2013年考研数学二试题及答案-共13页.pdf

12013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案答案一、选择题一、选择题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设，当时，（）cos1sin()xxx()2x0 x()x（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小xx（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小xx【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】，cos1sin()xxx Q21cos12xx:，即21sin()2xxx:1sin()2xx:当时，0 x()0 xsin()()xx:，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）.1()2xx:()xx2、已知由方程确定，则（）()yf xcos()ln1xyyx2lim ()1nn fn（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】当时，.0 x 1y 002()12(2)1(2)(0)lim ()1limlim2lim2(0)12nnxxffxfxfnn ffnxxn方程两边同时对求导，得cos()ln1xyyxx1sin()()10 xyyxyyy 将，代入计算，得 0 x 1y(0)(0)1yf2所以，选（A）.2lim ()12nn fn3、设，则（）sin0,)()2,2 xf x0()()xF xf t dt（A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点x()F xx()F x（C）在处连续不可导 （D）在处可导()F xx()F xx【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解】，2002(0)sinsinsin2FtdttdttdtQ(0)2F，在处连续.(0)(0)FF()F xx，00()()()lim0 xxf t dtf t dtFxQ00()()()lim2xxf t dtf t dtFx，故在处不可导.选（C）.()()FF()F xx4、设函数，若反常积分收敛，则（）1111(1)()1lnxexf xxexx1()f x dx（A）（B）（C）（D）2 220 02【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】11()()()eef x dxf x dxf x dx由收敛可知，与均收敛.1()f x dx1()ef x dx()ef x dx，是瑕点，因为收敛，所以1111()(1)eef x dxdxx1x 111(1)edxx1 12 111()(ln)lneeef x dxdxxxx，要使其收敛，则03所以，选 D.025、设，其中函数可微，则（）()yzf xyxfxzzy xy（A）（B）（C）（D）2()yfxy2()yfxy2()f xyx2()f xyx【答案】（A）【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】，22()()zyyf xyfxyxxx 1()()zf xyyfxyyx221()()()()xzzxyyf xyfxyf xyyfxyy xyyxxx，故选（A）.11()()()()2()f xyyfxyf xyyfxyyfxyxx 6、设是圆域位于第象限的部分，记kD22(,)1Dx y xyk，则（）()(1,2,3,4)kkDIyx dxdy k（A）（B）（C）（D）10I 20I 30I 40I【答案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知，.130II（），（）22()0DIyx dxdyQ0yx44()0DIyx dxdyQ0yx因此，选 B.7、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）4【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵、按列分块，AC1(,)nAL1(,)nCL由于，故ABC111111(,)(,)nnnnnnbbbbLLMMLL即1111111,nnnnnnnbbbbLLL即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故，A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，故选（B）.1ACB8、矩阵与相似的充分必要条件是（）1111aabaa20000000b（A）0,2ab（B）为任意常数0,ab（C）2,0ab（D）为任意常数2,ab【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由的特征值为 2，0 可知，矩阵的特征值也是 2，0.20000000bb1111aAabaab因此，221111220224011020aaEAababaaaaa 0a将代入可知，矩阵的特0a 10100101Ab征值为 2，0.b此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）.b5二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.9、.10ln(1)lim(2)xxxx【答案】12e【考点】两个重要极限【难易度】【详解】011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim(1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim1(1)limxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexx 其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)limlimlim22(1)2xxxxxxxxxxxxxxx故原式=12e10、设函数，则的反函数在处的导数 .1()1xtf xe dt()yf x1()xfy0y 0ydxdy【答案】111 e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知，(1)0f.10111()111xxyxdydxdxdxfxedxdydydyee11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积是 .Lcos3()66rL【答案】12【考点】定积分的几何应用平面图形的面积6【难易度】【详解】面积622666000611 cos61sin6()cos 3()222612Srddd 12、曲线上对应于点处的法线方程为 .2arctan,ln 1xtyt1t【答案】ln204yx【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解】由题意可知，故1222211(1)22/11/1ttdydy dtttdxdx dtt11tdydx曲线对应于点处的法线斜率为.1t 111k 当时，.1t 4xln2y 法线方程为，即.ln2()4yx ln204yx13、已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的321xxyexe22xxyexe23xyxe 3 个解，则该方程满足条件，的解为 .00 xy01xyy【答案】32xxxyeexe【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】，是对应齐次微分方程的解.312xxyyee23xyye由分析知，是非齐次微分方程的特解.*2xyxe 故原方程的通解为，为任意常数.3212()xxxxyC eeC exe12,C C由，可得，.00 xy01xy11C 20C 7通解为.32xxxyeexe14、设是 3 阶非零矩阵，为 A 的行列式，为的代数余子式，若()ijAaAijAija，则 .0(,1,2,3)ijijaAi jA【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】【详解】*0TTijijijijaAAaAAAAAAA E 等式两边取行列式得或230AAA1A 当时，（与已知矛盾）0A 00TAAA所以.1A 三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.15、（本题满分 10 分）当时，与为等价无穷小，求和的值.0 x 1 coscos2cos3xxxnaxna【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】【详解】00cos6cos4cos2111 coscos2cos34limlimnnxxxxxxxxaxax1003cos6cos4cos26sin64sin42sin2limlim44nnxxxxxxxxaxanx2036cos616cos44cos2lim4(1)nxxxxan nx故，即时，上式极限存在.20n2n 8当时，由题意得2n 001 coscos2cos336cos616cos44cos236 164limlim188nxxxxxxxxaxaa7a2,7na16、（本题满分 10 分）设 D 是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是 D 绕 x 轴，13yxxa(0)a xxVyVy 轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.10yxVVa【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，15523330033()55aaxVxdxxa.1773330066277aayVx x dxxa因，故.10yxVV753363107 775aaa17、（本题满分 10 分）设平面区域 D 由直线，围成，求 3xy3yx8xy2Dx dxdy【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意 ，3286yxxxyy16328xyxyxy故23682220233xxxxDx dxdydxx dydxx dy264340228132416()12833333xxx18、（本题满分 10 分）设奇函数在上具有二阶导数，且()f x 1,1，证明：(1)1f9（）存在，使得；(0,1)()1f（）存在，使得.(1,1)()()1ff【考点】罗尔定理【难易度】【详解】（）由于在上为奇函数，故()f x 1,1(0)0f令，则在上连续，在上可导，且，()()F xf xx()F x0,1(0,1)(1)(1)10Ff.由罗尔定理，存在，使得，即.(0)(0)00Ff(0,1)()0F()1f（）考虑()()1()()()xxxxfxfxefxfxee fxe()0 xxe fxe令，由于是奇函数，所以是偶函数，由（）的结论可知，()()xxg xe fxe()f x()fx，.由罗尔定理可知，存在，使得()()1ff()()0gg(1,1)，即.()0g()()1ff19、（本题满分 10 分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.331(0,0)xxyyxy【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为(,)M x y22dxy构造拉格朗日函数 2233(1)Fxyxxyy由 得 22332(3)02(3)010 xyFxxyFyyxFxxyy 11xy点到原点的距离为，然后考虑边界点，即，它们到原点的(1,1)22112d(1,0)(0,1)距离都是 1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为，最短距离为 1.210 20、（本题满分 11 分）设函数1()lnf xxx（）求的最小值；()f x（）设数列满足，证明存在，并求此极限.nx11ln1nnxxlimnnx【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】【详解】（）由题意，1()lnf xxx0 x 22111()xfxxxx令，得唯一驻点()0fx1x 当时，；当时，.01x()0fx1x()0fx所以是的极小值点，即最小值点，最小值为.1x()f x(1)1f（）由（）知，又由已知，可知，即1ln1nnxx11ln1nnxx111nnxx1nnxx故数列单调递增.nx又由，故，所以数列有上界.11ln1nnxxln10nnxxe nx所以存在，设为 A.limnnx在两边取极限得 11ln1nnxx1ln1AA在两边取极限得 1ln1nnxx1ln1AA所以即.1ln11AAA lim1nnx21、（本题满分 11 分）11设曲线的方程为满足L211ln(1)42yxxxe（）求的弧长；L（）设 D 是由曲线，直线，及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标.L1x xe【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心【难易度】【详解】（）设弧长为，由弧长的计算公式，得S222211111111111()1()1()()222222eeeeSydxxdxxdxxdxxxx221111111()(ln)22424eeexdxxxx（）由形心的计算公式，得22111ln242100111ln24210011(ln)4211(ln)42exxDexxDxdxdyxxx dxdxxdyxdxdyxx dxdxdy.422423311111()3(23)16164221114(7)12122eeeeeee22、（本题满分 11 分）设，当为何值时，存在矩阵 C 使得，并求所有矩110aA011Bb,a bACCAB阵 C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设.由可得1234xxCxxACCAB 整理后可得方程组 12123434101011011xxxxaxxxxbb2312413423011xaxaxaaxxxxxaxb由于矩阵 C 存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行变换：1201001011110111101010001001011101010000101000000000aaaaaaaaabbb方程组有解，故，即，.10a 0b 1a 0b 当，时，增广矩阵变为1a 0b 10111011000000000000为自由变量，令，代入相应齐次方程组，得34,x x341,0 xx211,1xx 令，代入相应齐次方程组，得340,1xx210,1xx故，令，得特解1(1,1,1,0)T2(1,0,0,1)T340,0 xx(1,0,0,0)T方程组的通解为（为任意常数）1 12212112(1,)Txkkkkk k k12,k k所以.121121kkkCkk23、（本题满分 11 分）设二次型，记，21231 122331 12233(,)2()()f x x xa xa xa xb xb xb x123aaa123bbb（）证明二次型 f 对应的矩阵为；2TT（）若正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为,22122yy【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩【难易度】【详解】（）证明：21231 122331 12233(,)2()()f x x xa xa xa xb xb xb x131111123212321232123233332(,)(,)(,)(,)axbxx x xaa a axx x xbb b bxaxbx，其中112323(,)(2)TTTxx x xxx Axx2TTA所以二次型 f 对应的矩阵为.2TT（）由于正交，故,0TT 因均为单位向量，故，即.同理,1T 1T 1T 2(2)22TTTTTTAA 由于，故 A 有特征值.012，由于，故 A 有特征值(2)TTA021又因为，()(2)(2)()()()1 123TTTTTTr Arrrrr 所以，故.0A 30三阶矩阵 A 的特征值为 2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为.22122yy