2025届云南省玉溪师范附中高三上学期开学考-数学试卷（含答案）.docx

玉溪师范学院附属中学 2024-2025 学年高三上学期开学适应性考试
数学
考试范围：高考范围；考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题）
一､单选题（每小题 5 分，共 8 小题，共计 40 分）
{∣
=
ÎN}
A
=
x ax 2,a
A N
Í
a
，若 ，则所有 的取值构成的集合为（
1
.已知集合
）
A.{ }
B.{1}
C.{0,1, 2}
N
1
,2
D.
z =
2
.已知复数 z = 8i2024 + 6i （i 为虚数单位），则
A.8 B.9 C.10 D.100
.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据
（
）
x , x , x ,L, x
1
x , x
重复记
3 9
3
，后来复查数据时，又将
2
3
9
录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（
）
A.平均数
B.中位数
C.极差
D.众数
x
2
4
.函数 f (x) =
的图象大致为（
）
e
x
A.
C.
B.
D.
A, B
x
2
= 2y
O
OA = OB ，且VAOB 的面积为12 3 ，则Ð AOB =
上的两点， 为坐标原点.若
5
.
是抛物线
）
（
A.30o
B. 45o
C. 60o
D.120o
r
r
{r
a - 2b,ar +b,2c
r}
p {a,b,c}为基底时的坐标为(2,-3,3)
以
p
6
.已知向量
，则
以
为基底时的坐标为（
）
æ
è
5
2
1 3 ö
,- , ÷
2 2 ø
æ 5 1 3 ö
, , ÷
B.
A.
ç
ç
C.(1,3, 2)
D.(1,-3, 2)
è 3 3 2 ø
.若""xÎ[ ]
0,2 ,2
x-1
+
2-x
-
m 0
"为假命题，则 的取值范围为（
<
m
7
）

æ
è
9ù
é9
ë4
ö
ø
A.(-¥,
ù
é
2,+¥ )
2
-¥
, ú
4û
ê ,
+¥
B. ë
C.
ç
D.
÷
û
ì
2x + 2, x < 0
f x = ex - e-x + 2sinx,g x = í
.已知函数 ( )
( )
x
f (g (x))- m = 0
，若关于 的方程 有两个不等
8
e
x
-1, x ³ 0
î
x , x
x < x
x - x
，则 的最大值是（
实根
，且
）
1
2
1
2
2
1
1
2
ln2 +
3- ln2
ln2 +1
D.
A. ln2
B.
C.
二､多选题（每小题 6 分，共 3 小题，选对得部分分，选错得 0 分，共计 18 分）
6
æ
1
ö
9
.在ç2x -
÷ 的展开式中，下列命题正确的是（
）
è
x ø
A.偶数项的二项式系数之和为 32
B.第 3 项的二项式系数最大
C.常数项为 60
D.有理项的个数为 3
x
2
2
y
2
2
0.已知椭圆 E :
+
=1(a > b > 0) 的左､右焦点分别为
F ,F
，左､右顶点分别为
A, B, P
是
E
上异于
1
1
2
a
b
A, B 的一个动点.若3 AF1 = BF
，则下列说法正确的有（
）
1
1
2
A.椭圆 E 的离心率为
3
PF ^ F F
cosÐ PF F =
，则
B.若
1
1
2
2
1
5
3
4
C.直线 PA 的斜率与直线 PB 的斜率之积等于 -
D.符合条件 PF × PF = 0 的点 P 有且仅有 2 个
1
2
æ
è
3 ö æ
2 ø è
3 ö
2 ø
1.已知函数 ( )的定义域为
R, f (x + y)- f (x - y)= f çx + ÷ f çy + ÷, f (0 )¹ 0
f x
1
，则（
）
æ
è
3 ö
2 ø
f ç ÷ = 0
f (x)
是奇函数
A.
B.函数
C. f (0) = -2
f (x)
的一个周期为 3
D.
第 II 卷（非选择题）
三､填空题（每小题 5 分，共 3 小题，共计 15 分）
A, B,C, D, E
A, B 等级的比例为16%,34%
.假设某
1
2.某省的高中数学学业水平考试，分为
五个等级，其中
(
s 2 )
N 80,
A
次数学学业水平考试成绩服从正态分布
，其中王同学得分 88 分等级为 ，李同学得分 85 分等

级为 B .请写出一个符合条件的s
值__________.
(m s ) P(m -s £ X £ m +s ) » 0.68 ， P(m - 2s £ X £ m + 2s ) » 0.95)
，则
X
~
N
,
2
（参考数据：若
1
3.有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占 40% ，甲厂生产的次品率为 2% ，乙厂生产
6
0% ，乙厂生产的次品率为3%，从中任取一件产品是次品的概率是__________.
的占
f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < π)的部分图象如图所示.若在VBCD
中，
4.已知函数 ( )
(
)
1
æ
è
B ö
2 ø
CD = 3, f ç ÷ = 3 则VBCD
，
面积的最大值为__________.
四､解答题（15 题 13 分，16､17 题各 15 分，18､19 题各 17 分，共计 77 分）
5.已知等差数列{ }，若
a =11
6
a
a ,a ,a
，且 成等比数列.
14
1
n
2
5
（1）求数列{an}的通项公式；
1
a < 2
1
b =
n
{b }
n
的前 项和
S
n
（2）若
，设
，求数列
.
anan+1
n
1
6.2021 年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过
x, y
一段时间的运营后，统计得到
之间的五组数据如下表：
x
y
1
9
2
3
4
5
11
14
26
20
x
y
其中， （单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入， （单位：百万元）是科技创新和市场开发
后的收益.
y
r
（
1）求相关系数 的大小（精确到 0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发
x
的总投入 的线性相关程度；
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研 100 名男女消费者中，得到的数据如下表：
满意
45
不满意
10
总计
55
男
女
25
20
45
总计
70
30
100

是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？
（3）对（2）中调研的 45 名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出 9 名女消费者到公司进行
现场考察，再从这 9 名女消费者中随机抽取 4 人进行深度调研，设这 4 人中选择“满意”的人数为 X ，求 X
的分布列及数学期望.
n
å
(xi - )( - )
x
y
y
i
r =
i=1
参考公式：①
；
n
n
å
å
(xi - )2 ( - )2
x
y
y
i
i=1
i=1
n(ad -bc)2
+ )( + )( + )( + )
a b c d a c b d
K
2
=
n = a +b+c + d
②
，其中
.
(
临界值表：
(
³ )
P K
2
k
0
2
.100
.706
0.050
3.841
0.025
0.010
0.001
0
k0
5.024
6.635
10.828
参考数据： 485 » 22 .
A, PC ^
ABC, E､F
1
7.如图所示， AB 是eO 的直径，点C 是 eO 上异于
平面
分别为 PA ， PC
的中点，
PBC
（
（
1）求证： EF ^ 平面
；
6
2）若 PC = 2, AB = 2 2 ，二面角
B - PA-C
的正弦值为
BC .
，求
3
x
2
2
y
2
2
3
A a,0 , B 0,-b)
(
) (
-
=1的渐近线方程为 y = ±
l
的直线为 ，原
1
8.已知双曲线
x ，左焦点为 F，过
a
b
3
3
l
点到直线 的距离是
.
2
（
1）求双曲线的方程；
y = x + m交双曲线于不同的两点C, D
m
（2）已知直线
，问是否存在实数 ，使得以CD 为直径的圆经过双
m
曲线的左焦点 F .若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

ax2 + bx + c = 0 a ¹ 0
(
)①，有两根
x , x
a(x - x )(x - x ) = 0
，则方程可变形为
1
9.设实系数一元二次方程
，
1
2
1
2
展开得 ax2
- a(x + x )x + ax x = 0
②，
1
2
1
2
ì
b
x + x = - ,
ï
1
2
a
比较①②可以得到 í
= c
,
ï
x x
1 2
ï
î
a
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相
反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
ì
b
a
x + x + x = -
ï
1
2
3
ï
ï
c
设方程 ax3
+ bx2 + cx + d = 0(a ¹ 0)
有三个根
x , x , x
，则有
íx x + x x + x x =
③
1
2
3
1
2
2
3
3
1
a
ï
ï
d
a
x x x = -
ï
1
2
3
î
（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
f (x) = ax3
+ bx2 + x +1(a 0)
<
（2）已知函数
恰有两个零点.
(
)
f x
（i）求证：
的其中一个零点大于 0，另一个零点大于-2 且小于 0；
a + b
（ii）求
的取值范围.

玉溪师范学院附属中学 2024-2025 学年高三上学期开学适应性考试
数学 答案
考试范围：高考范围；考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题）
一､单选题（每小题 5 分，共 8 小题，共计 40 分）
1
.【答案】C
Q
【详解】
A
= {∣ = }
x ax 2 , A
Í
N
A = Æ
a = 0
时，易求
，故当
；
2
A ¹ Æ
x = Î N
a =1或 2.综上得： aÎ{0,1, 2}
得，
当
时，由
a
2
.【答案】C
【
详解】 z = 8i2024 + 6i = 8´1+ 6i = 8+ 6i ，所以 z = 82 + 62 =10
3
.【答案】C
【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
x , x
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将
所以极差一定不变，
重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，
3
9
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
.【答案】A
4
(
- )
x 2 x
【
详解】由解析式知： f ¢(x) =
，
e
x
\
0 < x < 2时 f ¢(x) > 0, f (x)
x < 0 x > 2 f ¢(x)< 0, f (x)
递增； 递减；
或
时
结合各选项易知：A 符合要求.
.【答案】C
5
【详解】如图，
æ
2
ö
æ
2
ö
a
a
OA = OB
A, B
y
两点关于 轴对称，设
A
ç-
a,
,B a,
Q
÷
ç
÷
，知
2 ø
2 ø
è
è
1
a
2
2 3
3
(
)
\
SVAOB = ´2a´ =12 3
=
\
\
q =
=
，
解得 a 2 3, B 2 3,6 , tan
，
2
2
6
3

\
q = 30o,\Ð AOB = 2q = 60o
.
6
.【答案】B
r
r
r
r
r
p {a,b,c}为基底时的坐标为(2,-3,3)
以
p = 2a -3b + 3c
【详解】因为向量
，所以
，
r
r
r
r
r
r
( - )+ ( + )+
= ( + ) + ( - ) +
p
=
x a 2b y a b 2zc
x y a y 2x b 2zc
设
，
ì
5
3
1
3
3
2
x =
ï
ì
x + y = 2
ï
ï
ï
í
由空间向量基本定理得
y - 2x = -3，解得 íy =
ï
ï
2z = 3
î
ï
z =
ï
î
r
r
r
æ 5 1 3 ö
ç , , ÷
p {a - 2b,a +b,2c}
以
所以
为基底时的坐标为
.
è
3 3 2 ø
7
.【答案】C
$xÎ[0, 2],2
x-1
+
2-x m 0
"为真命题，
-
³
【详解】由题意得该命题的否定为真命题，即"
2
x-1 + 2-x - m ³ 0 即 m £ 2x-1 + 2-x ，
1
2
1
xÎ[ ]，则t Î[1, 4]，则存在t Î[1, 4]
0,2
令t = 2x ，因为
，使得
m
£
t
+
成立，
t
t
1
t
1
f t = +
令 ( )
=
，令
，则t
=
é
2 （负舍），
2
t
2
t
(
)
)
(
ù
f t
1, 2
2,4
则根据对勾函数的性质知
在 ë
上单调递减，在
û 上单调递增，
3
9
4
9
4
9
4
f 1 = , f 4 =
且 ( )
( )
f (t)max = f (4) =
m £
，则
，则
.
2
8
.【答案】B
f (x) = ex - e-x
+
2sinx
可得：
【详解】由
(
)
R, f x ex e-x 2cosx 2 2cosx 0
¢( ) =
+
+
³ +
³
f x
函数
的定义域为
，
(
)
f x
R
所以函数
在
上单调递增.
( )
令t g x
=
.
f (g (x))- m = 0
x
因为关于 的方程
x , x , x < x
有两个不等实根
，
1
2
1
2
的方程t = g (x)
有两个不等实根
.
x
x , x , x < x
则关于
1
2
1
2
( )
g x
的图象，如图所示：
y
=
作出函数

所以结合图形可知t
Î
[0, 2).
由t g x 可得：t 2x1 2,t = ex -1，
=
( )
=
+
2
1
1
x = t - 2 ,x = ln t +1
(
)
(
)，即有 x - x = ln(t +1)- (t - 2)
解得：
.
1
2
2
1
2
2
1
1
1-t
(
1
设 ( )
(
)
(
)
[
j t =
¢( )
t = ln t +1 - t - 2 ,t Î 0,2)，则
- =
j
) .
t +1 2 2 t +1
2
令j¢(t) >
，得：
£ < ；令j¢(t)< 0
0 t 1
，得：
，
0
1< t < 2
1
2
j
( )在区间[0,1)上单调递增，在区间(1, 2)上单调递减，所以j =j (1)= ln2+
t
max
所以函数
.
二､多选题（每小题 6 分，共 3 小题，选对得部分分，选错得 0 分，共计 18 分）
9
.【答案】AC
【
详解】偶数项的二项式系数之和为 2n-1 = 25 = 32，故 A 正确；
根据二项式，当 r = 3时
C36 的值最大，即第 项的二项式系数最大，故 错误
4
B
r
æ
1
ö
6-3r
Tr+1
=
C
3
r
6
(2x)6-r
ç-
÷ = -
( 1)r ×Cr ×26-r
×
x
2
，
6
è
x
ø
6
- r = 0,r = 4,\T = C
4
6
×2
2
= 60
令
，故 C 正确；
5
2
3
- r
为整数时，
r = 0, 2, 4,6
6
，故有理项的个数为 4，故 D 错误.
2
1
0.【答案】AC
AF = a - c, BF = a + c
3 AF1 = BF 即3(a - c) = a + c
【详解】A 选项，
，因为
，
1
1
1
c
1
2
a = 2c
e =
=
解得
，所以离心率
，故 A 正确；
a
PF ^ F F
PF1,PF
B 选项，若
，连接
，
1
1
2
2

2
+
2
=
2
RtVPF1F
PF
F1F2
PF2
，又因为点 在椭圆上，
P
在
中，由勾股定理得
2
1
PF + PF = 2a
所以
，
1
2
2
PF2 2 ，又由
5
所以(2a - PF
)
+
(2c)
2
=
=
a = 2c
PF = c
，解得
，
2
2
2
F1F
2
2c
4
cosÐ PF F =
=
所以
2
1
PF2
5
5 ，故 B 错误；
c
2
P x , y , A -a,0 , B a,0
C 选项，设 (
) (
) (
)
0
0
y0
+
y0
-
y0
y0
-
y02
k
=
,kPB
=
,k ×k
PA
=
´
=
则
，
PA
PB
+
x02
-
2
x0
a
x0
a
x0 a x0
a
a
x
2
0
y
2
0
2
+
=1，因为 a = 2c
a
2
= 4c2 ,b2 = 3c2
，
又因为点 P 在椭圆上，所以
，所以
a
2
b
3
3
4
x
(x
)
3
2
0
-
3
c
2
- x2
-
2
0
- 4c2
y
3
y
2
0
= 3c2 - x2
4
4c2
0
从而
，所以
，故 C 正确；
kPA
×kPB
=
=
=
=
0
4
2
2
0
2
0
x
2
0
a
x
-
-
4c2
4
D 选项，因为 PF × PF = 0 ，所以点 P 在以
F F
c
为直径的圆上，半径为 ，
1
2
1
2

又因为b = 3c > c ，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的
点 P ，故 D 错误.
1
1.【答案】AC
æ
è
3 ö
2 ø
æ 3 ö
f ç ÷ = 0
，A 选项正确；
x = y = 0
f (0)- f (0) = f
2
【详解】令
，则
ç ÷
，所以
è 2 ø
æ
è
3 ö æ
2 ø è
3 ö
2 ø
x = 0
f (y)- f (-y) = f ç ÷ f ç y + ÷ = 0
f (y) = f (-y)
f (x)
是偶函数，B 选项错
令
，则
，即
，所以
误；
3
2
(
) = (- )
= y =
( )- ( ) =
f 3 f 0
2
( )
3
，
f 3
f
3
x
f
，令
，则
3
2
x = y = -
f -3 - f 0 = f
( ) ( )
2
( )
0 = f (3)- f (0)
f
2
(0)= f
f (0) = -2, f (3) = 2
，C 选项正确；
2
(3)
令
，则
，所以
，
所以( ( )
( ))
2
( )
f (0) ¹ 0
0 ，因为 ，所以
f
2
0
+
，则
3 ö
f 0
=
f
2
3
æ
è
3 ö
æ
3 ö
æ
3 ö
æ
è
3 ö
2 ø
y = -
f ç x - ÷ - f ç x + ÷ = f ç x + ÷ f (0)= -2f ç x + ÷
令
，
2
2 ø
è
2 ø
è
2 ø
æ
è
æ
3 ö
æ
3 ö
2 ø
æ
9 ö
æ
è
3 ö
2 ø
æ
è
9 ö
2 ø
f ç x - ÷ + f ç x + ÷ = 0, f ç x + ÷ + f ç x + ÷ = 0
f ç x - ÷ = f ç x + ÷, f (x)
所以
期为
，所以
的一个周
2 ø
è
2 ø
è
è
2 ø
6
,选 D 项错误.
第 II 卷（非选择题）
三､填空题（每小题 5 分，共 3 小题，共计 15 分）
1
2.【答案】7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）
【详解】由题意可知，85 £ 80+s £ 88，解得5 £ s £ 8.
故答案为：7（答案不唯一，只需要填区间[5, 8]内的任意一个值）.
1
3
0
.026 /
1
3.【答案】
5
00
A , A
为甲，乙两厂生产的产品， 表示取得次品，
B
【详解】设
1
2
(
) =
( ) =
(
) =
(
) =
P A
0.4, P A
0.6, P B∣A
0.02, P B∣A 0.03，
1
2
1
2
(
) = ( ) (
)+ ( ) (
) =
0.4 0.02 0.6 0.03 0.026
´
+
´
=
.
P B P A P B∣A
P A P B∣A
所以
1
1
2
2
所以任取 1 件产品的概率为 0.026.
3
3 / 3
1
4.【答案】
3
4
4

T
π
π
2π
=
-
=
，解得w = 2
f (x) = Asin(2x +j)
A > 0
，
【详解】由图象可得
，所以
，由
4
3 12 4w
æ
è
π
ö
ø
π
æ
è
π ö
3 ø
sinç2´ +j÷ =1,0 < j < πÞ j =
f (x) = Asinç2x + ÷
由图
，即
，
12
3
π
æ
è
π ö
3 ø
由 f (0)= 3
Asin = 3 Þ A = 2
f (x) = 2sinç2x + ÷
，得
.故
，
3
æ
è
B ö
2 ø
æ
è
πö
3 ø
3
在VBCD
中，
f ç ÷ = 3 Þ sinç B + ÷ =
，
2
π
π
3
4π
3
π
3
2π
π
3
Q
0 < B < π, < B +
<
Þ B +
=
B =
，即
，
3
3
B,C, D 的对边为b,c,d
，由CD = b = 3 ，
设角
则b2 = c2 + d
2
- 2cdcosB = c2 + d - cd ³ 2cd - cd = cd ，
2
\
\
cd £ 3
=
=
，
当且仅当c d
3 时等号成立.
1
1
3
3 3
4
3 3
4
SVBCD = cdsinB £ ´3´
=
，所以VBCD
.
面积最大值为
2
2
2
､
､
､
四 解答题（15 题 13 分，16 17 题各 15 分，18 19 题各 17 分，共计 77 分）
n
n +1
a = 2n -1 a =11 S =
（2）
1
5.【答案】（1）
或
n
n
n
2
【
详解】解：（1）Qa =11,\a + 5d =11
①
6
1
a a , (a 4d )2
\
+
=
(a1
+
d )(a1 +13d )化简得 6a1d = 3d
2
Q
a ,a ,a 成等比数列，\a5
2
=
，若
2
5
14
2
14
1
d = 0,an =11
d ¹ 0, 2a1 = d
a =1,d = 2
②，由①②可得，
若
1
a = 2n -1 a =11
所以数列的通项公式是
或
n
n
1
1 æ 1
= ç
1
+ ø
ö
b =
n
-
（2）由（1）得
÷
(2
-
)(
+
)
-
n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
è
1
æ
è
1 1 1
1
1
+ ø
ö
1 æ
1
+ ø
ö
n
\
S = b + b +L+ b = ç1- +
+¼+
÷ = ç1
÷ =
2n 1
n
1
2
n
-
2n +1
2
3 3 5
2n 1 2n 1
2
è
y
x
1
6.【答案】（1）0.84，科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发的总投入 具有较强的相关
2
0
性.（2）有；（3）分布列见解析，
9

1
+ 2 +3+ 4 +5
9 +11+14 + 26 + 20
x =
= 3,y =
= 16
【详解】（1）由题意可得
，
5
5
5
å
(xi - )( - )= - ´ - + - ´ - + ´ - + ´ + ´ =
( 2) ( 7) ( 1) ( 5) 0 ( 2) 1 10 2 4 37
，
x
y
i
y
i=1
5
5
å
å
(xi - )2 ( - )2 = é - + - + + +
ù´ é - + -
0 1 2 û ë( 7) ( 5) ( 2)
+ -
+102
+
ù =
4 û 1940
，
x
y
i
y
ë( 2)2
( 1)2
2
2
2
2
i=1
i=1
3
7
\
r =
» 0.84.
1940
\"科技创新和市场开发后的收益
y
与科技创新和市场开发的总投入 具有较强的相关性.
x
（2）由题意：
满意
不满意
10
总计
55
男
女
45
25
20
45
总计
70
30
100
1
00´(45´20 - 25´10)2
\
K
2
=
» 8.129 > 6.635，
55´45´70´30
\有9
9%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知 9 人中满意的有 5 人，不满意的有 4 人
由题意可知， X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4
，
C
C
4
4
4
9
1
C
1
5
C
C
3
4
20 10
C
2
5
C
C
2
4
60 10
(
= 0) =
=
( = )=
;P X
=
=
( = )=
=
=
P X
1
;P X
2
;
126
4
9
126 63
4
9
126 21
C
3
5
C
C
1
4
40 20
C
C
4
5
4
9
5
(
= 3) =
=
=
( = )=
;P X
=
P X
4
，
4
9
126 63
126
\
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
1
10
63
10
21
20
20
63
5
P
1
26
1
126
10
10
5
20
(
) = 0´1 + ´ + ´ + ´ + ´
=
E X
1
2
3
4
.
26
63
21
63
126
9
1
7.【答案】（1）证明见解析；（2） BC = 2
PC ^
ABC, AC Ì
平面 ，
ABC .所以 PC ^ AC
【详解】（1）证明：因为
平面
因为 AB 是 eO 的直径，知
AC ^ BC
，

因为 PC Ç BC = C ，且
PC, BC Ì
平面
PBC
，所以
AC ^平面 PBC
，
E, F
PA, PC
EF
AC
EF ^
PBC
平面
由
分别是
的中点，所以
∥
，所以
.
（
2）以C
为原点，CA,CB,CP
x
y
所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
z
(
) (
)
(
) (
)
a +b = 8(a > 0,b > 0)
，且
P 0,0, 2 ,C 0,0,0
A a,0,0 ,B 0,b,0
2
2
则
，设
，
mr = (0,1, 0)
的一个法向量
PA = a,0,-2 ,PB = 0,b,-2
(
)
(
)，易知平面
PAC
所以
，
r
n
=
(x, y, z)
，则
设平面 PAB 的一个法向量
r
r
ì
ìï ×
n PA 0 ìax - 2z
ïn ^ PA
=
=
0
,\í
r uuur
则 ír uuur ，即
í
，
îby - 2z = 0
în ^ PB
ï
=
z = ab
x = 2b, y = 2a
nr = (2b,2a,ab)
取
，得
，则
，
6
3
B - PA-C
因为二面角
的正弦值为
，则其余弦值为
，
3
3
r
r
m×n
cos m,n = r r =
2a
r
r
3
=
-8a2
+
4b2 0，
=
所以
，化简得 a2b2
m n
+
+
3
4b
2
4a2
a
2
b
2
a
2
+b2 = 8(a > 0,b > 0) ，所以 a4 + 4a2 -32 = 0 ，解得： a2 = 4，即 a = 2，
又因为
所以b = 2
BC = 2.
，即
x
2
-
y
2
=1
.（2） m = 3± 2 .
1
8.【答案】（1）
3
b
3
【
详解】试题分析：（1）Q =
，
a
3
x
y
ab
ab
c
3
AB : - =1的距离， d =
=
=
原点到直线
.
a
b
a2
+b2
2
x
2
\
b =1,a = 3
- y2 =1.
.故所求双曲线方程为
3
y = x + m代入 x2 -3y2
=
3中消去 ，整理得 2x2 6mx + 3m2 + 3 = 0 .
y
+
（2）把

3m
2
+ 3, F
(-2, 0)
(
)
(
)
C x , y , D x , y
x
1
+
x2 = -3m, x1x2
=
设
，则
，
1
1
2
2
2
因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以 FC ×FD = 0 ，
可得(x1 + 2)(x2 + 2)+
y1 y2
=
0
y
1
=
x1 m, y1 x1
+
=
+
m
把
代入，
解得： m = 3± 2
Δ > 0，得
2
> 2,\m = 3± 2
Δ > 0,\m = 3± 2
满足
解
m
æ
è
1 ö
4 ø
-¥, ÷ .
1
9.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）
ç
ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ¹ 0)
x , x , x
【详解】（1）证明：因为方程
有三个根
，
1
2
3
ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ¹ 0)
a(x - x )(x - x )(x - x ) = 0
，
所以方程
即为
1
2
3
变形为 ax3
- a(x + x + x )x2 + a(x x + x x + x x )x - ax x x = 0
，
1
2
3
1
2
2
3
3
1
1
2
3
ì
b
x + x + x = -
ï
1
2
3
a
ï
ï
c
x x + x x + x x =
í
.
比较两个方程可得
1
2
2
3
3
1
a
ï
ï
d
a
x x x = -
ï
1
2
3
î
ì
x1 ¹ 0,
x2 ¹ 0,
( )有两个零点，\ f (x)= 0
有一个二重根 ，一个一重根 ，且
Q
f x
x
1
x
2
í
（2）（i）证明：
î
ì
b
a
1
2x + x = -
ï
1
2
ï
ï
1
x
2
1
+ 2x x =
x
2
1
+ 2x x = < 0
x x < 0 .
可得
由（1）可得
í
，由
1
2
1
2
1
2
a
a
ï
ï
1
x
2
1
x2 = -
ï
î
a
1
x
2
1
× x = - > 0
x > 0,\x < 0 < x
可得
2
由
.
2
2
1
a
x1
x1 + 2
+ 2x x = -x2 × x
，解得
2
x = -
2
x
2
1
联立上两式可得
，
1
2
1
x > 0, x < 0\x > -2
-2 < x1 < 0 < x
2
又
，综上
.
2
1
1

ì
1
x1 + 2
1
2
a = -
=
=
+
ï
ï
x
2
1
x2
x
3
1
x
2