2025届云南省玉溪师范附中高三上学期开学考-数学试卷（含答案）.docx

玉溪师范学院附属中学 2024-2025 学年高三上学期开学适应性考试
数学
考试范围：高考范围；考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题）
一､单选题（每小题 5 分，共 8 小题，共计 40 分）
{∣
=
ÎN}
A
=
x ax 2,a
A N
Í
a
，若 ，则所有 的取值构成的集合为（
1
.已知集合
）
A.{ }
B.{1}
C.{0,1, 2}
N
1
,2
D.
z =
2
.已知复数 z = 8i2024 + 6i （i 为虚数单位），则
A.8 B.9 C.10 D.100
.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据
（
）
x , x , x ,L, x
1
x , x
重复记
3 9
3
，后来复查数据时，又将
2
3
9
录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（
）
A.平均数
B.中位数
C.极差
D.众数
x
2
4
.函数 f (x) =
的图象大致为（
）
e
x
A.
C.
B.
D.
A, B
x
2
= 2y
O
OA = OB ，且VAOB 的面积为12 3 ，则Ð AOB =
上的两点， 为坐标原点.若
5
.
是抛物线
）
（
A.30o
B. 45o
C. 60o
D.120o
r
r
{r
a - 2b,ar +b,2c
r}
p {a,b,c}为基底时的坐标为(2,-3,3)
以
p
6
.已知向量
，则
以
为基底时的坐标为（
）
æ
è
5
2
1 3 ö
,- , ÷
2 2 ø
æ 5 1 3 ö
, , ÷
B.
A.
ç
ç
C.(1,3, 2)
D.(1,-3, 2)
è 3 3 2 ø
.若""xÎ[ ]
0,2 ,2
x-1
+
2-x
-
m 0
"为假命题，则 的取值范围为（
<
m
7
）

æ
è
9ù
é9

ë4
ö
ø
A.(-¥,
ù
é
2,+¥ )
2
-¥
, ú
4û
ê ,
+¥
B. ë
C.
ç
D.
÷
û
ì
2x + 2, x < 0
f x = ex - e-x + 2sinx,g x = í
.已知函数 ( )
( )
x
f (g (x))- m = 0
，若关于 的方程 有两个不等
8
e
x
-1, x ³ 0
î
x , x
x < x
x - x
，则 的最大值是（
实根
，且
）
1
2
1
2
2
1
1
2
ln2 +
3- ln2
ln2 +1
D.

A. ln2
B.
C.
二､多选题（每小题 6 分，共 3 小题，选对得部分分，选错得 0 分，共计 18 分）
6
æ
1
ö
9
.在ç2x -
÷ 的展开式中，下列命题正确的是（
）
è
x ø
A.偶数项的二项式系数之和为 32
B.第 3 项的二项式系数最大
C.常数项为 60
D.有理项的个数为 3
x
2
2
y
2
2
0.已知椭圆 E :
+
=1(a > b > 0) 的左､右焦点分别为
F ,F
，左､右顶点分别为
A, B, P
是
E
上异于
1
1
2
a
b
A, B 的一个动点.若3 AF1 = BF
，则下列说法正确的有（
）
1
1
2
A.椭圆 E 的离心率为
3
PF ^ F F
cosÐ PF F =
，则
B.若
1
1
2
2
1
5
3
4
C.直线 PA 的斜率与直线 PB 的斜率之积等于 -
D.符合条件 PF × PF = 0 的点 P 有且仅有 2 个
1
2
æ
è
3 ö æ
2 ø è
3 ö
2 ø
1.已知函数 ( )的定义域为
R, f (x + y)- f (x - y)= f çx + ÷ f çy + ÷, f (0 )¹ 0
f x
1
，则（
）
æ
è
3 ö
2 ø
f ç ÷ = 0
f (x)
是奇函数
A.
B.函数
C. f (0) = -2
f (x)
的一个周期为 3
D.
第 II 卷（非选择题）
三､填空题（每小题 5 分，共 3 小题，共计 15 分）
A, B,C, D, E
A, B 等级的比例为16%,34%
.假设某
1
2.某省的高中数学学业水平考试，分为
五个等级，其中
(
s 2 )
N 80,
A
次数学学业水平考试成绩服从正态分布
，其中王同学得分 88 分等级为 ，李同学得分 85 分等

级为 B .请写出一个符合条件的s
值______
(m s ) P(m -s £ X £ m +s ) » 0.68 ， P(m - 2s £ X £ m + 2s ) » 0.95)
，则
X
~
N
,
2
（参考数据：若
1
3.有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占 40% ，甲厂生产的次品率为 2% ，乙厂生产
6
0% ，乙厂生产的次品率为3%，从中任取一件产品是次品的概率是__________.
的占
f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < π)的部分图象如图所示.若在VBCD
中，
4.已知函数 ( )
(
)
1
æ
è

B ö
2 ø
CD = 3, f ç ÷ = 3 则VBCD
，
面积的最大值为__________.
四､解答题（15 题 13 分，16､17 题各 15 分，18､19 题各 17 分，共计 77 分）
5.已知等差数列{ }，若
a =11
6
a
a ,a ,a
，且 成等比数列.
14
1
n
2
5
（1）求数列{an}的通项公式；
1
a < 2
1
b =
n
{b }
n
的前 项和
S
n
（2）若
，设
，求数列
.
anan+1
n
1
6.2021 年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过
x, y
一段时间的运营后，统计得到
之间的五组数据如下表：
x
y
1
9
2
3
4
5
11
14
26
20
x
y
其中， （单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入， （单位：百万元）是科技创新和市场开发
后的收益.
y
r
（
1）求相关系数 的大小（精确到 0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发
x
的总投入 的线性相关程度；
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研 100 名男女消费者中，得到的数据如下表：
满意
45
不满意
10

总计
55
男
女
25
20
45
总计
70
30
100

是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？
（3）对（2）中调研的 45 名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出 9 名女消费者到公司进行
现场考察，再从这 9 名女消费者中随机抽取 4 人进行深度调研，设这 4 人中选择“满意”的人数为 X ，求 X
的分布列及数学期望.
n
å
(xi - )( - )
x
y
y
i
r =
i=1
参考公式：①
；
n
n
å
å
(xi - )2 ( - )2
x
y
y
i
i=1
i=1
n(ad -bc)2
+ )( + )( + )( + )
a b c d a c b d
K
2
=
n = a +b+c + d
②
，其中
.
(
临界值表：
(
³ )
P K
2
k
0
2
.100
.706
0.050
3.841
0.025
0.010
0.001
0
k0
5.024
6.635
10.828
参考数据： 485 » 22 .
A, PC ^
ABC, E､F
1
7.如图所示， AB 是eO 的直径，点C 是 eO 上异于
平面
分别为 PA ， PC
的中点，
PBC
（
（
1）求证： EF ^ 平面
；
6
2）若 PC = 2, AB = 2 2 ，二面角
B - PA-C
的正弦值为
BC .
，求
3
x
2
2
y
2
2
3
A a,0 , B 0,-b)
(
) (
-
=1的渐近线方程为 y = ±
l
的直线为 ，原
1
8.已知双曲线
x ，左焦点为 F，过
a
b
3
3
l
点到直线 的距离是
.
2
（
1）求双曲线的方程；
y = x + m交双曲线于不同的两点C, D
m
（2）已知直线
，问是否存在实数 ，使得以CD 为直径的圆经过双
m
曲线的左焦点 F .若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

ax2 + bx + c = 0 a ¹ 0
(
)①，有两根
x , x
a(x - x )(x - x ) = 0
，则方程可变形为
1
9.设实系数一元二次方程
，
1
2
1
2
展开得 ax2
- a(x + x )x + ax x = 0
②，
1
2
1
2
ì
b
x + x = - ,
ï
1
2
a
比较①②可以得到 í
= c
,
ï
x x
1 2
ï
î
a
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相
反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
ì
b
a
x + x + x = -
ï
1
2
3
ï
ï
c
设方程 ax3
+ bx2 + cx + d = 0(a ¹ 0)
有三个根
x , x , x
，则有
íx x + x x + x x =
③
1
2
3
1
2
2
3
3
1
a
ï
ï
d
a
x x x = -
ï
1
2
3
î
（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
f (x) = ax3
+ bx2 + x +1(a 0)
<
（2）已知函数
恰有两个零点.
(
)
f x
（i）求证：
的其中一个零点大于 0，另一个零点大于-2 且小于 0；
a + b
（ii）求
的取值范围.

玉溪师范学院附属中学 2024-2025 学年高三上学期开学适应性考试
数学 答案
考试范围：高考范围；考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题）
一､单选题（每小题 5 分，共 8 小题，共计 40 分）
1
.【答案】C
Q
【详解】
A
= {∣ = }
x ax 2 , A
Í
N
A = Æ

a = 0
时，易求
，故当
；
2
A ¹ Æ
x = Î N
a =1或 2.综上得： aÎ{0,1, 2}
得，
当
时，由
a
2
.【答案】C
【
详解】 z = 8i2024 + 6i = 8´1+ 6i = 8+ 6i ，所以 z = 82 + 62 =10
3
.【答案】C
【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
x , x
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将
所以极差一定不变，
重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，
3
9
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
.【答案】A
4
(
- )
x 2 x
【
详解】由解析式知： f ¢(x) =
，
e
x
\
0 < x < 2时 f ¢(x) > 0, f (x)
x < 0 x > 2 f ¢(x)< 0, f (x)
递增； 递减；
或
时
结合各选项易知：A 符合要求.
.【答案】C
5
【详解】如图，
æ
2
ö
æ
2
ö
a
a
OA = OB
A, B
y
两点关于 轴对称，设
A
ç-
a,
,B a,
Q
÷
ç
÷
，知
2 ø
2 ø
è
è
1
a
2
2 3
3
(
)
\
SVAOB = ´2a´ =12 3
=
\
\
q =
=
，
解得 a 2 3, B 2 3,6 , tan
，
2
2
6
3

\
q = 30o,\Ð AOB = 2q = 60o
.
6
.【答案】B
r
r
r
r
r
p {a,b,c}为基底时的坐标为(2,-3,3)
以
p = 2a -3b + 3c
【详解】因为向量
，所以
，
r
r
r
r
r
r
( - )+ ( + )+
= ( + ) + ( - ) +
p

x a 2b y a b 2zc
x y a y 2x b 2zc
设
，
ì
5
3
1
3
3
2
x =
ï
ì
x + y = 2
ï
ï
ï
í
由空间向量基本定理得
y - 2x = -3，解得 íy =
ï
ï
2z = 3
î
ï
z =
ï
î
r
r
r
æ 5 1 3 ö
ç , , ÷
p {a - 2b,a +b,2c}
以
所以
为基底时的坐标为
.
è
3 3 2 ø
7
.【答案】C
$xÎ[0, 2],2
x-1
+
2-x m 0
"为真命题，
-
³
详解】由题意得该命题的否定为真命题，即"
2
x-1 + 2-x - m ³ 0 即 m £ 2x-1 + 2-x ，
1
2
1
xÎ[ ]，则t Î[1, 4]，则存在t Î[1, 4]
0,2
令t = 2x ，因为
，使得
m
£
t
+
成立，
t
t
1
t
1
f t = +
令 ( )
=
，令
，则t
=
é
2 （负舍），
2
t
2
t
(
)
)
(
ù
f t
1, 2
2,4
则根据对勾函数的性质知
在 ë
上单调递减，在
û 上单调递增，
3
9
4
9
4
9
4
f 1 = , f 4 =
且 ( )
( )
f (t)max = f (4) =
m £
，则
，则
.
2
8
.【答案】B
f (x) = ex - e-x
+
2sinx
可得：
【详解】由
(
)
R, f x ex e-x 2cosx 2 2cosx 0
¢( ) =
+
+
³ +
³
f x
函数
的定义域为
，
(
)
f x
R
所以函数
在
上单调递增.
( )
令t g x
=
.
f (g (x))- m = 0
x
因为关于 的方程
x , x , x < x
有两个不等实根
，
1
2
1
2
的方程t = g (x)
有两个不等实根
.
x
x , x , x < x
则关于
1
2
1
2
( )
g x
的图象，如图所示：
y
=
作出函数

所以结合图形可知t
Î
[0, 2).
由t g x 可得：t 2x1 2,t = ex -1，
=
( )
=
+
2
1
1
x = t - 2 ,x = ln t +1
(
)
(
)，即有 x - x = ln(t +1)- (t - 2)
解得：
.
1
2
2
1
2
2
1
1
1-t
(
1

设 ( )
(
)
(
)
[
j t =
¢( )
t = ln t +1 - t - 2 ,t Î 0,2)，则
- =
j
) .
t +1 2 2 t +1
2
令j¢(t) >
，得：
£ < ；令j¢(t)< 0
0 t 1
，得：
，
0
1< t < 2
1
2
j
( )在区间[0,1)上单调递增，在区间(1, 2)上单调递减，所以j =j (1)= ln2+
t
max
所以函数
.
二､多选题（每小题 6 分，共 3 小题，选对得部分分，选错得 0 分，共计 18 分）
9
.【答案】AC
【
详解】偶数项的二项式系数之和为 2n-1 = 25 = 32，故 A 正确；
根据二项式，当 r = 3时
C36 的值最大，即第 项的二项式系数最大，故 错误
4
B
r
æ
1
ö
6-3r
Tr+1
=
C
3
r
6
(2x)6-r
ç-
÷ = -
( 1)r ×Cr ×26-r
×
x
2
，
6
è
x
ø
6
- r = 0,r = 4,\T = C
4
6
×2
2
= 60
令
，故 C 正确；
5
2
3
- r
为整数时，
r = 0, 2, 4,6
6
，故有理项的个数为 4，故 D 错误
2
1
0.【答案】AC
AF = a - c, BF = a + c
3 AF1 = BF 即3(a - c) = a + c
【详解】A 选项，
，因为
，
1
1
1
c
1
2
a = 2c
e =
=
解得
，所以离心率
，故 A 正确；
a
PF ^ F F
PF1,PF
B 选项，若
，连接
，
1
1
2
2

2
+
2
=
2
RtVPF1F
PF
F1F2
PF2
，又因为点 在椭圆上，
P
在
中，由勾股定理得
2
1
PF + PF = 2a
所以
，
1
2
2
PF2 2 ，又由
5
所以(2a - PF
)
+
(2c)
2
=
=
a = 2c
PF = c
，解得
，
2
2
2
F1F
2
2c
4
cosÐ PF F =
=
所以
2
1
PF2
5
5 ，故 B 错误；
c
2
P x , y , A -a,0 , B a,0
C 选项，设 (
) (
) (
)
0
0
y0
+
y0
-
y0
y0
-
y02
k
=
,kPB
=
,k ×k
PA
=
´
=
则
，
PA
PB
+
x02
-
2

x0
a
x0
a
x0 a x0
a
a
x
2
0
y
2
0
2
+
=1，因为 a = 2c
a
2
= 4c2 ,b2 = 3c2
，
又因为点 P 在椭圆上，所以
，所以
a
2
b
3
3
4
x
(x
)
3
2
0
-
3
c
2
- x2
-
2
0
- 4c2
y
3
y
2
0
= 3c2 - x2
4
4c2
0
从而
，所以
，故 C 正确；
kPA
×kPB
=
=
=
=
0
4
2
2
0
2
0
x
2
0
a
x
-
-
4c2
4
D 选项，因为 PF × PF = 0 ，所以点 P 在以
F F
c
为直径的圆上，半径为 ，
1
2
1
2

又因为b = 3c > c ，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的
点 P ，故 D 错误.
1
1.【答案】AC
æ
è
3 ö
2 ø
æ 3 ö
f ç ÷ = 0
，A 选项正确；
x = y = 0
f (0)- f (0) = f
2
【详解】令
，则
ç ÷
，所以
è 2 ø
æ
è
3 ö æ
2 ø è
3 ö
2 ø

x = 0
f (y)- f (-y) = f ç ÷ f ç y + ÷ = 0
f (y) = f (-y)
f (x)
是偶函数，B 选项错
令
，则
，即
，所以
误；
3
2
(
) = (- )
= y =
( )- ( ) =
f 3 f 0
2
( )
3
，
f 3
f
3
x
f
，令
，则
3
2
x = y = -
f -3 - f 0 = f
( ) ( )
2
( )
0 = f (3)- f (0)
f
2
(0)= f
f (0) = -2, f (3) = 2
，C 选项正确；

2
(3)
令
，则
，所以
，
所以( ( )
( ))
2
( )
f (0) ¹ 0
0 ，因为 ，所以
f
2
0
+
，则
3 ö
f 0
=
f
2
3
æ
è
3 ö
æ
3 ö
æ
3 ö
æ
è
3 ö
2 ø
y = -
f ç x - ÷ - f ç x + ÷ = f ç x + ÷ f (0)= -2f ç x + ÷
令
，
2
2 ø
è
2 ø
è
2 ø
æ
è
æ
3 ö
æ
3 ö
2 ø
æ
9 ö
æ
è
3 ö
2 ø
æ
è
9 ö
2 ø
f ç x - ÷ + f ç x + ÷ = 0, f ç x + ÷ + f ç x + ÷ = 0
f ç x - ÷ = f ç x + ÷, f (x)
所以
期为
，所以
的一个周
2 ø
è
2 ø
è
è
2 ø
6
,选 D 项错误.
第 II 卷（非选择题）
三､填空题（每小题 5 分，共 3 小题，共计 15 分）
1
2.【答案】7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）
【详解】由题意可知，85 £ 80+s £ 88，解得5 £ s £ 8.
故答案为：7（答案不唯一，只需要填区间[5, 8]内的任意一个值）.
1
3
0
.026 /
1
3.【答案】
5
00
A , A
为甲，乙两厂生产的产品， 表示取得次品，
B
【详解】设
1
2
(
) =
( ) =
(
) =
(
) =
P A
0.4, P A
0.6, P B∣A
0.02, P B∣A 0.03，
1
2
1
2
(
) = ( ) (
)+ ( ) (
) =
0.4 0.02 0.6 0.03 0.026
´
+
´
=
.
P B P A P B∣A
P A P B∣A
所以
1
1
2
2
所以任取 1 件产品的概率为 0.026.
3
3 / 3
1
4.【答案】
3
4
4

T
π
π
2π
=
-
=
，解得w = 2
f (x) = Asin(2x +j)
A > 0
，
【详解】由图象可得
，所以
，由
4
3 12 4w
æ
è
π
ö
ø
π
æ
è
π ö
3 ø
sinç2´ +j÷ =1,0 < j < πÞ j =
f (x) = Asinç2x + ÷
由图
，即
，
12
3
π
æ
è
π ö
3 ø
由 f (0)= 3
Asin = 3 Þ A = 2
f (x) = 2sinç2x + ÷
，得
.故
，
3
æ
è
B ö
2 ø
æ
è
πö
3 ø
3
在VBCD
中，
f ç ÷ = 3 Þ sinç B + ÷ =
，
2
π
π
3
4π
3
π
3
2π
π
3
Q
0 < B < π, < B +
<
Þ B +
=
B =
，即
，
3
3
B,C, D 的对边为b,c,d
，由CD = b = 3 ，
设角
则b2 = c2 + d
2
- 2cdcosB = c2 + d - cd ³ 2cd - cd = cd ，
2
\
\
cd £ 3
=
=
，
当且仅当c d
3 时等号成立.
1
1
3
3 3
4
3 3
4
SVBCD = cdsinB £ ´3´
=
，所以VBCD
.
面积最大值为
2
2
2
､
､
､
四 解答题（15 题 13 分，16 17 题各 15 分，18 19 题各 17 分，共计 77 分）
n
n +1
a = 2n -1 a =11 S =
（2）
1
5.【答案】（1）
或
n
n
n
2
【
详解】解：（1）Qa =11,\a + 5d =11
①
6
1
a a , (a 4d )2
\
+
=
(a1
+
d )(a1 +13d )化简得 6a1d = 3d
2
Q
a ,a ,a 成等比数列，\a5
2
=
，若
2
5
14
2
14
1
d = 0,an =11
d ¹ 0, 2a1 = d
a =1,d = 2
②，由①②可得，
若
1
a = 2n -1 a =11
所以数列的通项公式是
或
n
n
1
1 æ 1
= ç
1
+ ø
ö
b =
n
-
（2）由（1）得
÷
(2
-
)(
+
)
-
n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
è
1
æ
è
1 1 1
1
1
+ ø
ö
1 æ
1
+ ø
ö
n
\
S = b + b +L+ b = ç1- +
+¼+
÷ = ç1
÷ =
2n 1
n
1
2
n
-
2n +1
2
3 3 5
2n 1 2n 1
2
è
y
x
1
6.【答案】（1）0.84，科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发的总投入 具有较强的相关
2
0
性.（2）有；（3）分布列见解析，
9

1
+ 2 +3+ 4 +5
9 +11+14 + 26 + 20
x =
= 3,y =
= 16
【详解】（1）由题意可得
，
5
5
5
å
(xi - )( - )= - ´ - + - ´ - + ´ - + ´ + ´ =
( 2) ( 7) ( 1) ( 5) 0 ( 2) 1 10 2 4 37
，
x
y
i
y
i=1
5
5
å
å
(xi - )2 ( - )2 = é - + - + + +
ù´ é - + -
0 1 2 û ë( 7) ( 5) ( 2)
+ -
+102
+
ù =
4 û 1940
，
x
y
i
y
ë( 2)2
( 1)2
2
2
2
2
i=1
i=1
3
7
\
r =
» 0.84.
1940
\"科技创新和市场开发后的收益
y
与科技创新和市场开发的总投入 具有较强的相关性.
x
（2）由题意：
满意
不满意
10
总计
55
男
女
45
25
20
45
总计
70
30
100
1
00´(45´20 - 25´10)2
\
K
2
=
» 8.129 > 6.635，
55´45´70´30
\有9
9%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知 9 人中满意的有 5 人，不满意的有 4 人
由题意可知， X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4
，
C
C
4
4
4
9
1
C
1
5
C
C
3
4
20 10
C
2
5
C
C
2
4
60 10
(
= 0) =
=
( = )=
;P X
=
=
( = )=
=
=
P X
1
;P X
2
;
126
4
9
126 63
4
9
126 21
C
3
5
C
C
1
4
40 20
C
C
4
5
4
9
5
(
= 3) =
=
=
( = )=
;P X
=
P X
4
，
4
9
126 63
126
\
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
1
10
63
10
21
20
20
63
5
P
1
26
1
126
10
10
5
20
(
) = 0´1 + ´ + ´ + ´ + ´
=
E X
1
2
3
4
.
26
63
21
63
126
9
1
7.【答案】（1）证明见解析；（2） BC = 2
PC ^
ABC, AC Ì
平面 ，
ABC .所以 PC ^ AC
【详解】（1）证明：因为
平面
因为 AB 是 eO 的直径，知
AC ^ BC
，

因为 PC Ç BC = C ，且
PC, BC Ì
平面
PBC
，所以
AC ^平面 PBC
，
E, F
PA, PC
EF
AC
EF ^
PBC
平面
由
分别是
的中点，所以
∥
，所以
.
（
2）以C
为原点，CA,CB,CP
x
y
所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
z
(
) (
)
(
) (
)
a +b = 8(a > 0,b > 0)
，且
P 0,0, 2 ,C 0,0,0
A a,0,0 ,B 0,b,0
2
2
则
，设
，
mr = (0,1, 0)
的一个法向量
PA = a,0,-2 ,PB = 0,b,-2
(
)
(
)，易知平面
PAC
所以
，
r
n
=
(x, y, z)
，则
设平面 PAB 的一个法向量
r
r
ì
ìï ×
n PA 0 ìax - 2z
ïn ^ PA
=
=
0
,\í
r uuur
则 ír uuur ，即
í
，
îby - 2z = 0
în ^ PB
ï
=
z = ab
x = 2b, y = 2a
nr = (2b,2a,ab)
取
，得
，则
，
6
3
B - PA-C
因为二面角
的正弦值为
，则其余弦值为
，
3
3
r
r

m×n
cos m,n = r r =
2a
r
r
3
=
-8a2
+
4b2 0，
=
所以
，化简得 a2b2
m n
+
+
3
4b
2
4a2
a
2
b
2
a
2
+b2 = 8(a > 0,b > 0) ，所以 a4 + 4a2 -32 = 0 ，解得： a2 = 4，即 a = 2，
又因为
所以b = 2
BC = 2.
，即
x
2
-
y
2
=1
.（2） m = 3± 2 .
1
8.【答案】（1）
3
b
3
【
详解】试题分析：（1）Q =
，
a
3
x
y
ab
ab
c
3
AB : - =1的距离， d =
=
=
原点到直线
.
a
b
a2
+b2
2
x
2
\
b =1,a = 3
- y2 =1.
.故所求双曲线方程为
3
y = x + m代入 x2 -3y2
=
3中消去 ，整理得 2x2 6mx + 3m2 + 3 = 0 .
y
+
（2）把

3m
2
+ 3, F
(-2, 0)
(
)
(
)
C x , y , D x , y
x
1
+
x2 = -3m, x1x2
=
设
，则
，
1
1
2
2
2
因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以 FC ×FD = 0 ，
可得(x1 + 2)(x2 + 2)+
y1 y2
=
0
y
1
=
x1 m, y1 x1
+
=
+
m
把
代入，
解得： m = 3± 2
Δ > 0，得
2
> 2,\m = 3± 2
Δ > 0,\m = 3± 2
满足
解
m
æ
è
1 ö
4 ø
-¥, ÷ .
1
9.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）
ç
ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ¹ 0)
x , x , x
【详解】（1）证明：因为方程
有三个根
，
1
2
3
ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ¹ 0)
a(x - x )(x - x )(x - x ) = 0
，
所以方程
即为
1
2
3
变形为 ax3
- a(x + x + x )x2 + a(x x + x x + x x )x - ax x x = 0
，
1
2
3
1
2
2
3
3
1
1
2
3
ì
b
x + x + x = -
ï
1
2
3
a
ï
ï
c
x x + x x + x x =
í
.
比较两个方程可得
1
2
2
3
3
1
a
ï
ï
d
a
x x x = -
ï
1
2
3
î
ì
x1 ¹ 0,
x2 ¹ 0,
( )有两个零点，\ f (x)= 0
有一个二重根 ，一个一重根 ，且
Q
f x
x
1
x
2
í
（2）（i）证明：
î
ì
b
a
1
2x + x = -
ï
1
2
ï
ï
1
x
2
1
+ 2x x =
x
2
1
+ 2x x = < 0
x x < 0 .
可得
由（1）可得
í
，由
1
2
1
2
1
2
a
a
ï
ï
1
x
2
1
x2 = -
ï
î
a
1
x
2
1
× x = - > 0
x > 0,\x < 0 < x
可得
2
由
.
2
2
1
a
x1
x1 + 2
+ 2x x = -x2 × x
，解得
2
x = -
2
x
2
1
联立上两式可得
，
1
2
1
x > 0, x < 0\x > -2
-2 < x1 < 0 < x
2
又
，综上
.
2
1
1

ì
1
x1 + 2
1
2
a = -
=
=
+
ï
ï
x
2
1
x2
x
3
1
x
2