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第六章 数列

1

二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络
数列与正整数集关系
等差数列
等比数列
特殊数列求和方法
公式法
倒序相加法
错位相减法
裂项相消法

递推公式
通项公式
数列

第一课时 数列

11

四、数列通项与前项和的关系
1．
2．
课前热身
3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( B )
A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项
4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是
5．数列的前项和,，则

题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式
⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：⑴将数列变形为，
⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为
点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用求数列通项
例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.
⑴

解析：⑴当，
当

又不适合上式，故
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
解析：⑴因为，所以

所以

…，…，

以上个式相加得

即：
点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。

课外练习
3设，()，则的大小关系是( C )
A．　　B．
C．　　D．不能确定
解：因为

所以，选Ｃ．
二、填空题
5．已知数列的前项和则

7．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是
解：构造函数
由函数性质可知，函数在上递减，且
函数在上递增且
三、解答题

6.2等差数列

知识要点
2．递推关系与通项公式

是数列成等差数列的充要条件。
３．等差中项：
若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。
４．前项和公式
；

是数列成等差数列的充要条件。
5．等差数列的基本性质
⑴反之，不成立。
⑵
⑶
⑷仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列
②中项法：
是等差数列
③通项公式法：
是等差数列
④前项和公式法：
是等差数列
课前热身
2．等差数列中，

A．14　　B．15　　C．16　　D．17
解

。

3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。
解：

∴为递减等差数列∴为最大。
4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110
解：∵
　成等差数列，公差为D其首项为
，前10项的和为

６．设等差数列的前项和为，已知

①求出公差的范围，
②指出中哪一个值最大，并说明理由。

解：①

②

课外练习
一、 选择题
1． 已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( D )

2． 已知等差数列中，等于（ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64

二、填空题
3． 设为等差数列的前项和，=54
4． 已知等差数列的前项和为，若
5． 设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点

组成公差为的等差数列，则的取值范围为
解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为，由题意得：

三、解答题
6． 等差数列的前项和记为，已知
①求通项；②若=242，求
解：

由，=242

7． 甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？
解：①设分钟后第一次相遇，依题意有：

故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设分钟后第二次相遇，则：

故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10．已知数列中，前和
①求证：数列是等差数列
②求数列的通项公式
③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵

∴数列为等差数列。
②

③

要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数
都成立，的最小值为。

6.3等比数列

知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。
2． 递推关系与通项公式

3． 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。
4． 前项和公式

5． 等比数列的基本性质，
①反之不真！
②
③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④仍成等比数列。
6． 等比数列与等比数列的转化
①是等差数列是等比数列；
②是正项等比数列是等差数列；
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；④前项和法：为等比数列。

1．

2． 已知数列是等比数列，且70 （问题引入）
猜想：是等比数列，公比为。
证明如下：∵

即：，∴是首项为，公比为的等比数列。

二、性质运用
例2：⑴在等比数列中，
①求，
②若
⑵在等比数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式 成立。
解：⑴①由等比数列的性质可知：

②由等比数列的性质可知，是等差数列，因为

⑵由题设可知，如果在等差数列中有
成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若
成立，在本题中

点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。
典例精析
一、 错位相减法求和
例1：求和：
解：⑴

⑵
①
②
由①－②得：

点拨：①若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；
②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；
③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。
二、 裂项相消法求和
例2：数列满足=8， （）
①求数列的通项公式；
则
所以，=8＋（－1）×（－2）＝―10－2
②
对一切恒成立。
故的最大整数值为5。
点拨：①若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。
三、 奇偶分析法求和
例3：设二次函数

1． 在等差数列中，=1，前项和满足
①求数列的通项公式
②记，求数列的前项和。
解：①设数列的公差为，由

所以=
②由，有
所以 ①

②
①－②得

课外练习
１． 数列的前项和为，若等于（ B ）

４．的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（ C ）
A．－1 B．1 C．0 D．10
解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，
所以
又数列是首项为，公差为1的等差数列

故原式=0，选C。
二、填空题
５．设等比数列的公比与前项和分别为和，且≠1，

6．数列满足
，则数列的前项和为

= ）
７．数列的前100项的和为。（）

典例精析
一、 函数与数列的综合问题

①设是常数，求证：成等差数列；
②若，的前项和是，当时，求
解：①，

②
点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。
１． 已知正项数列的前项和为，的等比中项，
①求证：数列是等差数列；
②若，数列的前项和为，求
③在②的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。
解：①的等比中项，

所以数列是等差数列。
②

所以当且仅当3+=0，即=－3时，数列 为等比数列。
２． 已知在正项数列中，=2，且
在双曲线上，
数列中，
点（，）在直线上，其中是数列的前项和，①求数列的通项公式；②求证：数列是等比数列。③若。
解：①由已知带点在上知，
－＝１，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。
所以
②因为点（,）在直线上，

③

一、选择题
1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，
A. B. C. D.
【解析】由得，，则， ，选C.
答案 C
2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =
A. 2 B. C. D.3
【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2
于是
【答案】B
14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。
答案 4 5 32
解析 （1）若为偶数，则为偶, 故
①当仍为偶数时， 故
②当为奇数时，
故得m=4。
（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得m=5
16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 .
解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .

答案：1

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和
分析：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于.
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.
从而，∴.
∵， ∴，故.
由A具有性质P可知.
又∵，
∴，
从而，
∴.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知.
，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列.

25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。
（1）求和；
（2）求证：对任意正整数≥2，有.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
（1）当时，求通项
（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有
解：（1）由得
将代入化简得

所以
故数列为等比数列，从而
即
可验证，满足题设条件.
(2) 由题设的值仅与有关,记为则
考察函数 ,则在定义域上有

故对， 恒成立.
又 ,
注意到,解上式得

取,即有 .
30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
解（I）在中，令n=1，可得，即
当时，，
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
(II)由（I）得，所以

由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设时
所以当时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有
证法2：当时

综上所述，当，当时
31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解（I）当时，
又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴， …………………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知

∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分
（III）由得
又，
当时，，
当时，

32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有
, 则称数列为数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：
A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;
B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。
解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是

==
所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，
.
由n的任意性知，数列不是B-数列。
命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有
.
因为
.
记，则有
.
因此.
故数列是B-数列.
33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：。
证明（1）由
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即
易知，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当时，易知

35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n
若== 1，d=2，q=3，求 的值；
若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；
(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。
（Ⅰ）解：由题设，可得
所以，
（Ⅱ）证明：由题设可得则
①
②
式减去②式，得

式加上②式，得
③
式两边同乘q，得

所以，

(Ⅲ)证明：

因为所以

若，取i=n
若，取i满足且
由（1）,(2)及题设知，且

当时，得
即，…，
又所以

因此
当同理可得，因此
综上，
37.（2009年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
若，是否存在，有说明理由；
找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。
[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分
整理后，可得，、，为整数，
不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分
（2）若，即， （*）
（ⅰ）若则。
当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分
（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分
【解法二】设
则

若d=0，则
若（常数）即，则d=0，矛盾
综上所述，有， 10分
（3）
设.
，
. 13分
取 15分
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,

故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数
故此等式不成立，所以，p一定为奇数。
当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，
而3k=(4-1)k
=
当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分
当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1
由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分
当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk
也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在
故不是所有奇数都成立. 2分
三、解答题
10.（2008全国I）设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
（Ⅰ）证明：，
故函数在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：由．可

若存在某满足，则由⑵知：
若对任意都有，则

，即成立.
11.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
12.(2007湖南)已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增
解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …… ①
于是． ……②
由②－①得． …… ③
于是． …… ④
由④－③得， …… ⑤
所以，即数列是常数数列．
（II）由①有，所以．由③有，，所以，．
而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立．
且
．
即所求的取值集合是．
（III）解法一：弦的斜率为
任取，设函数，则
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，所以在和上都是增函数．
由（II）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以．
取，因为，所以．
所以，即弦的斜率随单调递增．
解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，
所以，．
故，即弦的斜率随单调递增．
5.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）
数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
答案：A.

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