江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年数学高二下期末统考试题含解析.doc

江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年数学高二下期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．60种
3．已知集合，集合满足，则集合的个数为
A． B． C． D．
4．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．对于问题：“已知是互不相同的正数，求证：三个数至少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做到的假设是（ ）
A．至少有一个不小于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于等于2 D．都大于等于2
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据表中数据可得回归直线方程，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为( )
A．15.2 B．15.4 C．15.6 D．15.8
10．已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是两个非空集合，定义集合，则 结果是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中常数项为______用数字表示．
14．已知服从二项分布，则 ________.
15．的展开式中第三项的系数为_________。
16．的平方根是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围．
18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和圆的极坐标方程；
(2)若射线与直线的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.
19．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：

（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；
（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用表示抽得甲组学生的人数，求的分布列和数学期望.
20．（12分）已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.
（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.
21．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形， 底面， 是棱的中点，
且.

（1）求证： 平面；
（2）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
22．（10分）已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
求导，把分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.
【详解】

将代入导函数方程，得到
将代入曲线方程，得到切点为：
切线方程为：
故答案选C
本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.
2、D
【解析】
直接根据乘法原理得到答案.
【详解】
根据乘法原理，一共有种选法.
故选：.
本题考查了乘法原理，属于简单题.
3、D
【解析】
分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可
详解：集合，集合满足，

则满足条件的集合的个数是
故选
点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。
4、D
【解析】
分析：利用二项分布的概率计算公式：概率
即可得出．
详解：：∵每次投篮命中的概率是，
∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率．
故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是．
故选D.
点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．
5、C
【解析】
找到要证命题的否定即得解.
【详解】
“已知，，是互不相同的正数，求证：三个数，，至少有一个数大于2”，用反证法证明时，应假设它的反面成立．
而它的反面为：三个数，，都小于或等于2，
故选：．
本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题．
6、D
【解析】
由三视图还原出原几何体，然后计算其表面积．
【详解】
由三视图知原几何体是一个圆锥里面挖去一个圆柱，尺寸见三视图．
圆锥的母线长为，
．
故选：D.
本题考查组合体的表面积，解题关键是由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构．
7、C
【解析】
这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.
【详解】
甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C.
本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.
8、B
【解析】
为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式求解即可．
【详解】
解：由题意，为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率．
抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4），
．
故选：．
本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9、C
【解析】
由于回归直线方程过中心点，所以先求出的值，代入回归方程中，求出，可得回归直线方程，然后令可得结果
【详解】
解：因为，

所以，所以回归直线方程为
所以当时，
故选： C
此题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属于基础题
10、D
【解析】
根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解
【详解】
，为减函数，
若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去
若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，的定义域满足，，因在区间上单调递减，故有，所以
答案选D
复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解
11、D
【解析】
对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.
【详解】
对，，因为大小无法确定，故不一定成立；
对，当时，才能成立，故也不一定成立；
对，当时不成立，故也不一定成立；
对，，故一定成立.
故选：D.
本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.
12、C
【解析】
根据定义集合分析元素特征即可得解.
【详解】
因为表示元素在中但不属于，那么表示元素在中且在中即，故选C.
本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-160
【解析】
二项式的展开式的通项为，．
令，可得，
即展开式中常数项为．
答案：
14、
【解析】
分析：先根据二项分布数学期望公式得，再求.
详解：因为服从二项分布，所以
所以
点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.
15、6
【解析】
利用二项展开式的通项公式，当时得到项，再抽出其系数.
【详解】
，
当时，，所以第三项的系数为，故填.
本题考查二项展开式的简单运用，考查基本运算能力，注意第3项不是，而是.
16、
【解析】
根据得解.
【详解】
由得解.
本题考查虚数的概念，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)函数的单调递增区间是；单调递减区间是
（2)．
【解析】
试题分析：(1)，根据题意，由于函数
当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是
（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．
考点：导数的运用
点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题．
18、（1）.（2）
【解析】
分析：（1）将直线的参数方程利用代入法消去参数，可得直线的直角坐标方程，利用，可得直线的极坐标方程，圆的标准方程转化为一般方程，两边同乘以利用利用互化公式可得圆的极坐标方程；（2）联立可得，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得，将代入，解方程即可得结果.
详解：（1）在直线的参数方程中消去可得，，
将，代入以上方程中，
所以，直线的极坐标方程为.
同理，圆的极坐标方程为.
（2）在极坐标系中，由已知可设，，.
联立可得，
所以.
因为点恰好为的中点，
所以，即.
把代入，
得，
所以.
点睛：消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
19、 (1)；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，来自同一小组的取法共有，所以.（2）的可能取值为0，1，2，
，，，写出分布列，求出期望．
试题解析：
（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，
从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，
这两名学生来自同一小组的取法共有，
所以.
（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.
的可能取值为0，1，2，
，，.
∴的分布列为：

.
20、 (1)见解析;(2).
【解析】
分析：⑴先求出，继而，令代入得
⑵构造，然后利用已知代入证明
详解：（Ⅰ）是偶函数
由已知得，∴，，∴
，即，所以是偶函数.
（Ⅱ）设，则，∴
所以，所以在上为增函数.
因为，又是偶函数，所以有，解得
∴不等式的解集为.
点睛：本题证明了抽象函数的奇偶性和单调性，在解答此类题目时方法要掌握，按照基本定义来证明，先求出和的值，然后配出形式，单调性要构造，然后按照已知法则来证明。
21、（1）证明见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）由 所以 ．又因为底面 平面；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和

．
试题解析： （1）连结，因为在中， ，所以，
所以．因为，所以．
又因为底面，所以，因为，
所以平面
（2）
如图以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则．因为是棱的中点，所以．
所以，设为平面的法向量，
所以，即，
令，则，所以平面的法向量
因为是在棱上一点，所以设．
设直线与平面所成角为，
因为平面的法向量，
所以．
解得，即，所以
考点：1、线面垂直；2、线面角.
22、 (1)；(2).
【解析】
（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；
（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数的取值范围．．
【详解】
解：（1）不等式等价于或或
解得或或，所以不等式的解集为．
（2）由知，当时，；
，
当且仅当时取等号，
所以， 解得． 故实数的取值范围是．
本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．