山东省莒县第二中学实验班2025届高二下数学期末复习检测试题含解析.doc

山东省莒县第二中学实验班2025届高二下数学期末复习检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数与函数的图象有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.
A．36 B．30 C．12 D．6
3．已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．2 C．2 D．4
4．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出的值为（ ）

A． B．2 C．0 D．无法判断
6．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )
A．，xR
B．，xR且x≠0
C．,xR
D．，xR
11．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）
(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)

A．甲的数据分析素养高于乙
B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C．乙的六大素养中逻辑推理最差
D．乙的六大素养整体水平优于甲
12．设，则 （　　）
A． B．10 C． D．100
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．
①； ②；
③； ④．
14．若，分别是椭圆：短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于，的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则__________．
15．在中，，，，则的面积等于__________.
16．若向量与平行．则__．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和，通项公式，数列的通项公式为.
（1）若，求数列的前项和及的值；
（2）若，数列的前项和为，求、、的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围.
18．（12分）设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(I)求复数z
(II)若复数+ m2(1 +i)-2i十2m -5为纯虚数，求实数m的值.
19．（12分）已知函数为奇函数，其中
求的值；
求使不等式成立的的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.
21．（12分）已知直三棱柱中，，.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离.
22．（10分）已知在等比数列{an}中，＝2，，＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{}为等差数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
通过参数分离得到，换元法设，画出函数和的图像，根据图像有三个交点得到范围.
【详解】
若函数与函数的图象有三个交点
有三个解.
设
当时单调递减，当单调递增.
画出图像：

是奇函数且是单调递增

有两个解，设为
有一个解，图象有三个交点
必须是两个解
故答案为B
本题考查了函数的零点问题，参数分离换元法是解题的关键.
2、A
【解析】
从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，
其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，
再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种.
本题选择A选项.
3、C
【解析】
利用即可解决．
【详解】
由题意得，因为向量与的夹角为，，，所以，所以，所以，所以选择C
本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题．
4、A
【解析】
从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果.
【详解】
分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法；
再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法，
由分步原理得，共有种分法．
故选：A
本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题.
5、B
【解析】
由条件结构，输入的x值小于0，执行y＝﹣x，输出y，等于0，执行y＝0，输出y，大于0，执行y＝1x，输出y，由x＝1＞0，执行y＝1x得解．
【详解】
因为输入的x值为1大于0，所以执行y＝1x＝1，输出1．
故选：B．
本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行．
6、D
【解析】
分析：根据条件概率求结果.
详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为，
选D.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.
7、B
【解析】
分析：利用函数的解析式，判断大于时函数值的符号，以及小于时函数值的符号，对比选项排除即可.
详解：当时，函数，
排除选项；
当时，函数，
排除选项，故选B.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
8、A
【解析】
分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.
详解：由虚轴长为可得，
右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，
，解得，
则双曲线的方程为，故选A.
点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
9、B
【解析】
由成立，得，
设，，则
则时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
且，
使得对于任意，对任意的，方程存在唯一的解，
则，即，即，
所以，所以实数得取值范围是，故选B．
点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键．
10、B
【解析】
首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，
对于先减后增，排除A，故选B.
考点：函数的奇偶性、单调性.
11、D
【解析】
根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】
根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误
根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误
根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误
根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确
故答案选D
本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.
12、B
【解析】
利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.
【详解】
，，.故选B.
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、②③
【解析】
由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．
【详解】
由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；
对②，的图形在的内部，无交点，不满足；
对③，的图形在的外部，无交点，不满足；
对④，与有交点，满足；
故答案为②③.
本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．
14、2
【解析】
设点坐标为，则．
由题意得，解得．
答案：2
点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
15、
【解析】
通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，
即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣1=0，又c＞0，
∴c=1．
S△ABC=AB•BCsinB=BC•h，
可知S△ABC=×1×2×=．
故答案为：．
本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
16、
【解析】
由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．
【详解】
由题意，向量与平行，所以，解得．
故答案为．
本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2），，，；证明见解析（3）.
【解析】
（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。
（2）求出，可求，，的值，猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明。
（3）问题转化为，对于任意正整数恒成立，设，利用导数求出函数的最值即可求出的范围。
【详解】
，，
，
=
（2），

，，，
猜想，
理由如下，
：当时，成立；
：假设时成立，则，
那么当时，
即 时，猜想也成立，
故由和，可知猜想成立；
（3），若 恒成立，
则 ，即 ，对于任意正整数恒成立，
设 ，，
令，解得 ，
当 时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
，
，
，，
，

本题考查了等比数列的求和公式、取极限、数学归纳法、导数求函数的最值，综合性比较强；在求参数的取值范围时可采用“分离参数法”，构造新函数，研究函数的最值。
18、 (1) .(2)
【解析】
分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m的值.
详解：
(1)设，由，得
又复数=在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则，即
又，所以，则
(2)=为纯虚数,
所以
可得
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
19、（1），.（2）
【解析】
（1）根据 ，可化简为，已知，解出的值；（2）根据（1）的结果，解不等式，求的取值范围.
【详解】
解：因为为奇函数，所以对定义域内任意的恒成立
即
化简得
故，，解得，.
由知
由，得
解得
综上，满足题意的的取值范围是
本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函数是奇函数时，经常利用，计算求解.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.
【详解】
（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，
由题设知.所以，
即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.
（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），
曲线的直角坐标方程，
代入得：，，
设方程两根为，则分别是对应的参数，
所以.
本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据直三棱柱的性质,可知直线与平面所成角即为,根据即可得解.
（2）根据结合三棱锥体积求法即可得点到平面的距离.
【详解】
（1）画出空间几何体如下图所示:

因为三棱柱为直三棱柱,所以即为直线与平面所成角
因为,
所以
即直线与平面所成角为
（2）因为直三棱柱中,,.
所以
则,
设点到平面的距离为
则
所以
即,解得
所以点到平面的距离为
本题考查了直线与平面的夹角,点到平面距离的求法及等体积法的应用,属于基础题.
22、（2）；（2）.
【解析】
(2)根据等比数列的性质得到＝2，＝2，进而求出公比，得到数列{an}的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.
【详解】
（2）设等比数列{an}的公比为q．
由等比数列的性质得a4a5＝＝228，又＝2，所以＝2．
所以公比．
所以数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－2．
设等差数列{}的公差为d．
由题意得，公差，
所以等差数列{}的通项公式为．
所以数列{bn}的通项公式为（n＝2，2，…）．
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn．
由（2）知，（n＝2，2，…）．
记数列{}的前n项和为A，数列{2n－2}的前n项和为B，则
，．
所以数列{bn}的前n项和为．
这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.