九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)-(1).pdf

1第二十六章第二十六章 反比例函数反比例函数26.1 知识点知识点 1 反比例函数的定义反比例函数的定义一般地，形如（k 为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几xky 0k 个方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；0 x 0y 比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k 反比例函数有三种表达式：（），xky 0k（），1kxy0k（定值）（）；kyx0k 函数（）与（）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数xky 0k ykx 0k 时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数，）是反比例函数的一部分，当 k=0 时，就不是反比例函0k xky 数了。26.2 知识点知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，xky 0k 就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。26.3 知识点知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数0 x 值，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，0y 但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。26.4 知识点知识点 4 反比例函数的性质反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：2反比例函数（）xky 0k 的符号k0k 0k 图像性质的取值范围是x，y 的取值范围0 x 是0y 当时，函0k 数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。的取值范围是x，y 的取值范围0 x 是0y 当时，函0k 数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当时，y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。0k 反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如在第一、第三象限，则可知。xky 0k 反比例函数（）中比例系数 k 的绝对值的几何意义。xky 0k k如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则OEPFSPEPFyxxy矩形k反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；xky 0k kxky 越小，双曲线越靠近坐标原点。kxky 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。习题1下列函数中，不是反比例函数的是()3Ay By Cy D3xy23x32x1x12已知点 P(1,4)在反比例函数 y(k0)的图象上，则 k 的值是()kxA B.C4 D414143若 P（2，2）和 Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 4已知函数和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）A B C D5当 a0 时，函数 yax1 与函数 y 在同一坐标系中的图象可能是()ax6如图 26-1-10，直线 xt(t0)与反比例函数 y，y 的图象分别交于 B，C 两2x1x点，A 为 y 轴上的任意一点，则ABC 的面积为()图 26-1-104A3 B.t C.D不能确定32327已知反比例函数的图象与直线 y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而_（填“增大”或“减小”）8若正比例函数 y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_，k=_，它们的另一个交点为_已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=_9如图 26-1-9，直线 y2x6 与反比例函数 y(x0)的图象交于点 A(4,2)，与 x 轴kx交于点 B.(1)求 k 的值及点 B 的坐标；(2)在 x 轴上是否存在点 C，使得 ACAB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 图 26-1-910如图在 RtABO 中，顶点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，ABx 轴于 B 且 SABO=求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和AOC 的面积 5第二十七章第二十七章相似相似 图形的相似图形的相似 概述如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：）判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时，相似的两个图形全等。性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的平方。比例线段有关概念及性质比例线段有关概念及性质1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.6（2）第四比例项：若acbd或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项.（3）比例中项：若abbc或 a:b=b:c，b 叫作 a，c 的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段 AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条 线段黄金分割.即 AC2=ABBC，AC=510.6182ABAB；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理（1）acadbcbd（2）acabcdbdbd（3）(b dn0)acmacmabdnbdnb LLLL3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边 的比，叫做两个相似三角形的相似比相似三角形相似三角形 定义定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；判定判定71.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。直角三角形相似判定定理直角三角形相似判定定理:.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两 2个直角三角形也相似。性质性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方补充一补充一：直角三角形中的相似问题：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理射影定理：CD=ADBD，AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。位似位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。注意 81、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。习题习题1、已知513ba，则abab的值是（）A23 B32 C94 D492、如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB1，CD3，那么 EF 的长是()A、13B、23C、34D、45第第7 7题题图图FEBDAC 3、如图，ABC 中，点 D、E 分别在边 AB，BC 上，DE/AC，若 DB=4，DA=2，BE=3，则 EC=.ECDAB4、已知ABCDEF,ABC与DEF的相似比为 4:1，则ABC与DEF对应边上的高之比为 .5、将一副三角板按图叠放，则AOB 与DOC 的面积之比等于 ECDBA第 1 题第 4 题9 6、在ABCD 中，M，N 是 AD 边上的三等分点，连接 BD，MC 相交于 O 点，则 SMOD：SCOB=7、如图，ABFC，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，分别延长 FD 和 CB 交于点G（1）求证：ADECFE；（2）若 GB=2，BC=4，BD=1，求 AB 的长8、如图，已知 B、C、E 三点在同一条直线上，ABC 与DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交 AC 于点 G，线段 AE 交 CD 于点 F.求证：（1）ACEBCD；（2）AGAFGCFE.9、如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，弦 EDAB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 的直线与 ED 的延长线交于点 P，PCPG.(1)求证：PC 是O 的切线；(2)当点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若 BG2BFBO.求证：点 G 是 BC的中点（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=46，求 BG 的长10第二十八章第二十八章锐角三角函数锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义在RtABC 中，C90，ABc，BCa，ACb正弦：sinAA的对边斜边ac余弦：cosAA的邻边斜边bc正切：tanAA的对边A的邻边ab二、特殊角的三角函数值sincostan3012323345222216032123三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在 RtABC 中，C90，则：(1)三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：AB90；11(3)边与角关系：sinAcosBac，cosAsinBbc，tanAab；(4)sin2Acos2A1四、解直角三角形的应用常用知识1.仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直 高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i_坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，itan坡度越大，角越大，坡面_3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角习题解直角三角形解直角三角形 聚焦考点温习理解一、锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义在 RtABC 中，C90，ABc，BCa，ACb正弦：sinAA的对边斜边ac余弦：cosAA的邻边斜边bc12余切：tanAA的对边A的邻边ab二、特殊角的三角函数值sincostan3012323345222216032123三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在 RtABC 中，C90，则：(1)三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：AB90；(3)边与角关系：sinAcosBac，cosAsinBbc，tanAab；(4)sin2Acos2A1四、解直角三角形的应用常用知识1.仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直 高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i_坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，itan坡度越大，角越大，坡面_3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角13考点典例一、锐角三角函数的定义考点典例一、锐角三角函数的定义【例 1】ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，如果 a2b2c2，那么下列结论正确的是()AcsinAa BbcosBcCatanAb DctanBb【举一反三】(2015.山东日照，第 10 题，3 分)如图，在直角BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使DC=BD，连接 AC，若 tanB=，则 tanCAD 的值（）A.B.C.D.考考 点典例二、锐角三角函数的计算点典例二、锐角三角函数的计算【例 2】在ABC 中，如果A、B 满足|tanA-1|+（cosB-12）2=0，那么C=【举一反三】在ABC 中，若|cosA-12|+（1-tanB）2=0，则C 的度数是（）A45 B60 C75 D105考点典例三、解直角三角形考点典例三、解直角三角形【例 3】在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，C=45，sinB=13，AD=1求 BC 的长14【举一反三】如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=23，求 AB 的长考点典例四、解直角三角形的实际运用考点典例四、解直角三角形的实际运用【例 4】小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 45和 35，已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：12735sin，6535cos，10735tan考点：三角函数的应用.一、选择题1.（2015 乐山）如图，已知ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（）A33 B55 C2 33 D2 552.（2015辽宁大连）如图，在ABC 中，C=90，AC=2，点 D 在 BC 上，ADC=2B，AD=5，则 BC 的长为（）15A.3-1 B.3+1 C.5-1 D.5+13.(2015湖北衡阳，12 题，3 分)如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1米的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60，则这个电视塔的高度 AB（单位：米）为（）A50 3 B51 C50 31 D1014.（2015.山东泰安，第 14 题）（3 分）如图，轮船从B处以每小时 60 海里的速度沿南偏东 20方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东 50方向上，轮船航行 40 分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东 10方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A20 海里 B40 海里 C20 33海里 D40 33海里162、填空题5.（2015 内江）在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC=6.(2015黑龙江哈尔滨）如图，点 D 在 ABC 的边 BC 上，C+BAD=DAC，tanBAD=，AD=，CD=13，则线段 AC 的长为_.47657.（2015辽宁大连）如图，从一个建筑物的 A 处测得对面楼 BC 的顶部 B 的仰角为 32，底部 C 的俯角为 45，观测点与楼的水平距离 AD 为 31cm，则楼 BC 的高度约为_m(结果取整数）.（参考数据：sin320.5，cos320.8，tan320.6）三、解答题8.（2015辽宁丹东）23.如图，线段 AB，CD 表示甲、乙两幢 居民楼的高，两楼间的距离 BD 是 60 米.某人站在 A 处测得 C 点的俯角为 37，D 点的俯角为 48（人的身高忽略不计），求乙楼的高度 CD.9.（2015.河南省，第 20 题，9 分）（9 分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米17到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48.若坡角FAE=30，求大树的高度.（结果保留整数，参考数据：sin480.74，cos480.67，tan481.11，31.73）第二十九章第二十九章投影与视图投影与视图 29291 1投影投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。29292 2三视图三视图 三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图能反映物体的左面形状，还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。主视、俯视 长对正 18 物体的投影主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等 在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。习习题题考点典例一、辨别立体图形的三种视图考点典例一、辨别立体图形的三种视图【例 1】（2015湖北鄂州，5 题，3 分）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）考点：简单组合体的三视图【举一反三举一反三】1.（山东泰安，第 3 题）（3 分）下列四个几何体：19其中左视图与俯视图相同的几何体共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点：简单几何体的三视图2.（山东潍坊，第 2 题，3 分）如右图所示几何体的左视图是（）考点：几何体的左视图3.（山东济南，第 5 题,3 分）如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（）A B C D 考点：简单组合体的三视图考点典例二、利用三视图求几何体的面积考点典例二、利用三视图求几何体的面积【例 2】一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为（）A12 B15 C18 D2446主主主主主主主主主4【举一反三举一反三】20已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（）A12cm2 B15cm2 C24cm2 D30cm2考点典例三、由三视图确定物体的形状考点典例三、由三视图确定物体的形状【例 3】（2015湖南益阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A.三棱锥 B.三棱柱 C.圆柱 D.长方体考点：由三视图判断几何体【举一反三举一反三】1.下列几何体 中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（）2.(2015湖北孝感）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体 是()A正方体B长方体C三棱柱 D三棱锥 考点：三视图.考点典例四、由考点典例四、由 视图确定立方体的个数视图确定立方体的个数)4(题第21【例 4】小颖同学到学校领来 n 盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则 n 的值是（）A6 B7 C8 D9【举一反三举一反三】1.（2015辽宁营口）如右图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数有可能是().A5 或 6 B5 或 7 C4 或 5 或 6 D5 或 6 或 7考点：物体的三视图.2.在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的 小正方体的个数为 n，则 n 的最小值为 考点典例考点典例 五、利用三视图求几何体的体积五、利用三视图求几何体的体积【例 5】下图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A60B70 C90D160【举一反三举一反三】第2题图俯视图左视图22某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如下图所示，则该几何体的体积为（）A3 B.2 C.D.12