2025届河南省非凡吉名校创联盟数学高二下期末学业质量监测试题含解析.doc

2025届河南省非凡吉名校创联盟数学高二下期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（ ）
A．-1或2 B．0或2 C．2 D．1
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．6
3．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍
B．横坐标伸长到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位
4．已知函数，且，则=（ ）
A． B．2 C．1 D．0
5．的展开式的中间项为（ ）
A．24 B．-8 C． D．
6．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．已知展开式中项的系数为，其中，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ）
A． B．或 C． D．或
9．设是平面内的两条不同直线，是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右端，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值
11．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．渐近线方程为
C．虚轴长为4 D．离心率为
12．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在正项等比数列中，，，则公比________.
14．已知，之间的一组数据如表表示，关于的回归方程是，则等于______

0
1
2
4

3.9
7
14.1

15．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为_______ .
16．若，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点：

(1)求点D到平面A1BE的距离；
(2)在棱上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置；若不存在，请说明理由．
18．（12分）（1）用分析法证明：；
（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.
19．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

20．（12分）已知三点，，，曲线上任意一点满足．
（1）求的方程；
（2）动点在曲线上，是曲线在处的切线．问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.
（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．
22．（10分）已知集合，.
（1）求集合的补集；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．
详解：由，得 ，
∵是正项等差数列，
∴
，
∵是等比数列，
则，即
故选：D．
点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．
2、D
【解析】
分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于对称，得到两个概率相等的区间关于对称，得到关于的方程，解方程求得
详解：由题随机变量服从正态分布，且，则与关于
对称，则
故选D.
点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
3、A
【解析】
分析：先将三角函数化为同名函数然后根据三角函数伸缩规则即可.
详解：由题可得：，故只需横坐标缩短到原来的倍即可得，故选A.
点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题.
4、D
【解析】
求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值．
【详解】
因为，所以，解得，故选D．
本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题．
5、C
【解析】
由二项式展开式通项公式，再由展开式的中间项为展开式的第3项，代入求解即可.
【详解】
解：的展开式的中间项为展开式的第3项，即，
故选：C.
本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了展开式的中间项，属基础题.
6、C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：

，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
7、D
【解析】
求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数的取值范围
【详解】
当时，恒成立
若，为任意实数，恒成立
若时，恒成立
即当时，恒成立，
设，则
当时，，则在上单调递增
当时，，则在上单调递减
当时，取得最大值为
则要使时，恒成立，的取值范围是
故选
本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。
8、B
【解析】
利用二项式定理展开通项，由项的系数为求出实数，然后代入可得出该二项式展开式各项系数之和.
【详解】
的展开式通项为，
令，得，该二项式展开式中项的系数为，得.
当时，二项式为，其展开式各项系数和为；
当时，二项式为，其展开式各项系数和为.
故选B.
本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.
9、B
【解析】
试题分析：A．不能得出，所以本题条件是的不充分条件；B．，当时，不一定有故本命题正确；C．不能得出，故不满足充分条件；D．不能得出，故不满足充分条件；故选B.
考点：平面与平面垂直的方法.
10、B
【解析】
根据极值点的判断方法进行判断.
【详解】
若，则，，
但是上的增函数，故不是函数的极值点.
因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，
故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，
故是极大值.故选B.
函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．
（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；
（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；
11、B
【解析】
根据双曲线方程确定双曲线焦点、渐近线方程、虚轴长以及离心率，再判断得到答案.
【详解】
双曲线的方程为，则双曲线焦点在轴上；渐近线方程为；
虚轴长为；离心率为，判断知正确.
故选：
本题考查了双曲线的焦点，渐近线，虚轴长和离心率，意在考查学生对于双曲线基础知识的掌握情况.
12、D
【解析】
由已知得到：，
对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）= 
令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2 
，
且，选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用等比中项可求出，再由可求出公比.
【详解】
因为，，所以，，解得.
本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.
14、0.6
【解析】
根据表中数据，计算出，，代入到回归方程中，求出的值.
【详解】
根据表中数据，得到
，
，
代入到回归方程中，
得，
解得.
故答案为：.
本题考查线性回归方程过样本中心点，属于简单题.
15、
【解析】
若函数恰有4个不同的零点，令，即，讨论或，由求得，结合图象进而得到答案.
【详解】
函数，

当时，的导数为，
所以在时恒成立，
所以在上单调递减，
可令，
再令，即有，
当时，，只有，只有两解；
当时，有两解，
可得或，
由和各有两解，共4解，
有，解得，
可得的范围是：，
故答案是：.
该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.
16、
【解析】
取计算，取计算得到答案.
【详解】

取，则
取，则
故答案为
本题考查了二项式的计算，取特殊值是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2) 存在点，为中点
【解析】
（1）根据体积桥，首先求解出，进而根据解三角形的知识可求得，从而可构造关于所求距离的方程，解方程求得结果；（2）将平面延展，与底面交于且为中点，过点可作出的平行线，交于，为中点，即为所求的点；证明时，取中点，利用中位线可证得，从而可知平面，再利用平行四边形证得，利用线面平行判定定理可证得结论.
【详解】
（1）连接，，则

又，，

设点D到平面A1BE的距离为
则，解得：
即点D到平面A1BE的距离为：
（2）存在点，为中点
证明如下：取中点，连接，

分别为中点
又 ，则四点共面
平面
又四边形为平行四边形 ，又平面
平面
本题考查点到平面距离的求解、补全线面平行条件的问题.求解点到平面距离通常采用体积桥的方式，将问题转化为棱锥的高的求解问题.
18、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：
(1)结合不等式的特征，两边平方，用分析法证明不等式即可；
(2)利用反证法，假设这三个数没有一个大于或等于，然后结合题意找到矛盾即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）因为和都是正数，所以要证，
只要证，
展开得，
只要证，
只要证，
因为成立，所以成立.
（2）假设这三个数没有一个大于或等于，
即，
上面不等式相加得 （*）
而，
这与（*）式矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.
点睛：一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件；
二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
19、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
20、（1）；（2）存在，.
【解析】
分析：（1）先求出、的坐标，由此求得||和的值，两式相等，化简可得所求；（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）处的切线方程， D、E两点的横坐标，可得S△PDE和S△QAB的比值，从而求得参数值.
详解：
（1）依题意可得，
，
由已知得，化简得曲线C的方程：  ,
（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此
①当时， ，存在，使得，即l与直线平行，故当时与题意不符
②当时，，所以l 与直线一定相交，分别联立方程组，
解得的横坐标分别是
则，又，
有，
又于是
对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足，
解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、E两点的横坐标，是解题的关键，属于中档题．利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
21、（I）；（II）最大值为，最小值为.
【解析】
试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．
试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．
（II）曲线C上任意一点到的距离为．则
．其中为锐角，且．
当时，取到最大值，最大值为．
当时，取到最小值，最小值为．
【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．
22、（1）或；（2）
【解析】
（1）先解中不等式，得出取值范围，再利用数轴得到的补集；
（2）由必要条件得出是的子集，再通过子集的概念，得出的取值范围．
【详解】
（1），
或．
（2）“”是“”的必要条件，则，
，
解得：，
即的取值范围是．
本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.