中，，，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分别为PB,AC的中点,
（１）求证:MN //平面PAD （２）求点B到平面AMN的距离
18．（12分）如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为．

（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集．
19．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．

（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，，分别是其左、右焦点，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若在直线上任取一点，从点向的外接圆引一条切线，切点为.问是否存在点，恒有？请说明理由.
21．（12分）已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）设函数，当时，求的最小值；
（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
2、B
【解析】
由图判断函数的单调性，结合为在点P处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.
【详解】
由题得，当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，
则有是的极小值点，故选B.
本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.
3、A
【解析】
根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1) 只选一名老队员;(2) 没有选老队员,分类计数再相加可得.
【详解】
按照老队员的人数分两类:
(1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42;
(2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有,
所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种.
故选A.
本题考查了分类计数原理,属基础题.
4、D
【解析】
由题意可构造函数，由在上恒成立，分离参数并构造新的函数，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出的取值范围.
【详解】
由，得恒成立，
令，即，，
则在上单调递减，
所以在上恒成立，
当时，成立，
当时，等价于，
令，
则，
所以在上单调递减， ，
即
故选：D
本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.
5、B
【解析】
先利用复数的模长公式得到，再根据复数相等的定义，即得解.
【详解】
由于
由复数相等的定义，
故选：B
本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
6、A
【解析】
本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．
【详解】
由题意知本题是一个分类计数问题，
解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，
一是可以用分析法来证明，有3种方法，
根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，
故选A．
本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．
7、D
【解析】
对求导，判断函数在区间上的单调性，即可求出最大值。
【详解】

所以在单调递增，在单调递减，

故选D
本题考查利用导函数求函数的最值，属于基础题。
8、B
【解析】
根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.
【详解】
根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，
又由中位数的定义，可得数据的中位数为，
故选B.
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
试题分析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品．故B正确．
考点：对立事件．
10、C
【解析】
分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.
详解：因为ab>0,所以a,b同号.
对于①，由绝对值三角不等式得，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时，，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得，所以④是正确的.
故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.
11、C
【解析】
根据复数运算，化简复数，即可求得结果.
【详解】
因为.
故选：C.
本题考查复数的运算，属基础题.
12、A
【解析】
试题分析：由，可知，直线为线段的中垂线，所以有，所以有，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，即，所以椭圆方程为,故选A．

考点：1．向量运算的几何意义；2．椭圆的定义与标准方程．
【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义、椭圆的定义与椭圆方程的求法，属中档题．求椭圆标准方程常用方法有：
1．定义法，即根据题意得到所求点的轨迹是椭圆，并求出的值；
2．选定系数法：根据题意先判断焦点在哪个坐标轴上，设出其标准方程，根据已知条件建立关系的方程组，解之即可．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：，，，所以.
考点：归纳推理.
14、
【解析】
构造如图所示长方体，长方体的长、宽、高分别为，则
，，，，所以。则（当且仅当，上式取等号）。

15、
【解析】
先计算复数，再计算复数的模.
【详解】

故答案为
本题考查了复数的计算，属于简单题.
16、
【解析】
先根据分组求和得再求极限得结果.
【详解】
因为，所以

因此
故答案为：
本题考查分组求和以及数列极限，考查基本分析求解能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（１）见解析（２）
【解析】
试题分析：（１）是正方形中对角线中点三点共线，为中点为的中位线
（２）设点B到平面AMN的距离为h，,,,,,,，代数得
考点：线面平行的判定和点面距的求法
18、（1），，；（2），不等式的解集为.
【解析】
（1）根据题意得出，，且可求出，，以及；
（2）根据可得出，然后得出的表达式，从而得出不等式的解集.
【详解】
（1）由题意可得，，且.
，；
（2）由可推得，
不等式即为，
，，，，.
解不等式，可得的可能取值有、、、、、.
所以，不等式的解集为.
本题考查杨辉三角性质的应用，考查组合数的应用以及组合不等式的求解，解题的关键就是要找出递推公式，逐项计算即可，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1）见解析 （2）
【解析】
试题解析：
（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2
故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，故PA ⊥BD
（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系
则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）
设平面PAB的法向量，则
，解得
平面PBC的法向量，则
，解得

考点：本题考查线线垂直 二面角
点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性
20、 (1) (2) ，或
【解析】
（1）求出后可得椭圆的标准方程.
（2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的恒成立，故可得关于的方程，从而求得的坐标.
【详解】
解：（1）因为椭圆的离心率为，所以. ①
又椭圆过点，所以代入得. ②
又. ③
由①②③，解得.所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，的坐标分别是.
因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，
即的外接圆的圆心一定在轴上，
所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，
则由及两点间的距离公式，得，
解得.
所以圆心的坐标为，半径，
所以的外接圆的方程为，即.
设点为点为，因为，
所以，
化简，得，
所以，消去，得，
解得或.
当时，；
当时，.
所以存在点，或满足条件.
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】
(1) 根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对
应的等式对比得出所求的系数即可.
(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.
(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.
【详解】
(1)设.
①∵,∴,
又∵,
∴,可得,
∴解得即.
(2)由题意知,,,对称轴为.
①当,即时,函数h(x)在上单调递增,
即；
②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,
即.
综上,
(3)由题意可知,
∵函数在上单调递增,故最小值为,
函数在上单调递减,故最小值为,
∴,解得.
本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.
22、（1）；（2）.
【解析】
(1)当时，讨论 取值范围去绝对值符号，计算不等式.
(2)利用绝对值不等式求函数最大值为 ，计算得到答案.
【详解】
解：（1）当时不等式即为
①当时不等式可化为得故
②当时不等式可化为恒成立故
③当时不等式可化为得故
综合得，不等式的解集为
（2）所以得为所求
本题考查了绝对值不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.