2025届甘肃省庆阳市孟坝中学高二下数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025届甘肃省庆阳市孟坝中学高二下数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，其中、是实数，是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知函数则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)
A．[0，1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
3．某同学从家到学校要经过两个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则他在第二个路口遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．有下列数据：

下列四个函数中，模拟效果最好的为( )
A． B． C． D．
5．已知非空集合，全集，集合, 集合则（ ）
A． B． C． D．
6．已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．)
7．对任意的，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设,，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量，且，则（ ）
A．1．25 B．1．3 C．1．75 D．1．65
10．已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）

A．有极小值，没有极大值 B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值 D．至少有一个极小值和两个极大值
12．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为、高为,则该容器外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数（是虚数单位）的虚部是_________
14．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.
15．已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.
16．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，其中，求；
（3）若存在，使得成立，求出实数的取值范围
18．（12分）已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求正整数的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项.
19．（12分）【选修4-4，坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.
20．（12分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，过点且倾斜角为的直线与交于不同的两点.
（1）求曲线的普通方程；
（2）求的中点的轨迹的参数方程（以为参数）.
21．（12分）已知函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值.
22．（10分）总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数的散点图如下

(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).
附：，
参考数据：

140
28
56
283

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由得，根据复数相等求出的值，从而可得复数的共轭复数，得到答案.
【详解】
由有，其中、是实数.
所以，解得，所以
则复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点为.
所以复数的共轭复数对应的点位于第四象限.
故选：D
本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.
2、D
【解析】
试题分析：函数的零点就是方程的根，
作出的图象，观察它与直线的交点，得知当时，或时有交点，即函数有零点.
考点：函数的零点．
点评：本题充分体现了数形结合的数学思想．函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点，做题时注意三者之间的等价转化．
3、C
【解析】
记在两个路口遇到红灯分别为事件A，B，由于两个事件相互独立，所以，代入数据可得解.
【详解】
记事件A为：“在第一个路口遇到红灯”，事件B为：“在第二个路口遇到红灯”，
由于两个事件相互独立，所以，
所以.
本题考查相互独立事件同时发生的概率问题，考查运用概率的基本运算.
4、A
【解析】
分析：将，，代入四个选项，可得结论.
详解：将，，代入四个选项，可得A模拟效果最好.
故选：A.
点睛：本题考查选择合适的模拟来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目.
5、B
【解析】
分析：根据题意画出图形，找出与的并集，交集，判断与的关系即可
详解：全集，集合, 集合
，，

故选
点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。
6、B
【解析】
因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来. 做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.
【详解】
因为双曲线的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有

因为的取值范围是全体实数集，
所以或，
即的取值范围是，
故选B.
本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.
7、B
【解析】
问题首先转化为恒成立，取自然对数只需恒成立，分离参数只需恒成立，构造，只要求得的最小值即可。这可利用导数求得，当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导（对函数式中不易确定正负的部分设为新函数）来研究函数（导函数）的单调性。
【详解】
对任意的N，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，构造，.
下证，再构造函数，设，令，，在时，，单调递减，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，所以，所以在上递减，所以最小值为.∴，即的最大值为。
故选：B。
本题考查不等式恒成立问题，解题时首先要对不等式进行变形，目的是分离参数，转化为研究函数的最值。本题中函数的最小值求导还不能确定，需多次求导，这考验学生的耐心与细心，考查学生的运算求解能力，难度很大。
8、A
【解析】
先研究函数单调性，再比较大小.
【详解】
,令，则
因此当时，即在上单调递减，
因为，所以，选A.
本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.
9、C
【解析】
利用正态分布的图像和性质求解即可.
【详解】
由题得，
所以.
故选：C
本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10、B
【解析】
设球心到平面的距离为，求出外接球的半径R=,再根据求出，再根据求三棱锥的体积.
【详解】
设球心到平面的距离为，
三棱锥外接圆的表面积为，则球的半径为，
所以，故，
由是的中点得：.
故选B
本题主要考查几何体的外接球问题，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
11、C
【解析】
根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论．
【详解】

如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，
将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，
当时，单调递增，所以有且．
对于=，
有，所以在时单调递减；
当时，单调递减，所以有且．
有，所以在时单调递增；
所以是的极小值点．
同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点．
故选C．
本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题．
12、C
【解析】
首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果
【详解】
根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r2＝8π，解得圆锥的底面半径为，
由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则，解得
所以表面积．
故选C．
本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据复数的结果，直接判断出其虚部是多少.
【详解】
因为，所以复数的虚部为.
故答案为：.
本题考查复数的虚部的辨别，难度容易.已知复数，则为复数的实部，为复数的虚部.
14、
【解析】
直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．
【详解】
，
则复数z的模为．
故答案为．
本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题．
15、
【解析】
分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围.
【详解】
，.
①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，
即，则，由于函数在区间上单调递增，
，，，解得；
②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，
即，则，由于函数在区间上单调递增，
，，，解得.
因此，实数的取值范围是，故答案为：.
本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
16、7.
【解析】
设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以
经过1个小时细胞有，
经过2个小时细胞有=，
······
经过8个小时细胞有，又，
所以，，.
故答案为7.
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据与之间关系，由题中条件，即可求出结果；
（2）根据题意，得到，再由（1）的结果，根据裂项求和的方法，即可求出结果；
（3）先由题意，得到存在，使得成立，求出 的最小值，即可得出结果.
【详解】
（1）因为数列的前n项和为，
当时，，
当时，也符合上式，；
（2），

.
（3）存在，使得成立，
存在，使得成立，即有解，
，
而，当或时取等号，
的取值范围为.
本题主要考查由前项和求通项公式，数列的求和问题，以及数列不等式能成立的问题，熟记与之间关系，以及裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.
18、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据等差中项的性质列方程可得出的值；
（2）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项；
（3）由，求出的取值范围，即可得出系数最大项对应的项的序数.
【详解】
（1）二项式展开式的通项为，
由于展开式系数的绝对值成等差数列，则，即，
整理得，，解得；
（2）第项的二项式系数为，因此，第项的二项式系数最大，此时，；
（3）由，得，
整理得，解得，所以当或时，项的系数最大.
因此，展开式中系数最大的项为.
本题考查二项式定理的应用，二项式系数的定义和基本性质，同时也考查了项的系数最大项的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．
【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论.
试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，
，
曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，
，
.
考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.
20、（1）（2）（为参数，）.
【解析】
（1）根据变换原则可得，代入曲线的方程整理可得的方程；
（2）写出直线的参数方程，根据与曲线有两个不同交点可确定倾斜角的范围；利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理得到，求得后，代入直线参数方程后即可得到所求的参数方程.
【详解】
（1）由得：，代入得：，
的普通方程为.
（2）由题意得：的参数方程为：（为参数）
与交于不同的两点，即有两个不等实根，
即有两个不等实根，，解得：.
设对应的参数分别为，
则，且满足，
则，.
又点的坐标满足
的轨迹的参数方程为：（为参数，）.
本题考查根据坐标变换求解曲线方程、动点轨迹方程的求解问题；求解动点轨迹的关键是能够充分利用直线参数方程中参数的几何意义，结合韦达定理的形式求得直线上的动点所对应的参数，进而代入直线参数方程求得结果.
21、（1）1,（2）最小值，最大值.
【解析】
分析：（1）由降幂公式化简表达式，得，利用辅助角公式化简三角函数式，最后代入求解。
（2）根据三角函数平移变换，得到平移后解析式为，利用整体思想求得取值范围；进而得到的最大值与最小值。
详解：
（1）
，
则.
（2）函数平移后得到的函数，
由题可知，.
当即时，取最小值，
当即时，取最大值.
点睛：本题综合考查了二倍角公式、降幂公式在三角函数化简中的应用，三角函数平移变换及在某区间内最值的求法，知识点综合性强，属于简单题。
22、 (1) 更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2) ；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.
【解析】
（1）根据散点图，可直接判断出结果；
（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.
【详解】
解：(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；
(2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：
x
1
4
9
16
25
36
49

1
2
3
4
5
6
7
y
0
4
7
9
11
12
13
容易计算，，.
通过上表计算可得：
因此
∵回归直线过点(，)，
∴，
故y关于的回归直线方程为
从而可得：y关于x的回归方程为
令x=144，则，
所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.
本题主要考查非线性回归方程，先将问题转化为线性回归方程，根据最小二乘法求出参数的估计值，即可得出结果，属于常考题型.