2024-2025学年湖北省天门市三校数学高二第二学期期末统考试题含解析.doc

2024-2025学年湖北省天门市三校数学高二第二学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知面积为的等腰内接于抛物线，为坐标原点，，为抛物线的焦点，点.若是抛物线上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
3．（为虚数单位），则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．阅读如图所示的程序框图，则输出的S等于( )

A．38 B．40 C．20 D．32
5．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（ ）

A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟
7．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
8．若 ，则s1,s2,s3的大小关系为（ ）
A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s1
9．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，1）
C． D．（﹣1，0）
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C．3 D．
11．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于
A． B．
C． D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．
14．已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．
15．在极坐标系中，直线与曲线交于两点，则______.
16．若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最值．
18．（12分）如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.

（Ⅰ）求证：.
（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.
19．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．

表1：甲套设备的样本频数分布表
（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？
（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：

20．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
（参考公式: ，）
参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.
21．（12分）已知命题，使；命题，使.
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
22．（10分）如果，求实数的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由导数的几何意义，结合题设，找到倍数关系，即得解.
【详解】
由导数的几何意义，可知：

故选：D
本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
2、B
【解析】
根据题意求得两点关于对称，得到直线的方程为，由的面积为，求得，再把过点N的直线方程为，代入，求得判别式求得，最后利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】
设等腰直角三角形的顶点，且，
由，得，
所以，即，
因为，所以，即两点关于对称，
所以直线的方程为，
由，解得或，故，
所以，
因为的面积为，所以，
过点N的直线方程为，代入可得，
所以由，可得，此时直线的倾斜角为，
过M作准线的垂线，垂足为A，则，所以，
所以直线的倾斜角为或时，此时的最大值为，故选B.

本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中求得两点关于对称，合理利用抛物线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
3、A
【解析】
通过 求出 ，然后得到复数 对应的点的坐标．
【详解】
由得 所以复数 在复平面对应的点在第一象限．
本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
4、B
【解析】
模拟程序,依次写出各步的结果,即可得到所求输出值．
【详解】
程序的起始为
第一次变为
第二次变为
第三次变为
第四次变为
满足条件可得
故选：B.
本题考查程序框图中的循环结构,难度较易.
5、A
【解析】
由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】
由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点
而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但
所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
6、A
【解析】
分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．
详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin，
令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，
k=0，1，2，1．
∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=1×12+=17.5（分钟）．
故选A．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.
7、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
8、B
【解析】
选B.
考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.
9、A
【解析】
首先由题意可得，
再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案.
【详解】
由题意可得，
第一个式子解得或；
第二个式子化简为，
令，则，解得或，则或，
则或.即或.
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
本题主要考查以函数定义域为背景的恒成立问题，二次型函数的恒成立问题一般借助判别式进行处理，本题同时兼顾考查了对数的运算性质，综合性较强，侧重考查数学运算的核心素养.
10、D
【解析】
分析：作出三视图的直观图，然后根据组合体计算体积即可.
详解：如图所示：由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形，故该几何体的体积为：，故答案为
选D.
点睛：考查三视图还原为直观图后求解体积的计算，对直观图的准确还原是解题关键，属于中档题.
11、A
【解析】
记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，计算出和，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为.
【详解】
记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，
则，，
因此，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为，故选A.
本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
12、C
【解析】
根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果
【详解】
由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，
它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝
故选C
本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设圆C1上存在点P（x0，y0），则Q（y0，x0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围.
【详解】
设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），
则，
故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.
故答案为：
此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.
14、
【解析】
令＝＝＋＋＝，当时，取最小值12，解得，所以，则建立直角坐标系，，，设，则，，所以＝＝．综上所述，当时，取得最小值．
考点：1、平面向量的数量积；2、平面向量的模．
15、
【解析】
把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心在直线上可得．
【详解】
直线化为直线
圆化为，

配方为，可得圆心，半径．
则圆心在直线上，

故答案为：．
本题考查极坐标方程和普通方程的互化、圆的弦长公式计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
16、m≤1
【解析】
，使为真命题
则
解得
则实数的取值范围为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)增区间为（1，），(-)，减区间为（-1,1）；(Ⅱ) 最小值为，最大值为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数，然后解和的解集；
（Ⅱ）根据上一问的单调区间，确定函数的端点值域极值，其中最大值就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.
试题解析：（Ⅰ）根据题意，由于
因为>0,得到x>1,x<-1,故可知在上是增函数，在上是增函数，而则，故在上是减函数
（Ⅱ）当时，在区间取到最小值为．
当时，在区间取到最大值为.
考点：导数的基本运用
18、 (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到.
（2）过点作，则，，两两垂直，以B为坐标原点，以， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，计算两平面法向量夹角，证明点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.
详解：证明：（Ⅰ）在中，
因为，所以，所以，，
又因为，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
（Ⅱ）在平面内，过点作于点，
由（Ⅰ）知平面，所以，
又因为，平面，所以平面.
在平面内过点作直线，则平面.
如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
设，
又因为，
所以，.
在中，，
所以，，所以，
所以，，.
从而，.
设是平面的一个法向量，
所以，即，
所以，
取，得是平面的一个法向量.
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则 .
因此当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.

点睛：点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：
右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标
设两平面的法向量， 两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦；
当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为.
19、（1）800件；（2）见解析；
【解析】
（1） 结合频数分布表，求出满足条件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列联表，计算K2值，判断即可
【详解】
（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为；
∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）；
（2）由表1和图得到列联表：

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
42
90
不合格品
2
8
10
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得；
∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．
20、（1）；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．
试题解析：
（1）由数据求得
由公式求得
再由
所以关于的线性回归方程为.
（2）当时, , ；
同样, 当时, ,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的.
21、（1）（2）
【解析】
（1）若p为假命题，，可直接解得a的取值范围；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围。
【详解】
解：（1）由命题P为假命题可得：，
即，
所以实数的取值范围是.
（2）为真命题，为假命题，则一真一假.
若为真命题，则有或，若为真命题，则有.
则当真假时，则有
当假真时，则有
所以实数的取值范围是.
本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
22、
【解析】
分析：由复数相等的充分必要条件得到关于x,y的方程组，求解方程组可得.
详解：由题意得，解得.
点睛：本题主要考查复数相等的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.