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第一章 三角函数
一、选择题
1．已知
为第三象限角，则
2
所在的象限是 (
) ．
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
2．若 sin θcos θ＞ 0，则 θ在 (
) ．
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
4π
5π
－
4π
＝ (
) ．
3． sin
cos
tan
3
3
6
3
3
3
3
C．－
3
3
A．－
B ．
4
4
D ．
4
4
1
＝ 2，则 sin θ＋ cos θ等于 (
) ．
4．已知 tan θ＋
tan
A． 2
B ． 2
C．－
2
D．± 2
5．已知 sin x＋ cos x＝
1 ( 0≤ x＜ π)，则 tan x 的值等于 (
) ．
5
A．－ 3
B．－ 4
C． 3
D ． 4
4
3
4
3
6．已知 sin
＞ sin
，那么下列命题成立的是
(
) ．
A．若 ，
是第一象限角，则
cos
＞ cos
B．若 ，
是第二象限角，则
tan
＞ tan
C．若 ，
是第三象限角，则
cos
＞ cos
D．若 ，
是第四象限角，则
tan
＞ tan
7．已知集合 A＝ { |
＝2kπ±
2π， k∈ Z } ， B＝ { |
＝ 4kπ± 2π， k∈Z } ， C＝
3
3
{ γ|γ＝kπ± 2π， k∈Z} ，则这三个集合之间的关系为 (
) ．
3
A．ABC
B．BAC
C．CAB
D．BCA
8．已知 cos(
＋ ) ＝ 1， sin
＝ 1 ，则 sin
的值是 (
) ．
3
第 1页共8页
A． 1
B．－ 1
C．2 2
D．－2 2
3
3
3
3
9．在 ( 0， 2π) 内，使 sin x＞ cos x 成立的 x 取值范围为 (
) ．
π π
5π
π
A．
，
∪ π，
4
B．
，π
4
2
4
π 5 π
π
∪
5π
3π
C．
，
D． ，π
，
4
4
4
4
2
10．把函数 y＝ sin x( x∈ R) 的图象上所有点向左平行移动
π个单位长度， 再把所得图象
3
上所有点的横坐标缩短到原来的
1 倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到的图象所表示的函数是 (
) ．
2
A． y＝ sin
2x － π ， x∈ R
B．y＝ sin
x ＋ π ， x∈R
3
2
6
C． y＝ sin
2x ＋ π ， x∈R
D． y＝ sin 2x＋ 2π ， x∈ R
3
3
二、填空题
11．函数 f( x) ＝ sin
2
x＋
3 tan x 在区间
π
π
上的最大值是
．
，
3
4
12．已知 sin ＝ 2
5 ， π≤ ≤ π，则 tan
＝
．
5
2
13．若 sin
π ＋
＝ 3
，则 sin π－
＝
．
2
5
2
14．若将函数 y＝ tan
x＋ π ( ω＞ 0)
的图象向右平移
π个单位长度后，与函数
y＝
4
6
tan x＋ π 的图象重合，则
ω的最小值为
．
6
15．已知函数 f( x) ＝ 1 ( sin x＋ cos x) － 1
2 2
| sin x－ cosx| ，则 f( x) 的值域是 ．
16．关于函数 f( x) ＝4sin 2x ＋ π ， x∈ R，有下列命题：
3
①函数 y = f( x) 的表达式可改写为 y = 4cos 2x － π ；
6
②函数 y = f( x) 是以 2π为最小正周期的周期函数；
③函数 y＝ f( x) 的图象关于点 ( － ， 0) 对称；
6
④函数 y＝ f( x) 的图象关于直线 x＝－ 对称．
6
其中正确的是 ______________．
第 2页共8页
三、解答题
17．求函数 f( x) ＝ lgsin x＋ 2 cos x 1 的定义域．
18．化简：
－ (
＋)＋(－)－(
＋ )
( 1)
sin 180
sin
tan 360
；
( ＋
)＋ (－)＋ (
－ )
tan
180
cos
cos180
( 2)
(
＋
) ＋
(
－
)
sin
nπ
sin
nπ ( n∈ Z ) ．
(
＋
)
(
－
)
sin
nπ cos
nπ
第 3页共8页
19．求函数 y＝ sin 2x－ π 的图象的对称中心和对称轴方程．
6
20．( 1) 设函数 f( x) ＝ sin x＋ a ( 0＜ x＜π) ，如果 a＞ 0，函数 f( x) 是否存在最大值和最
sin x
小值，如果存在请写出最大 (小)值；
( 2) 已知 k＜ 0，求函数 y＝ sin2 x＋ k( cos x－ 1) 的最小值．
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参考答案
一、选择题
1．D
解析： 2kπ＋ π＜ ＜ 2kπ＋ 3 π， k∈ Z kπ＋
＜
2
＜ kπ＋ 3
π， k∈ Z．
2
2
4
2． B
解析：∵
sin θcos θ＞0，∴ sin θ， cos θ同号．
当 sin θ＞ 0， cos θ＞ 0 时， θ在第一象限；当
sin θ＜ 0， cos θ＜ 0 时， θ在第三象限．
3．A
解析：原式＝
4．D
π
π
π
＝－
3 3 ．
sin
cos
tan
3
6
3
4
解析： tan θ＋
1
＝ sin
＋ cos
＝
1
＝2， sin
cos ＝ 1 ．
tan
cos
sin
sin cos
2
( sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ 2sin θcos θ＝ 2． sin
＋ cos
＝± 2．
5． B
sin ＋ cos ＝ 1
x
x
得 25cos2 x－ 5cos x－ 12＝ 0．
解析：由
5
sin 2 x＋ cos2 x＝1
解得 cos x＝ 4 或－ 3 ．
5 5
又 0≤x＜ π，∴ sin x＞0．
若 cos x＝ 4 ，则 sin x＋ cos x≠ 1 ，
5 5
∴ cos x＝－ 3 ，sin x＝ 4 ，∴ tan x＝－ 4 ．
5
5
3
6．D
解析：若
，
是第四象限角，且 sin
＞ sin
，如图，
利用单位圆中的三角函数线确定 ， 的终边，故选 D．
(第6题`)
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7． B
解析：这三个集合可以看作是由角± 2π的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到
3
的角的集合．
8． B
解析：∵ cos( ＋ ) ＝ 1，
∴ ＋ ＝ 2kπ， k∈ Z．
∴ ＝ 2kπ－ ．
∴ sin ＝sin( 2k
π－ ) ＝ sin( － ) ＝－ sin
＝－ 1
．
3
9． C
解析：作出在 ( 0， 2π) 区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标
和 5
，
4
4
由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．
10．C
解析：第一步得到函数
y＝ sin x
π
的图象，第二步得到函数
y＝ sin 2x
π
3
的图象．
3
二、填空题
11．
15 ．
4
2
x＋
3 tan x 在
π π
上是增函数，
f( x) ≤sin
2 π
＋ 3 tan
π
15
．
解析： f( x) ＝ sin
，
3
3
＝
4
4
3
12．－ 2．
解析：由 sin
＝ 2
5 ， π≤ ≤ π cos ＝－
5 ，所以 tan
＝－ 2．
5
2
5
13．
3 ．
5
解析： sin
π＋
＝ 3
，即 cos
＝ 3
，∴ sin
π－
＝ cos
＝ 3 ．
2
5
5
2
5
14．1．
2
解析：函数 y＝ tan
x＋ π ( ω＞ 0) 的图象向右平移
π个单位长度后得到函数
4
6
y＝ tan
x－
π
＋
π
＝ tan
π π
的图象，则
π
π
π
6
4
x＋ －
6
＝ －
ω＋ kπ( k∈ Z) ，
4
6
4
6
第 6页共8页
ω＝6k＋ 1
，又 ω＞ 0，所以当 k＝ 0
时， ωmin＝ 1
．
2
2
2
15． －1，．
2
解析： f( x) ＝ 1 ( sin x＋ cosx) －
1 | sin x－ cosx| ＝ cos x( sin x ≥ cos x)
2
2
sin x( sin x＜ cos x)
即 f( x) 等价于 min{ sin x， cos x} ，如图可知，
f( x) max＝ f
π ＝
2 ， f( x) min＝ f( π)
＝－ 1．
4
2
(第 15 题)
16．①③．
解析：①
f( x) ＝ 4sin 2x
π ＝ 4cos
π 2 x
π
3
2
3
π
＝ 4cos 2x
6
＝ 4cos 2x π ． 6
② T＝ 2π＝ π，最小正周期为 π．
2
③ 令 2x＋
π
时， x＝－
π，
＝ kπ，则当 k＝ 0
3
6
∴ 函数 f( x) 关于点 －
π
对称．
，0
6
④ 令 2x＋
π
π
x＝－
π
1
，与 k∈Z 矛盾．
＝ kπ＋
，当
时， k＝－
2
3
2
6
∴ ①③正确．
三、解答题
17． { x| 2kπ＜ x≤2kπ＋ ， k∈ Z } ．
4
sin
x
＞0
①
解析：为使函数有意义必须且只需
2cos x
1 ≥ 0
②
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(第 17题)
先在 [ 0， 2π) 内考虑 x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．
由①得 x∈( 0， π) ，
由②得 x∈ [ 0，
] ∪ [
7 π，2π] ．
4
4
二者的公共部分为
π
x∈ 0，
．
4
所以，函数 f( x) 的定义域为 { x| 2kπ＜ x≤ 2kπ＋
， k∈ Z} ．
4
18．(1) －1； (2) ±
2
．
cos
解析： ( 1) 原式＝ sin
－
sin
－
tan
＝－ tan
＝－ 1．
tan
＋ cos
－cos
tan
( 2) ①当 n＝ 2k， k∈ Z 时，原式＝ sin
(
＋
2
k
) ＋
sin
(
－
k
)
2
π ＝
．
(
π
)
－
2
＋
k
(
k
)
cos
sin
2
π cos
2
π
②当 n＝ 2k＋ 1， k∈ Z 时，原式＝ sin
[
＋(
＋ )
] ＋
sin
[
－( ＋)]
2
．
[
2 k
1
π
2k
1
π ＝－
sin
＋(
＋ ) ]
[
－( ＋)
]
cos
2 k
1
π cos
2 k
1 π
19．对称中心坐标为
kπ＋ π，0
；对称轴方程为
x＝ kπ＋ π( k∈ Z) ．
2
12
2
3
解析：∵ y＝ sin x 的对称中心是 ( kπ， 0) ， k∈ Z，
∴ 令 2x－ π＝ kπ，得 x＝ kπ＋ π．
6
2
12
∴ 所求的对称中心坐标为
又 y＝sin x 的图象的对称轴是
∴ 令 2x－ π＝ kπ＋ ，得
6 2
∴ 所求的对称轴方程为 x＝
kπ＋ π，0 ， k∈ Z．
2 12
x＝ kπ＋ ，
2
x＝ kπ＋ π．
2 3
kπ＋ π ( k∈ Z) ．
2 3
20． ( 1) 有最小值无最大值，且最小值为
1＋ a；( 2) 0．
解析： ( 1) f( x) ＝ sin x＋ a ＝ 1＋
a
，由 0＜ x＜ π，得 0＜ sin x≤1，又 a＞ 0，所以当
sin x
sin x
sin x＝ 1 时， f( x) 取最小值 1＋ a；此函数没有最大值．
( 2) ∵－ 1≤ cos x≤1， k＜ 0，
∴ k( cos x－ 1) ≥ 0，又 sin2 x≥ 0，
∴ 当 cos x＝ 1，即 x＝ 2k ( k∈ Z) 时， f( x) ＝ sin2 x＋ k( cos x－ 1) 有最小值 f( x) min＝ 0．
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