湖北省襄阳市2025届数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析.doc

湖北省襄阳市2025届数学高二第二学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数满足则时，( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
2．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A． B． C． D．
4．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知双曲线的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列中，，可得，由此归纳出的通项公式
7． “因为指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以函数是增函数(结论)”，上面推理的错误在于
A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
8．已知一组样本点，其中.根据最小二乘法求得的回归方程是，则下列说法正确的是（ ）
A．若所有样本点都在上，则变量间的相关系数为1
B．至少有一个样本点落在回归直线上
C．对所有的预报变量，的值一定与有误差
D．若斜率，则变量与正相关
9．己知复数，若为纯虚数，则
A．-1 B．1 C． D．
10．若满足，则的最大值为( )
A．8 B．7 C．2 D．1
11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为，则该球的体积为
A． B． C． D．
12．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．最低气温低于的月份有个
B．月份的最高气温不低于月份的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份
D．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：_____________________.(写出一条即可)
14．的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 .（用数字作答）
15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球面O的表面上，E、F分别是棱
、的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________
16．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）盒子中放有大小形状完全相同的个球，其中个红球，个白球.
（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取个球，求至少抽到个红球的概率；
（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取个球，记每抽到个红球得红包奖励元，每抽到个白球得到红包奖励元，求该人所得奖励的分布列和数学期望.
18．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.
19．（12分）如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,，是中点。

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求 与平面所成角的大小。
20．（12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立

(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；
(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
21．（12分）2019年春节，“抢红包”成为社会热议的话题之一．某机构对春节期间用户利用手机“抢红包”的情况进行调查，如果一天内抢红包的总次数超过10次为“关注点高”，否则为“关注点低”，调查情况如下表所示：

关注点高
关注点低
总计
男性用户

5

女性用户
7

8
总计
10

16
（1）把上表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关？
（2）现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动，以表示选中的男性用户中抢红包总次数超过10次的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验统计量，其中．
22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】
本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
2、C
【解析】
由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．
【详解】
由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，
由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，

由图象可知，，当时，，
则函数与函数在上没有交点，
结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.
本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．
3、A
【解析】
阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.
【详解】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选：A.
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.
4、B
【解析】
由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数与的值.
【详解】
由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，
由韦达定理得，解得.
故选B.
本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
5、C
【解析】
根据双曲线一个焦点可以求出,再根据一条渐近线的斜率为,可求出的关系,最后联立,解方程求出,求出方程即可.
【详解】
因为双曲线一个焦点的坐标为,所以,一条渐近线的斜率为,所以有,
而,所以,因此有.
故选：C
本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.
6、C
【解析】
推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理（一般→特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案.
【详解】
解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；
B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；
C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；
D为不完全归纳推理，属于合情推理．
故选：C．
本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.
7、A
【解析】
试题分析：大前提：指数函数是增函数错误，只有在时才是增函数
考点：推理三段论
8、D
【解析】
分析：样本点均在直线上，则变量间的相关系数，A错误；样本点可能都不在直线上，B错误；样本点可能在直线上，即预报变量对应的估计值可能与可以相等，C错误；相关系数与符号相同D正确.
详解：选项A：所有样本点都在，则变量间的相关系数，相关系数可以为 ， 故A错误.
选项B：回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B错误.
选项C：样本点可能在直线上，即可以存在预报变量对应的估计值与没有误差，故C错误.
选项D：相关系数与符号相同，若斜率，则，样本点分布从左至右上升，变量与正相关，故D正确.
点睛：本题考查线性回归分析的相关系数、样本点、回归直线、样本中心点等基本数据，基本概念的准确把握是解题关键.
9、B
【解析】
根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.
【详解】
由已知得： ，
所以 解得：
故选B.
本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.
10、B
【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线向上平移，增加，当过点时，为最大值．故选B．

考点：简单的线性规划问题．
11、A
【解析】
分析：设球的半径为R,再根据图形找到关于R的方程，解方程即得R的值，再求该球的体积.
详解：设球的半径为R,由题得
所以球的体积为.
故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查球的内接几何体问题和球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解题的关键是从图形中找到方程.
12、A
【解析】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．
【详解】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．
在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；
在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；
在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；
故选：A．
本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错
【解析】
分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适．
【详解】
分析残差能够帮助我们解决的问题是：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错；
故答案为：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错．
本题考查线性回归方程中残差的作用，是基础题．
14、10；32
【解析】
的展开式的通项为

由得故展开式中常数项为
取即得各项系数之和为.
15、.
【解析】
分析：
详解：正方体的外接球球心为O，半径为，假设2和线段EF相较于HG两点，连接OG，取GH的中点为D连接OD，则ODG为直角三角形，OD=，根据勾股定理得到 故GH=.
故答案为.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
16、
【解析】
由，列出关于首项为，公差为的方程组，解方程求得，可得，利用等比数列的求和公式可得结果.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则解得，
所以，所以，
所以是以2为首项，16为公比的等比数列，
所以数列的前项和为,
故答案为.
本题主要考查等差数列的通项公式以及等比数列的求和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）42元.
【解析】
（1）分为三种情况，即抽到个红球，抽到个红球和抽到个红球，概率相加得到答案.
（2）随机变量可能的取值为，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答案.
【详解】
(1)记至少抽到个红球的事件为,
法1：至少抽到个红球的事件，分为三种情况，即抽到个红球，抽到个红球和抽到个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为，
所以，
答：至少抽到个红球的概率为.
法2：至少抽到个红球的事件的对立事件为次均没有取到红球（或次均取到白球），
每次取到红球的概率均为（每次取到白球的概率均为），
所以
答：至少抽到个红球的概率为.
(2) 由题意,随机变量可能的取值为
，，，
，
所以随机变量的分布表为：

所以随机变量的数学期望为（元）.
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.
18、（1）或；（2）
【解析】
（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.
(2) 为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.
【详解】
解：（1）方程有实数解得，，解之得或；
（2）为假命题，则，
为真命题时，，，则
故.
故为假命题且为真命题时，.
本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.
19、 (1) (2)
【解析】
（1）推导出PA⊥AB，PA⊥AD．以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线DP与CQ所成角的余弦值．(2) 设平面法向量，与平面所成角,由得出，代入即可得解.
【详解】
（1）以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，，设与所成角是

所以与所成角是.
（2）设平面法向量，与平面所成角

令,
所以与平面所成角.
本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20、 (1) .
(2) 采取方案二最好，理由见解析.
【解析】
（1）设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，由题意可知，据此计算可得满足题意的概率值为.
（2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.
【详解】
（1）由题得，
设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.
设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则 .∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.
（2） 方案二好，理由如下：由题得，.
用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.
的分布列为：

.
的分布列为：

.
∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.
本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关．
（2）见解析，
【解析】
（1）先补充列联表，再根据公式求出的观测值并与1.841比较大小，从而得出结论；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，1，结合组合数求出相应概率，由此可得分布列与期望．
【详解】
解：（1）根据题意得列联表如下：

关注点高
关注点低
总计
男性用户
1
5
8
女性用户
7
1
8
总计
10
6
16
的观测值为，
所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，1．
，，
，．
得的分布列为

0
1
2
1

．
本题主要考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查计算能力，属于中档题．
22、 (1) ;(2)见解析.
【解析】
试题分析：
（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．
试题解析：
（1）由题意可得，解得．
故椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，消去整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴．
设点的坐标分别为，
则，
∴．
∵直线的斜率成等比数列，
∴，
整理得，
∴，
又，所以，
结合图象可知，故直线的斜率为定值．
点睛：
（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．
（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．