湖南省常宁一中2025届数学高二第二学期期末检测试题含解析.doc

湖南省常宁一中2025届数学高二第二学期期末检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图：在直棱柱中，，，分别是A1B1,BC,CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（ ）

A． B． C． D．
2．某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为，则（ ）
A．0.0999 B．0.001 C．0.01 D．0.00999
3．已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
5．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243
B．252
C．261
D．279
6．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
7．已知向量，，若，则( )
A． B．1 C．2 D．
8．若复数满足为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
9．已知二项式，且，则( )
A． B． C． D．
10．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（）
A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里
11．对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )

A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
12．是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为__________．
14．命题“使得”是______命题. （选填“真”或“假”）
15．函数在处的切线方程是______.
16． 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分） “过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有三种品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.
（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有家，则品牌的店各应抽取多少家？
（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的个白球和个红球.顾客可以一次性从盒中抽取个球，若是个红球则打六折（按原价的付费），个红球个白球打八折，个红球个白球则打九折，个白球则打九六折.小张在该店点了价值元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为，求的分布列与数学期望.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.
19．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若的最小值为，正实数，满足，求的最小值.
20．（12分）某市要对该市六年级学生进行体育素质调查测试，现让学生从“跳绳、短跑米、长跑米、仰卧起坐、游泳米、立定跳远”项中选择项进行测试，其中“短跑、长跑、仰卧起坐”项中至少选择其中项进行测试.现从该市六年级学生中随机抽取了名学生进行调查，他们选择的项目中包含“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数及人数统计如下表：（其中）
选择的项目中包含“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数

人数

已知从所调查的名学生中任选名，他们选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数不相等概率为，记为这名学生选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数之和.
（1）求的值；
（2）求随机变量的分布列和数学期望.
21．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

22．（10分）在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（为参数）．
（1）求圆和直线l的极坐标方程；
（2）点的极坐标为，直线l与圆相交于A，B，求的值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.
【详解】
以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
据此可得：，
，故，即直线PQ与AM所成的角是.
本题选择D选项.

本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、D
【解析】
根据题意服从二项分布，由公式可得求得。
【详解】
由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选D.
本题考查离散型随机变量的方差，由服从二项分布的方差公式可直接求出。
3、A
【解析】
根据是偶函数可以得出函数的对称轴，再根据函数在上单调递减可以得出函数在上的单调区间，从而解出不等式对任意的恒成立时的取值范围．
【详解】
是偶函数，所以得出函数的对称轴为，又因为函数在上单调递减，所以在上单调递增．因为，所以．因为不等式对任意的恒成立，所以．选择A
本题主要考查了函数的对称轴和奇偶性的综合问题，在解决此类题目时要搞清楚每一个条件能得出什么结论，把这些结论综合起来即得出结果．属于较难的题目．
4、C
【解析】
结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C．
点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解．
5、B
【解析】
由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=1．
6、A
【解析】
先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用的最小值为2，即可求得双曲线的离心率．
【详解】
由题意，可设点，，．
，且．
两式相减得．
再由斜率公式得：．

根据的最小值为2，可知，
所以a=b. 所以
，
故选：A
本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关
键．
7、B
【解析】
由，，表示出，再由，即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
又，所以，
即，解得.
故选B
本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
8、A
【解析】
根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.
【详解】
由题意得：
本题正确选项：
本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.
9、D
【解析】
把二项式化为，求得其展开式的通项为，求得，再令，求得，进而即可求解．
【详解】
由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得，即，解得，
所以二项式为，则，
令，即，则，
所以．
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10、D
【解析】
求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。
【详解】
地球表面上从甲地（北纬45°东经120°）到乙地（北纬45°西经150°），
乙两地对应的AB的纬圆半径是 ,经度差纬90°，
所以AB=R,球心角为60°，最短距离为
求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。
11、C
【解析】
试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x 与y 负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u 与v 正相关，故选C
考点：本题考查了散点图的运用
点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题
12、D
【解析】
整理,即可判断选项.
【详解】
由题,因为,
所以该函数是奇函数,周期为,
故选:D
本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-14
【解析】
分析：由，即
利用等差数列的通项公式可得： 当且仅当时，．即可得出结论．
详解：由由，即．
∴数列 为等差数列，首项为-5，公差为1．
可得：，
当且仅当时，．
已知 ，
则最小值为
即答案为-14.
点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14、真.
【解析】
分析：存在命题只需验证存在即可.
详解：由题可知：令x=0，则符合题意
故原命题是真命题.
点睛：考查存在性命题的真假判断，属于基础题.
15、
【解析】
函数，求导得：，当时，，即在处的切线斜率为2.
又时，，所以切线为：，整理得：.
故答案为：.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
16、60
【解析】
试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.
考点：排列组合
【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）品牌店家，应抽查品牌店家；（Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；
（2）求出随机变量的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意得，应抽查品牌店家，
应抽查品牌店家；
（Ⅱ）离散型随机变量的可能取值为.
于是，，
，.
的分布列如下

60
80
90
96

所以
本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.
18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）由椭圆的离心率为，以及点M在椭圆上，结合a，b，c关系列出方程组求解即可；
（2）分过椭圆右焦点的直线斜率不存在和存在两种情况，进行整理即可.
详解：（1）；

(2)因为右焦点,
当直线的斜率不存在时其方程为，
因此，设，则，
所以且，
所以，，
因此，直线和的斜率是成等差数列.
当直线的斜率存在时其方程设为，
由得，，
所以，
因此，，
，
，
，
所以，，
又因为，
所以有,
因此，直线和的斜率是成等差数列，
综上可知直线和的斜率是成等差数列.
点睛：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学转化思想方法，考查计算能力与解决问题的能力.
19、（1）；（2）9
【解析】
（1）可采用零点讨论法先求出零点，，再将x分为三段，，，分别进行讨论求解
（2）采用绝对值不等连式特点求出最小值，再采用均值不等式进行求解即可
【详解】
解：（1）①当时，，解得；
②当时，，恒成立；
③当时，，解得；
综上所述，该不等式的解集为.
（2）根据不等连式，
所以，，
，
当且仅当时取等号.
故最小值为9.
绝对值不等式的解法常采用零点讨论法，分区间讨论时，一定要注意零点处取不取得到的问题，如本题中将x分为三段，，；绝对值不等连式为：，应熟悉均值不等式常见的基本形式，知道基本形式都源于
20、 (1) (2)见解析
【解析】
分析：（1）由题意结合概率公式得到关于x的方程，解方程可得.
（2）由题意可知的可能取值分别为，，，，，该分布列为超几何分布，据此可得到分布列，利用分布列计算数学期望为.
详解：（1）记“选择短跑、长跑、仰卧起坐的项目个数相等”为事件，则：
，
所以，解得或，
因为，所以.
（2）由题意可知的可能取值分别为，，，，，
则，，，，.
从而的分布列为：

数学期望为
.
点睛：本题的核心在考查超几何分布.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
21、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
22、（1）圆的极坐标方程为， 的极坐标方程为；（2）．
【解析】
（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．
【详解】
（1）圆的直角坐标方程为：，
把代入圆得：
化简得圆的极坐标方程为：
由 （为参数），得，
的极坐标方程为：.
（2）由点的极坐标为得点的直角坐标为，
∴直线的参数方程可写成：（为参数）．
代入圆得：化简得：，
∴，，
∴．
本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.