2024-2025学年江苏省海安市数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省海安市数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数有( )
A．最大值为1 B．最小值为1
C．最大值为 D．最小值为
3．已知数列满足，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．已知，用数学归纳法证明时．假设当时命题成立，证明当时命题也成立，需要用到的与之间的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，设，若对任意的正整数，在区间内存在个数，，…，使得不等式成立，则的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
8．设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
9．幂函数的图象过点 ，那么的值为（ ）
A． B．64 C． D．
10．在三棱锥中，，点为
所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
11．今年全国高考,某校有3000人参加考试，其数学考试成绩 (，试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为（ ）
A．1300 B．1350 C．1400 D．1450
12．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x

y

则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数与函数的图象所围成的面积为，则实数的值为______．
14．若复数,其中是虚数单位,则__________.
15．若对任意实数，都有，则__________。
16．已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
18．（12分）如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四边形B1C1CB为矩形，过A1C作与直线BC1平行的平面A1CD交AB于点D．
（Ⅰ）证明：CD⊥AB；
（Ⅱ）若AA1与底面A1B1C1所成角为60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．

19．（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学。高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）

（1）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？

（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望.
参考公式
临界值表

20．（12分）已知定点及直线,动点到直线的距离为,若.
(1)求动点的轨迹C方程；
(2)设是上位于轴上方的两点, 坐标为,且,的延长线与轴交于点,求直线的方程.
21．（12分）已知函数.
(1)若曲线在处的切线过点,求的值;
(2)是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理山 .
22．（10分）已知不等式.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为，求的范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．
详解：由题意可得，当时，，即．
所以．
故选D．
点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．
2、A
【解析】
对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】
解:，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
有最大值为，故选A.
本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.
3、A
【解析】
分析：先根据已知推算出数列的周期，再求的值.
详解：，所以
因为，
所以
点睛：（1）本题主要考查数列的递推和周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求数列的某一项时，如果n的取值比较大，一般与数列的周期有关，所以要推算数列的周期.
4、C
【解析】
分别根据已知列出和，即可得两者之间的关系式.
【详解】
由题得，当时，，
当时，，
则有，故选C.
本题考查数学归纳法的步骤表示，属于基础题.
5、B
【解析】
由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．
【详解】
解：∵双曲线的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0）的距离为1，∴a＝1；
又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是yx，而抛物线的准线方程为x，因此﹣1（﹣2），﹣2，
联立得，解得a＝2，b＝1，p＝1．
故双曲线的标准方程为：．
故选：B．
本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．
6、B
【解析】
设，因，故，由题意过点可得；同理可得，因此是方程的两个根，则，故．由于在上单调递增，且，所以，因此问题转化为对一切正整数恒成立．又，故，则，由于是正整数，所以，即的最大值为，应选答案B．
7、A
【解析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.
【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.
因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8、D
【解析】
试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．
考点：零点存在定理
9、A
【解析】
设幂函数的解析式为 ∵幂函数的图象过点
.
选A
10、B
【解析】
建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.
【详解】
由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任 一点，则 ，由题与所成角为定值，，则
则 ，化简得 ， 故动点的轨迹是椭圆.
选B
本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.
11、C
【解析】
根据正态分布的对称性计算，即
【详解】
100分是数学期望，由题意成绩高于130分的有100人，则低于70分的也有100人，70到130的总人数为3000－200＝2800，因此成绩高于100分低于130分的人数为．
故选C．
本题考查正态分布，解题关键是掌握正态分布曲线中的对称性，即若，则，．
12、D
【解析】
根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．
【详解】
解：根据，，代入计算，可以排除；
根据，，代入计算，可以排除、；
将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意
故选：．
本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出两函数的交点坐标，可得知当时，，由此得出两函数图象所围成区域的面积为，可解出实数的值.
【详解】
联立，得或，当时，由不等式的性质得.
所以，函数与函数的图象所围成的面积为，
即，解得，故答案为：.
本题考查利用定积分计算曲边三角形的面积，解题时要结合题意确定被积区间与被积函数，并利用定积分公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
14、6
【解析】
由可得，代入，利用复数乘法的运算法则求解即可.
【详解】
∵,
∴.
∴，故答案为6.
本题主要考查复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
15、6
【解析】
将原式变为，从而可得展开式的通项，令可求得结果.
【详解】
由题意得：
则展开式通项为：
当，即时，
本题正确结果：
本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够构造出合适的形式来进行展开.
16、
【解析】
根据函数奇偶性和可推导得到函数为周期函数，周期为；将
变为，根据奇函数可得，且可求得结果.
【详解】
为奇函数 ，又

是周期为的周期函数

又，

本题正确结果：
本题考查利用函数的周期性求解函数值的问题，关键是能够利用函数的奇偶性和对称性求解得到函数的周期，从而将所求函数值变为已知的函数值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.
试题解析：（1）∵平面，∴.
又∵二面角为直二面角，且，
∴平面，
∴，∴平面，
∴.　
（2）取的中点，连接，.
∵四边形为正方形，∴，∴，
即为二面角的平面角，又，
∴，由（1）知，且，
∴，∴，由，解得，
∴，即
∴，即二面角的余弦值为.　
（3）取的中点，连接，
∵，二面角为直二面角，
∴平面，且.
∵，，∴平面，∴，
∴，又，
由，得，∴.

点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所作角是二面角的平面角；点到面的距离还原到体积问题，则利用等体积法解题.
18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接AC3交A3C于点E，连接DE．推导出BC3∥DE，由四边形ACC3A3为平行四边形，得ED为△AC3B的中位线，从而D为AB的中点，由此能证明CD⊥AB．（Ⅱ）过A作AO⊥平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值．
【详解】
（Ⅰ）连接AC3交A3C于点E，连接DE．
因为BC3∥平面A3CD，BC3⊂平面ABC3，平面ABC3∩平面A3CD＝DE，
所以BC3∥DE．
又因为四边形ACC3A3为平行四边形，
所以E为AC3的中点，所以ED为△AC3B的中位线，所以D为AB的中点．
又因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．

（Ⅱ）过A作AO⊥平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，设AB＝3．
因为AA3与底面A3B3C3所成角为60°，所以∠AA3O＝60°．
在Rt△AA3O中，因为，
所以，AO＝2．
因为AO⊥平面A3B3C3，B3C3⊂平面A3B3C3，
所以AO⊥B3C3．
又因为四边形B3C3CB为矩形，所以BB3⊥B3C3，
因为BB3∥AA3，所以B3C3⊥AA3．
因为AA3∩AO＝A，AA3⊂平面AA3O，AO⊂平面AA3O，所以B3C3⊥平面AA3O．
因为A3O⊂平面AA3O，所以B3C3⊥A3O．又因为，所以O为B3C3的中点．
以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
则，C3（0，﹣3，0），A（0，0，2），B3（0，3，0）．
因为，
所以，，
因为，
所以，，，
，．
设平面BA3C的法向量为＝（x，y，z），
由得
令，得z＝3，所以平面BA3C的一个法向量为．
设平面A3CC3的法向量为＝（a，b，c），
由得
令，得b＝﹣2，c＝3，所以平面A3CC3的一个法向量为．所以，
因为所求二面角为钝角，所以二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值为．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
19、（1）列联表见解析；有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”；（2）
【解析】
（1）根据频数表可补充列联表，从而计算求得，得到有以上的把握；（2）首先确定所有可能的取值，分别计算每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望计算公式求得期望.
【详解】
（1）补充的列联表如下表：

传统教学
创新教学
总计
成绩优秀

成绩不优秀

总计

有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”
（2）由题意得：所有可能的取值为：
则；；
；
的分布列为：

数学期望
本题考查独立性检验的应用、服从超几何分布列的随机变量的分布列和数学期望的求解；关键是能够准确确定随机变量所服从的分布类型，进而运用对应的公式求解概率，属于常考题型.
20、（1）（2）
【解析】
（1）直接把条件用坐标表示，并化简即可；
（2）设，由可得的关系，的关系，再结合在曲线上，可解得，从而能求得的方程．
【详解】
（1）设，则由，知
又，∴
由题意知：
∴
∴
∴点的轨迹方程为
（2）设，
∵
∴为中点，
∵
∴
∴
又，∴
又，∴
∵，∴，∴
∴直线方程为
本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．
21、（1）或（2）存在，使得不等式成立，详见解析
【解析】
（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程，由切线过点可求得参数，从而得切线方程；
（2），要使恒成立，则是的极小值点，先由此结论求出参数，然后验证是极小值，也是最小值点．
【详解】
（1）

∴曲线在处的切线方程为
又切线过点
∴
∴或
（2）的定义域为
，要使恒成立，则是的极小值点.
∵
∴，∵，∴
此时，，
当时，，
当时，，
∴在处取得极小值1，
∴ 当时，，
当时，，即
∴ 当时，恒成立，
∴
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题，通常转化为求函数极值．本题通过不等式恒成立及，因此问题转化为就是极小值，从而先求出参数的值，然后再证明恰是极小值即可．
22、（Ⅰ）;（Ⅱ）是
【解析】
试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而可得不等式的解；（2）由不等式的解集为，由（1）作函数图形，结合图形，可直线斜率，从而可求出实数的取值范围，由此问题可得解.
试题解析：（1）由已知，可得
当时，若，则，解得
若，则，解得
若，则，解得
综上得，所求不等式的解集为；
（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，
由（1）可得点，由此可得，即.
所以，所求实数的范围为.